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사인 법칙

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1. 개요2. 증명
2.1. 삼각형의 높이를 이용한 증명2.2. 원주각을 이용한 증명2.3. 벡터곱을 이용한 증명
3. 활용
3.1. 예제
4. 비유클리드 기하학에서
4.1. 구면기하학에서
4.1.1. 타원기하학으로의 일반화
4.2. 쌍곡기하학에서
5. 관련 항목

1. 개요[편집]

正ただし弦つる法ほう則のり / sine law

삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다.

삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서, 그 중에서도 이 정리는 sin⁡\sin을 이용하여 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.
△ABC\triangle{\mathrm{ABC}}의 세 각의 크기 AA, BB, CC, 대변의 길이 aa, bb, cc, 그리고, 그 삼각형에 외접하는 외접원의 반지름 길이 RR에 대해 다음이 성립한다.

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R \displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R

한편, (sin⁡x)−1=csc⁡x(\sin x)^{-1} = \csc x가 성립하므로 다음과 같이 쓸 수도 있다.

acsc⁡A=bcsc⁡B=ccsc⁡C=2R \displaystyle a \csc A = b \csc B = c \csc C =2R


2. 증명[편집]

2.1. 삼각형의 높이를 이용한 증명[편집]

사인법칙 증명 높이
삼각형 ABC\rm ABC의 꼭짓점 A\rm A에서 밑변 aa에 수선을 내려서 높이 hh를 만들고,

h=csin⁡B=bsin⁡C\displaystyle h = c\sin{B} = b\sin{C}

로 표현할 수 있음을 삼각비의 정의로부터 보일 수 있다. 즉,

cb=sin⁡Csin⁡B\displaystyle \frac{c}{b} = \frac{\sin{C}}{\sin{B}}


가 성립하고 이것을 다른 변에 대해서도 똑같이 하면 사인 법칙을 얻을 수 있다.

가장 원론적이고 간단한 증명이라 할 수 있지만 외접원과의 관계는 알 수 없다.

2.2. 원주각을 이용한 증명[편집]

△ABC\triangle \mathrm{ABC}의 외접원의 중심을 O\mathrm{O}라 하고, BO‾\overline{\mathrm{BO}}의 연장선이 원과 만나는 점을 A′\mathrm{A'}라 하자. 그렇게 하면, BA′‾\overline{\mathrm{BA'}}은 외접원의 지름이므로, BA′‾=2R\overline{\mathrm{BA'}}=2R가 된다. 또한,

BC‾=aAC‾=bAB‾=c\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=a\qquad \qquad \overline{\mathrm{AC}}=b \qquad \qquad \overline{\mathrm{AB}}=c

임을 참고하라.

(ⅰ) △ABC\triangle \mathrm{ABC}가 예각 삼각형일 때

사인법칙 증명 예각

위 그림에서 원주각의 성질에 따라

∠A=∠A′\displaystyle \angle{A}=\angle{A'}

이고,

∠BCA′=90°\displaystyle \angle{\mathrm{BCA'}}=90\degree

이다. 따라서

sin⁡A=sin⁡A′=a2R\displaystyle \sin{A}=\sin{A'}=\frac{a}{2R}

이고 이것을 정리하면,

asin⁡A=2R\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R

가 얻어진다.


(ⅱ) △ABC\triangle \mathrm{ABC}가 둔각 삼각형일 때

사인법칙 증명 둔각

위 그림에서 원주각의 성질에 따라

∠A=180°−∠A′\displaystyle \angle{A}=180\degree-\angle{A'}

이고,

∠A′BC=90°\displaystyle \angle{\mathrm{A'BC}}=90\degree

이다. 따라서

sin⁡A=sin⁡(180°−A′)=sin⁡A′=a2R\displaystyle \sin{A}=\sin{(180\degree-A')}=\sin{A'}=\frac{a}{2R}

이고[1] 이것을 정리하면,

asin⁡A=2R\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R

가 얻어진다.


(ⅲ) △ABC\triangle \mathrm{ABC}가 직각 삼각형일 때

사인법칙 증명 직각

위 그림에서 ∠A=90°\angle{A}=90\degree이다. 따라서

sin⁡A=1a=2R\displaystyle \sin{A}=1 \qquad \qquad a=2R

이므로

asin⁡A=2R\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=2R

가 성립한다.

2.3. 벡터곱을 이용한 증명[편집]

사인법칙 증명 벡터외적

임의의 벡터에 대해 자기 자신과의 외적은 항상 영벡터다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.

B×B=0\displaystyle \mathbf{B} \times \mathbf{B}=\mathbf{0}

따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.

(A−B)×B=A×B\displaystyle (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B}=\mathbf{A \times B}

이때, 새로운 벡터 C\mathbf{C}를 아래와 같이 정의해보자.

C≡A−B\displaystyle \mathbf{C} \equiv \mathbf{A-B}

이제 벡터 A\mathbf{A}, B\mathbf{B}, C\mathbf{C}는 서로 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 각각 편의상 AA, BB, CC라 부르고, 각각의 벡터의 길이를 아래와 같이 부르자.

∣A∣≡a∣B∣≡b∣C∣≡c\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| \equiv a \qquad \qquad \left| \mathbf{B} \right| \equiv b\qquad \qquad \left| \mathbf{C} \right| \equiv c

이렇게 하면, 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.

∣(A−B)×B∣=bcsin⁡A\displaystyle \left| (\mathbf{A-B}) \times \mathbf{B} \right|=bc\sin{A}

우변은,

∣A×B∣=absin⁡C\displaystyle \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|=ab\sin{C}

위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에 이를 잘 조합하면,

sin⁡Aa=sin⁡Cc\displaystyle \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{C}}{c}


이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 정보를 제공하지 않는다는 단점이 있다.[2]

3. 활용[편집]

  • 각을 변으로 바꾸기

    sin⁡A=a2Rsin⁡B=b2Rsin⁡C=c2R\displaystyle \begin{aligned} \sin{A} &=\frac{a}{2R} \\ \sin{B}&=\frac{b}{2R} \\ \sin{C}&=\frac{c}{2R} \end{aligned}
  • 변을 각으로 바꾸기

    a=2Rsin⁡Ab=2Rsin⁡Bc=2Rsin⁡C\displaystyle \begin{aligned} a&=2R\sin{A} \\ b&=2R\sin{B} \\ c&=2R\sin{C} \end{aligned}
  • 변의 비와 각에 따른 사인값의 비

    a:b:c=sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C\displaystyle a:b:c=\sin{A}:\sin{B}:\sin{C}


그 외에도 삼각형에서 삼각함수의 등식을 증명하거나, 넓이를 찾을 때에는 위 세 가지 변형과 코사인 법칙을 잘 활용하면 쉽게 해결할 수 있다.
사인법칙과 제2코사인법칙을 이용하여 아래 문제를 풀 수 있다.
20190910(고2)
2019년 9월 고2 10번

[풀이]

세 변의 길이 비가 2k:3k:4k2k:3k:4k임을 알 수 있으므로, 제2코사인 법칙에 의해

cos⁡C=(2k)2+(3k)2−(4k)22⋅2k⋅3k=−14 \cos{C}= \dfrac{(2k)^2+(3k)^2-(4k)^2}{2\cdot 2k\cdot 3k}=-\dfrac{1}{4}

이다. 정답은 ②번.

유클리드 평면 위의 삼각형이 아니라 비유클리드 기하학의 삼각형에서는, 다음과 같은 공식이 성립한다.
삼각형이 구 위에 있으면 이 식의 형태가 바뀌게 된다.

sin⁡asin⁡A=sin⁡bsin⁡B=sin⁡csin⁡C=2R \displaystyle \frac{\sin a}{\sin{A}}=\frac{\sin b}{\sin{B}}=\frac{\sin c}{\sin{C}}=2R

즉 사인이 분자에까지 적용된다는 이야기이다.

4.1.1. 타원기하학으로의 일반화[편집]

구면뿐만 아니라 모든 타원면으로 일반화할 수 있으며, 이 경우 야코비 타원 함수를 이용해 아래의 식으로 표현할 수 있다. sn\rm sn 함수에서 이심률에 해당하는 두번째 변수가 0일 경우 sin⁡\sin과 동치가 된다.

sn(a; k1)sn(A; k2)=sn(b; k1)sn(B; k2)=sn(c; k1)sn(C; k2)=2R \displaystyle \frac{{\rm sn}(a;\,k_1)}{{\rm sn}(A;\,k_2)}=\frac{{\rm sn}(b;\,k_1)}{{\rm sn}(B;\,k_2)}=\frac{{\rm sn}(c;\,k_1)}{{\rm sn}(C;\,k_2)}=2R \quad (단, k1, k2∈[0, 1)k_1,\,k_2 \in [0,\, 1))

쌍곡기하학에서는 더해서

sinh⁡asin⁡A=sinh⁡bsin⁡B=sinh⁡csin⁡C=2R \displaystyle \frac{\sinh a}{\sin{A}}=\frac{\sinh b}{\sin{B}}=\frac{\sinh c}{\sin{C}}=2R

분자가 쌍곡선 함수로 바뀐다.

5. 관련 항목[편집]

[1] 내접 사각형의 대각의 합이 180°180\degree인 것을 이용했다.[2] 다만, 위의 식에서 sin⁡Cc=12R \dfrac{\sin{C}}{c} = \dfrac{1}{2R}로 보고 외접원의 반지름 정도는 구할 수 있다.

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