포물선

抛ほう物もの線せん / parabola

기하학에서 나오는 도형의 일종으로, 평면상의 어떤 직선과의 거리와 정점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합으로 정의한다.

위에서 나온 "어떤 직선"은 준선(準じゅん線せん)이라 하며, "정점"은 초점(焦こげ點てん)이라 부른다.

아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다.

[1] 준선이 $\boldsymbol{x=-p}$이고 초점이 $\mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)}$



포물선의 정의에 따라 $\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}$를 만족시켜야 한다. 이때, $\mathrm{H}(-p,\,y)$, $\mathrm{P}(x,\,y)$임을 이용하면,

양변을 제곱하면,

위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다.


[2] 준선이 $\boldsymbol{y=-p}$이고 초점이 $\mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)}$



포물선의 정의에 따라 $\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}$를 만족시켜야 한다. 이때, $\mathrm{H}(x,\,-p)$, $\mathrm{P}(x,\,y)$임을 이용하면,

양변을 제곱하면,

위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다.

그런데 이 형태는 이차함수이므로 결국 이차함수의 그래프는 포물선임이 여기서도 증명된 것이다.

초점이 $(x_{0},\,y_{0})$인 포물선은 $x$축으로 $x_{0}$, $y$축으로 $y_{0}$만큼 평행이동하여 그린다. 이때, 접선이나 준선 또한 모두 평행이동됨에 유의하여야 한다. 또한, 준선이 $x$축과 수직이면 방정식의 일반형은

꼴이며, $y$축과 수직이면

꼴이다. 이때, $A \sim C$는 상수이다.

위 그림과 같이 포물선 $y^2=4px$ 위의 두 점 $\rm R$, $\rm S$와 초점이 한 직선 위에 있다고 하자. 또, $\rm R$, $\rm S$에서 해당 포물선의 준선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $\rm P$, $\rm Q$라 하자. $\overline{\rm RF} \equiv a$, $\overline{\rm FS} \equiv b$라 하고, ${\rm F}(p,\,0)$이라 하면

가 성립한다. 다만 위 그림에서는 $b>a$인 경우만 나타내었지만 위 식은 $b<a$일 때도 성립한다.

증명은 사다리꼴 $\rm PRSQ$를 사용하여 한다. 꼭짓점 $\rm R$에서 $\overline{\rm QS}$에 내린 수선의 발을 $\rm H$라 하고, 이 수선이 $x$축과 만나는 점을 $\rm G$라 하자. 이때, 두 직각삼각형 $\rm RGF$, $\rm RHS$는 닮음비가 $\overline{\rm RF}:\overline{\rm RS}$인 닮은 삼각형이고, 포물선의 성질에 의하여 $\overline{\rm FS}=\overline{\rm QS}=b$이므로 $\overline{\rm HS}=b-a$이다. 따라서 다음이 성립한다.

이에 $\overline{\rm TF}=\overline{\rm TG}+\overline{\rm GF}$임을 이용하면,

한편, 포물선의 정의에 따라 $\overline{\rm TO}=\overline{\rm OF}$이므로 다음이 성립한다.

여기서 $\rm T$는 준선과 $x$축의 교점이다. 그런데 $\overline{\rm OF}=p$이므로 다음이 성립한다.

판별식의 부호에 따라 포물선과 직선의 위치 관계가 달라진다.

포물선 위의 점 $(x_{1},\,y_{1})$에서의 접선의 방정식은 음함수의 미분법으로 구할 수 있다.

[1] 준선이 $\boldsymbol{x=-p}$이고 초점이 $\mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)}$
먼저 접선의 기울기는 다음과 같다.

따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 식을 정리하여 구할 수 있다.


[2] 준선이 $\boldsymbol{y=-p}$이고 초점이 $\mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)}$
먼저 접선의 기울기는 다음과 같다.

따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 식을 정리하여 구할 수 있다.

우선 구하는 접선의 방정식을 $y=mx+n$이라 하고 포물선의 방정식에 대입하여, $x$에 관한 이차방정식을 만들고 이 이차방정식이 중근을 가질 때 포물선과 직선은 접한다는 것을 이용하면 된다. 즉, 해당 이차방정식의 판별식이 0이어야 한다.

[1] 준선이 $\boldsymbol{x=-p}$이고 초점이 $\mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)}$


[2] 준선이 $\boldsymbol{y=-p}$이고 초점이 $\mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)}$

위 그림과 같이 준선 $l$ 위의 한 점 ${\rm P}(-p,\,k)$(단, $k$는 상수)에서 포물선 $y^2=4px$에 그은 두 접선을 고려해보자. 포물선의 접선 기울기를 $m$이라 하면 접선의 방정식은

이고, 이 직선이 ${\rm P}(-p,\,k)$를 지나므로

이다. 이때, 위 방정식을 $m$에 대하여 정리하면

이고, 이 방정식의 두 근이 결국 각 접선의 기울기가 된다. 한편, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근을 $m_1$, $m_2$라 하면,

각 접선의 기울기의 곱이 $-1$이므로 포물선의 준선 위의 한 점에서 그은 포물선의 두 접선은 직교한다.

또한, 접선의 접점 $\rm A$, $\rm B$와 포물선의 초점 $\rm F$는 한 직선 위에 있다.

접점의 좌표는 포물선의 방정식과 접선의 방정식을 아래와 같이 연립하면 구할 수 있다.

따라서 두 접점은

따라서 $\overline{\rm AB}$의 방정식은

이고, 이 방정식의 $x$절편을 $X$라 하면 $m_1m_2=-1$이므로

가 되어 초점 ${\rm F}(p, \,0)$을 지난다.

위 그림과 같이 포물선 $y^2=4px$와 초점 $\rm F$와 포물선 위의 임의의 점 $\rm R$를 지나는 직선을 $\rm FR$라 하고, 점 $\rm R$에서 준선 $l$에 내린 수선의 발을 $\rm P$라 하자. 또한, 접선과 $x$축의 교점을 $\rm Q$라 하자. 이때, 결정되는 사각형 $\rm PRFQ$의 종류를 결정해보자.

${\rm R}(x_{1},\,y_{1})$, ${\rm F}(p,\,0)$이라 하면, $\overline{\rm PT}=p$이고 포물선의 정의에 따라 다음이 성립한다.

한편, ${\rm R}(x_{1},\,y_{1})$을 지나는 접선의 방정식은 $yy_{1}=2p(x+x_{1})$이므로 $x$절편인 ${\rm Q}(-x_{1},\,0)$이고, 이에 따라 다음이 성립한다.

그런데 $\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ}$이므로 사각형 $\rm PRFQ$는 평행사변형이며, $\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF}$이므로 마름모이기도 하다.

따라서 $\rm PRFQ$의 대각선 $\overline{\rm PF}$, $\overline{\rm RQ}$는 마름모의 성질에 따라 직교한다. 또한 두 대각선의 교점 $\rm S$는 ${\rm P}(-p,\,y_{1})$, ${\rm R}(x_{1},\,y_{1})$, ${\rm F}(p,\,0)$, ${\rm Q}(-x_{1},\,0)$을 고려해보면, $y$축 위에 있다.

이상에서 삼각형 $\rm PRF$는 $\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF}$인 이등변삼각형이고, 마름모의 대각선은 다른 하나를 수직이등분하고, 이등변 삼각형의 밑변에 대한 수직이등분선은 밑변의 양 끝 각이 아닌 한 각을 이등분하므로 $\angle {\rm PRS}=\angle {\rm FRS}$이다. 또한, $\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ}$에서 엇각으로 $\angle {\rm PRS}=\angle {\rm RQF}$가 된다.

위 그림과 같이 위 문단과 거의 같은 상황에서 $\overline{\rm RF}$의 연장선과 그 위에 있는 점 $\rm M$, $\overline{\rm PR}$의 연장선과 그 위에 있는 점 $\rm N$, 접선 $\rm QR$ 위의 점 $\rm U$를 고려하자.

사각형 $\rm PRFQ$가 마름모인 것은 위 문단에서 증명했고, $\angle {\rm PRQ}=\angle {\rm FRQ}$인 것도 증명했다. 따라서 맞꼭지각으로 $\angle {\rm MRU}=\angle {\rm URN}$임도 자동적으로 나오게 된다.

이것의 성질을 광학에 빗대어보자. 만약 $\rm N \to \rm R$로 광선이 들어왔다면, $\angle {\rm NRU}=\angle {\rm FRQ}$이므로 입사각과 반사각[1]은 같게 되어 반사 법칙에 의해 광선은 $\rm R \to \rm F$ 즉, 초점으로 향하게 된다. 또, 광선이 $\rm M \to \rm R$로 들어왔다면, $\angle {\rm MRU}=\angle {\rm PRQ}$이므로 입사각과 반사각은 같아져 $\rm R \to \rm P$로 향하게 된다. 따라서 이 두 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.

아래의 그림은 위 결과를 표현한 것이다.



안테나(일명 파라볼라 안테나) 등이 위 성질을 이용하는 물건이다.