Pravilni mnogokotnik

Pravilni mnogokotnik ali pravilni večkotnik je mnogokotnik, ki ima vse stranice enako dolge in vse kote med seboj skladne.

Pravilni mnogokotniki:

Pravilni trikotnik se imenuje tudi enakostranični trikotnik.

Pravilni štirikotnik se imenuje tudi kvadrat.

Splošne značilnosti

Pravilni mnogokotnik je konveksen ali pa je zvezdni mnogokotnik.

Dva pravilna n-kotnika sta vedno podobna. Če imata enako dolgo stranico (a' = a), sta tudi skladna.

Oglišča pravilnega mnogokotnika ležijo na enaki razdalji na krožnici. Vsakemu pravilnemu mnogokotniku se da hkrati včrtati in očrtati krožnico. Pravilni mnogokotniki so tako vedno bicentrični. Pri njih sta krožnici istosrediščni.

• polmer včrtane krožnice $r_{n}\,$:

$r_{n}={\frac {a_{n}}{2\operatorname {tg} \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}=R_{n}\cos \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)\!\,.$

• polmer očrtane krožnice $R_{n}\,$:

$R_{n}={\frac {a_{n}}{2\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right)}}\!\,,$

$R_{n}^{2}=r_{n}^{2}+{\frac {1}{4}}a_{n}^{2}\!\,.$

Pravilni mnogokotniki imajo n simetralnih osi.

Koti in diagonale

Za pravilni mnogokotnik veljajo naslednje splošne formule:

• vsota notranjih kotov:

$S_{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }\!\,.$

• vsota zunanjih kotov:

$S'_{n}=360^{\circ }\!\,.$

• število diagonal:

$D_{n}={\frac {n(n-3)}{2}}\!\,.$

• (priležni) kot ob osnovnici (kot med stranico in diagonalo):

$\alpha _{n}=\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot 90^{\circ }\!\,.$

Obseg in ploščina

Obseg pravilnega n-kotnika s stranico $a_{n}\,$ je enak:

$o_{n}=na_{n}\,\!.$

Ploščino pravilnega n-kotnika s stranico $a_{n}\,$ se lahko izračuna po različnih formulah. Izračun temelji na dejstvu, da se lahko pravilni n-kotnik vedno razdeli na n enakokrakih trikotnikov (samo pri šestkotniku so to enakostranični trikotniki).

Če se pozna polmer včrtane krožnice $r_{n}\,$:

$p_{n}={\frac {na_{n}r_{n}}{2}}\!\,.$

Če se pozna polmer očrtane krožnice $R_{n}\,$:

$p_{n}={\frac {nR_{n}^{2}\sin \varphi _{n}}{2}}\!\,.$

Neposredno iz stranice $a_{n}\,$:

$p_{n}={\frac {na_{n}^{2}}{4\operatorname {tg} {\frac {\varphi _{n}}{2}}}}={\frac {na_{n}^{2}r_{n}}{2}}\!\,.$

V zgornjih dveh formulah je $\varphi _{n}={\frac {360^{\circ }}{n}}$ središčni kot nad stranico $a_{n}\,$.

Povezave med dolžinami stranic in ploščinami med n-kotniki in 2n-kotniki:

$a_{2n}=R_{n}{\sqrt {2-2{\sqrt {1-\left({\frac {a_{n}}{2R_{n}}}\right)^{2}}}}},\qquad a_{n}=a_{2n}{\sqrt {4-{\frac {a_{2n}^{2}}{R_{n}^{2}}}}}\!\,,$

$p_{2n}={\frac {nR_{n}^{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1-{\sqrt {1-{\frac {4p_{n}^{2}}{n^{2}R_{n}^{4}}}}}}},\qquad p_{n}=p_{2n}{\sqrt {1-{\frac {p_{2n}^{2}}{n^{2}R_{n}^{4}}}}}\!\,.$

Glej tudi

• mnogokotnik

Viri

• Stöcker, Horst (2006). Matematični priročnik z osnovami računalništva. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. COBISS 229576192. ISBN 86-365-0587-9.