(Translated by https://www.hiragana.jp/)
오일러 삼각형 정리 - 나무위키
최근 변경최근 토론
특수 기능

오일러 삼각형 정리

최근 수정 시각:
2
편집
현재 사용중인 아이피가 ACL그룹 IDC #96574에 있기 때문에 편집 권한이 부족합니다.
만료일 : 무기한
사유 : IDC (AS7524) ITEC Hankyu Hanshin Co.,Ltd.
토론역사
분류
평면기하학
Plane Geometry
[ 펼치기 · 접기 ]
공통
도형 · 직선 (반직선 · 선분 · 평행) · 각 (맞꼭지각 · 동위각 · 엇각 · 삼각비) · 길이 · 넓이 · 다각형 (정다각형 · 대각선) · 작도 · 합동 · 닮음 · 등적변형 · 삼각함수 (덧셈정리) · 접선 · 벡터
삼각형
종류
정삼각형 · 이등변삼각형 · 부등변삼각형 · 예각삼각형 · 직각삼각형 · 둔각삼각형
성질
오심 (관련 정리 · 구점원) · 피타고라스 정리 · 사인 법칙 · 코사인 법칙 · 헤론의 공식 · 신발끈 공식 · 스튜어트 정리 · 우산 정리 · 오일러 삼각형 정리 · 데자르그 정리 · 메넬라오스 정리 · 나폴레옹의 정리 · 체바 정리 · 사영 정리 · 판아우벌 정리
기타
세모 모양 · 평범한 삼각형 · 젤곤 삼각형 · 랭글리 삼각형 · 페르마 점
사각형
정사각형 · 직사각형 · 마름모 · 평행사변형 · 사다리꼴 · 등변 사다리꼴 · 연꼴 · 네모 모양
오각형 · 육각형 · 칠각형 · 팔각형 (정팔각형) · 구각형 · 십각형 · 십일각형 · 십이각형 · 백각형
원
단위원 · 원주율 · 호 · 부채꼴 · 할선 · 활꼴 · 방정식 · 원주각 · 방멱 정리 · 톨레미 정리
원뿔곡선
포물선 · 타원 · 쌍곡선 · 파스칼 정리
기타
유클리드 · 보조선 · 테셀레이션(펜로즈 타일) · 제곱근의 앵무조개 · 픽의 정리 · 논증 기하학 · 해석 기하학 · 3대 작도 불능 문제
1. 개요2. 보조 정리: 멘션의 정리
2.1. 방심과의 관계
3. 증명
3.1. 외심과 내심 사이의 거리3.2. 외심과 방심 사이의 거리
4. 기타5. 관련 문서

1. 개요[편집]

Euler's triangle theorem

1765년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707-1783)가 발견한 삼각형의 외심과 내심 혹은 외심과 방심 사이의 거리에 관한 공식이다.

한 삼각형의 외접원, 내접원, 방접원의 반지름을 각각 RR, rr, r′r'이라 하면, 다음이 성립한다.
  • 외심과 내심 사이의 거리: R2−2Rr\sqrt{R^{2}-2Rr}
  • 외심과 방심 사이의 거리: R2+2Rr′\sqrt{R^{2}+2Rr'}

이 정리 자체가 직접적으로 쓰이는 경우는 생각보다 많지 않으나, 증명 과정의 다양한 이론들이 삼각형과 원이 나오는 기하 문제에서 제법 많이 다루어지는 것들이라 보통 한 번쯤 배우고 넘어간다.

2. 보조 정리: 멘션의 정리[편집]


namu 맨션정리 1 NEW ...

그림과 같이 삼각형 ABC\rm ABC의 외심 O\rm O, 내심 I\rm I이고, 직선 BI\rm BI가 외접원과 만나는 점을 R\rm R라고 하자.

내심의 성질에 의하여 ∠ABI=∠CBI=x\angle {\rm ABI}=\angle {\rm CBI}=x, ∠BAI=∠CAI=y\angle {\rm BAI}=\angle {\rm CAI}=y, ∠BCI=∠ACI=z\angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI}=z라 놓을 수 있다. ∠CIR\angle{\rm CIR}은 ∠BIC\angle{\rm BIC}의 외각이므로 x+zx+z, ∠ABR=∠ACR=x\angle{\rm ABR}=\angle{\rm ACR}=x(호 AR\rm AR에 대한 원주각) 따라서 삼각형 RIC\rm RIC에서 ∠RIC=∠RCI=x+z\angle{\rm RIC}=\angle{\rm RCI}=x+z 즉, 삼각형 RIC\rm RIC은 IR‾=RC‾\overline{\rm IR}=\overline{\rm RC}인 이등변삼각형이다. 동일한 방법으로 삼각형 RAI\rm RAI는 IR‾=AR‾\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}인 이등변삼각형임을 증명할 수 있다.

∴RC‾=IR‾=AR‾\displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned}

이 결과는 내심과 삼각형의 두 꼭짓점을 연결한 삼각형의 외심이 두 꼭짓점을 제외한 한 꼭짓점과 내심을 연결하는 직선이 외접원과 만나는 점에 있음을 알려준다.

2.1. 방심과의 관계[편집]


namu 맨션정리 2 NEW

방심과 내심의 성질에 의하여 두 점은 ∠B\angle \rm B의 이등분선 위에 있으므로 그림과 같이 위 과정에서 선분 BI\rm BI를 연장하여 B\rm B에 대한 방심 O′\rm O'과 만나도록 하자. 위에서 다뤘던 맨션 정리에서

RC‾=IR‾=AR‾\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR} \end{aligned}

이고, 내심과 방심의 성질에 의하여 ∠BCI=∠ACI\angle {\rm BCI}=\angle {\rm ACI}, ∠ACO′=∠HCO′\angle {\rm ACO'}=\angle {\rm HCO'}이므로 ∠ICO′=90°\angle {\rm ICO'}=90\degree이다. 따라서 삼각형 ICO′\rm ICO'은 직각삼각형이고, RC‾=IR‾\displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR} 이므로 점 R\rm R는 해당 삼각형의 외심이며, 결과적으로 RC‾=IR‾=O′R‾\displaystyle \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm O'R} 이다.

∴RC‾=IR‾=AR‾=O′R‾\displaystyle \begin{aligned} \therefore \overline{\rm RC}=\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}=\overline{\rm O'R} \end{aligned}

3. 증명[편집]

3.1. 외심과 내심 사이의 거리[편집]

namu 오일러 삼각형 정리 ...

그림과 같이 삼각형 ABC\rm ABC의 외심과 내심을 각각 O\rm O, I\rm I라 하고, 외접원과 내접원의 반지름은 각각 RR, rr, 직선 IO\rm IO가 외접원과 만나는 두 점을 P\rm P, Q\rm Q, 직선 BI\rm BI가 외접원과 만나는 점을 R\rm R, OI‾=d\overline{\rm OI}=d라 하자. 방멱 정리에 의하여

BI‾⋅IR‾=PI‾⋅IQ‾=(R+d)(R−d)=R2−d2\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}&=\overline{\rm PI} \cdot \overline{\rm IQ} \\&=(R+d)(R-d) \\&=R^{2}-d^{2} \end{aligned}


한편, 맨션 정리에 의하여 IR‾=AR‾\overline{\rm IR}=\overline{\rm AR}, 내심의 성질에 따라 ∠IBC=∠ABI\angle{\rm IBC}=\angle{\rm ABI}, ∠ABI=∠ASR\angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR}(호 AR\rm AR에 대한 원주각)이다. 점 I\rm I에서 변 BC\rm BC에 내린 수선의 발을 H\rm H라 하면 ∠RAS=90°\angle{\rm RAS}=90\degree(지름에 대한 원주각), ∠IHB=90°\angle{\rm IHB}=90\degree, ∠ABI=∠ASR\angle{\rm ABI}=\angle{\rm ASR}이므로 △RSA∼△IBH\triangle{\rm RSA} \sim \triangle{\rm IBH} (AA\rm AA닮음)이다.
AR‾:SR‾=IR‾:SR‾=IH‾:BI‾  ⇔  BI‾⋅IR‾=SR‾⋅IH‾\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm AR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IR} : \overline{\rm SR} =\overline{\rm IH} : \overline{\rm BI} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm BI} \cdot \overline{\rm IR}=\overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH} \end{aligned}
SR‾=2R\overline{\rm SR}=2R, IH‾=r\overline{\rm IH}=r임을 이용하면, SR‾⋅IH‾=2Rr\overline{\rm SR} \cdot \overline{\rm IH}=2Rr

∴R2−d2=2Rr  ⇒  d=R2−2Rr\displaystyle \therefore R^{2}-d^{2}=2Rr \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2-2Rr}

결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

1R−d+1R+d=1r\displaystyle \frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}

두 점 간의 거리는 음일 수 없으므로,

d=R2−2Rr=R(R−2r)\displaystyle d=\sqrt{R^2-2Rr}=\sqrt{R(R-2r)}

에 의하여 모든 삼각형에서 R≥2rR \geq 2r이다. 단, 등호는 정삼각형일 때에 성립한다. 정삼각형은 외심, 내심, 수심, 무게중심이 동일하기 때문이다.

이상의 결과에서 음수에 대한 방멱을 허용한다면, 외접원에 대한 내심의 방멱은 −2Rr -2Rr 로 표현할 수 있다.

3.2. 외심과 방심 사이의 거리[편집]

namu 오일러 삼각형 정리 ...

그림과 같이 삼각형 ABC\rm ABC의 외심과 방심을 각각 O\rm O, O′\rm O'이라 하고, 외접원과 방접원의 반지름은 각각 RR, r′r', 직선 OO′\rm OO'이 외접원과 만나는 두 점을 P\rm P, Q\rm Q, 직선 BO′\rm BO'이 외접원과 만나는 점을 R\rm R, OO′‾=d\overline{\rm OO'}=d라 하자. 방멱 정리에 의하여

O′R‾⋅O′B‾=O′Q‾⋅O′P‾=(d−R)(d+R)=d2−R2\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}&=\overline{\rm O'Q} \cdot \overline{\rm O'P} \\&=(d-R)(d+R) \\&=d^{2}-R^{2} \end{aligned}

위에서 다뤘던 맨션 정리에 의하여 O′R‾=RC‾\overline{\rm O'R}=\overline{\rm RC}, 점 O′\rm O'에서 변 BC\rm BC의 연장선상에 내린 수선의 발을 H\rm H라 하면 ∠O′HB=90°\angle{\rm O'HB}=90\degree, ∠SRC=90°\angle{\rm SRC}=90\degree(지름에 대한 원주각), ∠O′BC=∠RSC\angle{\rm O'BC}=\angle{\rm RSC}(호 RC\rm RC에 대한 원주각)이므로 △O′BH∼△CSR\triangle{\rm O'BH} \sim \triangle{\rm CSR} (AA\rm AA닮음)이다.
O′H‾:O′B‾=RC‾:SC‾=O′R‾:SC‾  ⇔  O′R‾⋅O′B‾=O′H‾⋅SC‾\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm O'H} : \overline{\rm O'B} =\overline{\rm RC} : \overline{\rm SC} =\overline{\rm O'R} : \overline{\rm SC} \; \Leftrightarrow \; \overline{\rm O'R} \cdot \overline{\rm O'B}=\overline{\rm O'H} \cdot \overline{\rm SC} \end{aligned}
SC‾=2R\overline{\rm SC}=2R, O′H‾=r′\overline{\rm O'H}=r'임을 이용하면, O′H‾⋅SC‾=2Rr\overline{\rm O'H} \cdot \overline{\rm SC}=2Rr

∴d2−R2=2Rr′  ⇒  d=R2+2Rr′\displaystyle \therefore d^{2}-R^{2}=2Rr' \; \Rightarrow \; d=\sqrt{R^2+2Rr'}

결과를 변형하면 아래와 같이 나타낼 수도 있다.

1d−R−1d+R=1r′\displaystyle \frac{1}{d-R}-\frac{1}{d+R}=\frac{1}{r'}


이상의 결과에서 외접원에 대한 방심의 방멱은 2Rr′ 2Rr' 으로 표현할 수 있다.

4. 기타[편집]

5. 관련 문서[편집]

크리에이티브 커먼즈 라이선스
이 저작물은 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다. (단, 라이선스가 명시된 일부 문서 및 삽화 제외)
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

나무위키는 백과사전이 아니며 검증되지 않았거나, 편향적이거나, 잘못된 서술이 있을 수 있습니다.
나무위키는 위키위키입니다. 여러분이 직접 문서를 고칠 수 있으며, 다른 사람의 의견을 원할 경우 직접 토론을 발제할 수 있습니다.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
더 보기