पाय (स्थिरांक)

वर्तुळाचा व्यास १ असेल तर त्याचा परीघ $\pi$ इतका आहे

पाय (πぱい) हा स्थिरांक वर्तुळाच्या परीघ आणि व्यास यांच्या लांबीचे गुणोत्तर दर्शवतो. या स्थिरांकाचे मूल्य अदमासे ३.१४१५९२६५४ इतके आहे. गणनाच्या (calculation) सोयीकरिता हे जवळपास २२/७ किंवा ३५५/११३ असेही धरले जाते.

रेडियन या आंतरराष्ट्रीय गणना पद्धती अथवा मेट्रिक पद्धतीतील कोनाच्या एककाचा पायशी जवळचा संबंध आहे. एका पूर्ण वर्तुळाचे ३६० अंश अथवा २πぱい रेडियन होतात, असे गृहीत धरले आहे. त्यामुळे, वर्तुळाच्या ज्या दोन त्रिज्यांमधील कंसाची लांबी त्या वर्तुळाच्या त्रिज्येइतकी आहे, अशा दोन त्रिज्यांमधील कोनाचे माप एक रेडियन होते.

"पाय" $(\pi )$संबंधित काही चित्तवेधक गोष्टी

पायची किंमत २५६/८१ (म्हणजे दशांश पद्धतीत ३.१६०४९३८२७) असल्याचे "रिंड पॅपिरस" ह्या नावाने आता ओळखल्या जाणाऱ्या सुमारे ४००० वर्षांपूर्वीच्या एका मिसरी (इजिप्शियन) भूर्जपत्रावर नमूद केले आहे.वेगवेगळ्या प्राचीन बाबिलोनी आणि मिसरी लिखाणांमध्ये पायची मोघम किंमत ३, ३-१/६ (तीन पूर्णांक एकषष्ठांश), ३-१/७, किंवा ३-१/८ अशी असल्याचे उल्लेखही आहेत. आताच्या इराक देशात प्राचीन काळी बाबिलोन शहर हे एक संस्कृतीचे माहेरघर होते.

२,२४० वर्षांपूर्वी सध्याच्या ग्रीसमधल्या सीरॅक्यूजमध्ये रहाणाऱ्या आर्किमिडीज ह्या अतिबुद्धिमान गणितज्ज्ञाने पायची हवी तितकी अचूक किंमत काढायची बहुकोनी आकृतींवर आधारलेली एक अभिजात पद्धत शोधून काढली, आणि तीच पद्धत पुढे सुमारे १८०० वर्षे लोक वापरत असत.

गणितात "irrational" (गैरगुणोत्तरी) ह्या विशेषणाने आकड्यांचा एक विशिष्ट गट ओळखला जातो. पाय हा त्या गटात मोडतो. त्या गटातल्या इतर आकड्यांप्रमाणेच पाय दोन पूर्णांकाच्या गुणोत्तराने दर्शवता येत नाही. साहजिकच त्याची किंमत दशांश पद्धतीत दाखवताना आकड्यांची पुनरावृत्ती होत नाही. म्हणजे ३.१४१५९ मधल्या शेवटच्या ९ च्या उजवीकडे कितीही आकडे कितीही शोधले तरी ते आकडे पुरेसे ठरणार नाहीत, आणि त्याच्या जोडीला त्या आकड्यांमध्ये कोणतीही साचेबंद पुनरावृत्ती कदापि असणार नाही! पायची "गैरगुणोत्तरी" जोहॅन लॅंबर्ट ह्या बुद्धिमान (स्वयंशिक्षित) जर्मन गणितज्ञांनी १७६८ साली सिद्ध केली.

प्राचीन भारतात आर्यभट नावाचे निदान दोन गणितज्ञ होऊन गेले. त्यांपैकी इ.स. ४७६ ते ५५० ह्या काळात आयुष्य जगलेले पहिले आर्यभट बहुधा सध्याच्या केरळ विभागात जन्मले होते आणि त्यांनी मोठेपणी बहुधा सध्याच्या पाटणा शहरात --त्यांच्या वेळच्या कुसुमपूर नगरात-- वास्तव्य केले होते. पायची किंमत त्यांनी ३.१४१६ अशी नक्की मुक्रर केली होतीच, शिवाय पाय हा एक "गैरगुणोत्तरी" अंक असल्याचेही त्यांना माहीत होते.

सुप्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन यांनी $\pi$ साठी अनेक सूत्रे दिली आहेत. त्यातले एक याप्रमाणे आहे:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}}$

येथे $n!=n(n-1)(n-2)....3.2.1$ आणि $0!=1.$ उदा० $3!=6,4!=24.$

(उत्साही वाचकांनी आपल्या calculator वर वरील सूत्रातील सुरुवातीच्या काही पदांची बेरीज करून पहावी. पहिल्या २ पदांतच ८-९ दशांशापेक्षा अधिक अचूक उत्तर आपल्याला मिळेल.)

पायच्या अधिकात अधिक अचूक किंमतीतले दशांश चिह्नाच्या उजवीकडचे १,२४१,१००,०००,००० इतके आकडे एका अतिप्रभावी संगणकाच्या साह्याने शोधण्याचा अचाट उपक्रम जपानमधल्या तोक्यो विद्यापीठातल्या डॉ. कनादा ह्यांनी त्यांच्या काही सहकाऱ्यांसमवेत इ.स. २००२ साली केला. (ते सगळे आकडे ह्या लेखातल्या अक्षरांच्या आकारात छापण्याकरता नेहमीच्या आकाराची सुमारे ३८३,०००,००० पाने लागतील! डॉ. कनादांनी ते सगळे अंक अर्थात कागदांवर छापले नव्हते! पण ते अंक त्यांनी कोणत्या पद्धतीने ठरवले असतील आणि त्यांपैकी एकूण एक अंकांची अचूकता त्यांनी कशी ठरवली केली असेल ह्या दोन्ही बाबी कुतूहलाच्या खास आहेत.) कोणत्याही व्यासाच्या वर्तुळाचा १,२४१,१००,०००,००० दशांश अंकांपर्यंत अचूक परीघ जाणून घेण्याची जर कोणाला गरज भासली तर त्याला डॉ. कनादा मदत करू शकतील! जगातल्या सर्वांत जास्त प्रभावी संगणकाच्या कार्यक्षमतेचे परीक्षण करण्याच्या मुख्य हेतूने डॉ. कनादांनी तो उपक्रम केला होता. ह्या लेखाच्या निदान काही वाचकांना कुठल्यातरी वर्तुळाकृति गोष्टीचा व्यास मोजून तिचा परीघ निदान २७५ दशांश अंकांपर्यंत अचूक जाणून घेण्याची गरज नक्कीच असणार :), म्हणून त्यांच्याकरता पायच्या किंमतीतले पहिले २७५ दशांश अंक येथे दिले आहेत! :

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286

20899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848

11174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482

3378678316527120190914564856692346034861045432

गणितज्ञानात सर्वांत महत्त्वाचे असे पाच अचल अंक गणितज्ञ मानतात त्यात पाय हा एक अंक आहे. 0, 1,"e", आणि "i" ही उरलेल्या अंकांची चौकडी आहे. ("e" हा पायसारखाच एक महत्त्वाचा "गैरगुणोत्तरी" अंक आहे. त्याची मोघम किंमत आहे 2.718281828459045235306....; "i" हे चिह्न "imaginary" ["काल्पनिक"] ह्या विशेषणाने ओळखल्या जाणाऱ्या अंकांकरता वापरण्याची रूढी आहे. "i"ची किंमत -1च्या वर्गमुळाइतकी असते.) "ऑइलरची एकता" ह्या नावाने गणितज्ञानात एक महत्त्वाचे समीकरण प्रसिद्ध आहे. त्या समीकरणात वरच्या नेमक्या पाच अंकांचा समावेश आहे आणि ते समीकरण आहेही कमालीचे सुटसुटीत! निसर्गातल्या एका मोठ्या आश्चर्याचे ते समीकरण असे आहे:

$e^{i\pi }+1=0.$

लिओनार्ड ऑइलर आणि जोहॅन लॅंबर्ट एकमेकांचे आणि महाराष्ट्रातल्या अल्पायुषी माधवराव पेशव्यांचे समकालीन होते.