Sumset

加法かほう的てき組合くみあわせ論ろん（英語えいご版ばん）において、加法かほう群ぐん $G$ の 2つの部分ぶぶん集合しゅうごう $A$ と $B$ の和わ（わ、英えい: sum）とは、 $A$ と $B$ の元もとごとの和わ全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう

A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}

を言いう。同おなじものを、アフィン幾何きか学がく周辺しゅうへん分野ぶんやではミンコフスキー和わ（英語えいご版ばん） (Minkowski sum) とも呼よぶ。例たとえば線型せんけい代数だいすう学がくにおいて、二ふたつの線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん $U, V$ の和かず空間くうかん（英語えいご版ばん）(sum space) $U + V$ はこの意味いみの和わ集合しゅうごうとして定義ていぎされる。

$A$ の $n$ -重じゅう反復はんぷく和わ集合しゅうごう ( $n$ -fold iterated sumset)（ $n$ -倍ばい集合しゅうごう）とは

nA=\underbrace {A+\dotsb +A} _{n}

のこととする（ここで、 $n$ は右辺うへんの項こう数すうである）。

加法かほう的てき組合くみあわせ論ろんや加法かほう的てき数すう論ろん（英語えいご版ばん）の多おおくの問題もんだいや結果けっかを、この和わ集合しゅうごうを用もちいてい表いあらわすことができる。例たとえば、ラグランジュの四よん平方へいほう定理ていりは次つぎの形かたちで表あらわすことができる。

4\Box =\mathbb {N} .

ここに、 $\Box$ は平方へいほう数すう全体ぜんたいの成なすの集合しゅうごう、 $N$ は自然しぜん数すう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうである。多おおくの研究けんきゅうがなされる主題しゅだいとして、"small doubling"（小ちいさい倍ばい化か）を持もつ集合しゅうごう（すなわち、2-倍ばい集合しゅうごう $A + A$ の大おおきさが（ $A$ に比くらべて）小ちいさくなるような集合しゅうごう $A$ ）の問題もんだいがある。フレイマンの定理ていり（英語えいご版ばん）(Freiman's theorem)の例れいを参照さんしょう。

参考さんこう文献ぶんけん

Henry Mann (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Corrected reprint of 1965 Wiley ed.). Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1
Nathanson, Melvyn B. (1990). “Best possible results on the density of sumsets”. In Berndt, Bruce C.; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini et al.. Analytic number theory. Proceedings of a conference in honor of Paul T. Bateman, held on April 25-27, 1989, at the University of Illinois, Urbana, IL (USA). Progress in Mathematics. 85. Boston: Birkhäuser. pp. 395–403. ISBN 0-8176-3481-9. Zbl 0722.11007
Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003
Terence Tao and Van Vu, Additive Combinatorics, Cambridge University Press 2006.

外部がいぶリンク

Noe, Tony. "Sumset". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
Weisstein, Eric W. "Minkowski Sum". mathworld.wolfram.com (英語えいご).
sumset - PlanetMath.org（英語えいご）
Minkowski sum - PlanetMath.org（英語えいご）

関連かんれん項目こうもく

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