正規せいき様相ようそう論理ろんり

論理ろんり学がくにおいて、正規せいき様相ようそう論理ろんり（せいきようそうろんり、normal modal logic）とは、以下いかの条件じょうけんを満みたす様相ようそう論理ろんり式しき（modal formulas）の集合しゅうごう L である。

• 命題めいだい論理ろんりのすべての恒つね真しん式しきを含ふくむ。
• クリプキスキーマ($\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$)のすべてのインスタンスを含ふくむ。
• 以下いかの規則きそくの下したで閉とじている。
  • 分離ぶんり規則きそく(モーダスポネンス): $A\to B,A\in L$ ならば $B\in L$。
  • 必然ひつぜん化か規則きそく: $A\in L$ ならば $\Box A\in L$。

上記じょうきの条件じょうけんを満みたす最小さいしょうの論理ろんりはKと呼よばれる。今日きょう一般いっぱん的てきに使用しようされている(哲学てつがく的てきな動機どうき付づけを持もつ)様相ようそう論理ろんりのほとんど、例たとえばC・I・ルイスのS4やS5は、正規せいきである(したがってKの拡張かくちょうである)。しかし、いくつかの義務ぎむ論理ろんりや認識にんしき論理ろんりは、クリプキスキーマを放棄ほうきすることがあるため、正規せいきではない。

すべての正規せいき様相ようそう論理ろんりは正則せいそくであり、したがって古典こてん的てきである。

一般いっぱん的てきな正規せいき様相ようそう論理ろんり

次つぎの表ひょうは、一般いっぱん的てきな正規せいき様相ようそうシステムをいくつか示しめしたものである。表記ひょうき法ほうは、クリプキ意味いみ論ろん § 一般いっぱん的てきな様相ようそう公理こうりスキーマの表ひょうを参照さんしょうのこと。いくつかのシステムのフレーム条件じょうけんは簡略かんりゃく化かされている。つまり論理ろんりは表ひょうに示しめされたフレームクラスに対たいして健全けんぜんかつ完全かんぜんであるが、より大おおきなフレームクラスに対応たいおうする可能かのう性せいがある。

名前なまえ	公理こうり	フレーム条件じょうけん
K	—	すべてのフレーム
T	T	反射はんしゃ的てき
K4	4	推移すいい的てき
S4	T, 4	前ぜん順序じゅんじょ
S5	T, 5 または D, B, 4	同値どうち関係かんけい
S4.3	T, 4, H	全ぜん擬なずらえ順序じゅんじょ (total preorder。推移すいい関係かんけいや完全かんぜん関係かんけいも参照さんしょう)
S4.1	T, 4, M	前ぜん順序じゅんじょ, $\forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))$
S4.2	T, 4, G	有向ゆうこう前ぜん順序じゅんじょ
GL, K4W	GL または 4, GL	有限ゆうげんな狭義きょうぎの半はん順序じゅんじょ
Grz, S4Grz	Grz または T, 4, Grz	有限ゆうげんな半はん順序じゅんじょ
D	D	連続れんぞく的てき
D45	D, 4, 5	推移すいい的てき、連続れんぞく、かつユークリッド的てき

参考さんこう文献ぶんけん

• Alexander Chagrov and Michael Zakharyaschev, Modal Logic, vol. 35 of Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.