對數たいすう定律ていりつ

對數たいすう定律ていりつ（Properties of Logarithms）係がかり一いち套對應おう指數しすう定律ていりつ嘅定理ていり。主要しゅよう用よう嚟解指數しすう對たい數すう方ぽう程ほど。

定律ていりつ[編輯へんしゅう]

設しつらえ $a$ ， $M$ 同どう $N$ 都と係がかり一いち個こ正數せいすう，而且 $a\neq 1$ ，重じゅう有ゆう $x$ 係かかり未知數みちすう。有ゆう以下いか實數じっすう解かい：

$\log _{a}1=0$
$\log _{a}a=1$
$\log _{a}a^{x}=x$
$a^{\log _{a}x}=x,x>0$
$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$
$\log _{a}{\bigl (}{\frac {M}{N}}{\bigr )}=\log _{a}M-\log _{a}N$
$\log _{a}M^{N}=N\log _{a}M$

證明しょうめい：

(1)

利用りよう定義ていぎ， $a^{0}=1\iff \log _{a}1=0$ 。

(2)

利用りよう定義ていぎ， $a^{1}=a\iff \log _{a}a=1$ 。

(3)

利用りよう定義ていぎ， $a^{x}=a^{x}\iff \log _{a}a^{x}=x$ 。

(4)

利用りよう定義ていぎ， $\log _{a}x=\log _{a}x\iff a^{\log _{a}x}=x$ 。

(5)

利用りよう指數しすう定律ていりつ， $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ 。

根據こんきょ定義ていぎ， $\log _{a}M=m$ ， $\log _{a}N=n$ 。

組合くみあい以上いじょう兩りょう點てん， ${\begin{aligned}\log _{a}MN&=x\\a^{x}&=MN\\a^{x}&=a^{m}a^{n}\\\implies x&=m+n\\\log _{a}MN&=\log _{a}M+\log _{a}N\end{aligned}}$ 。

(6)

利用りよう指數しすう定律ていりつ， $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$ 。

根據こんきょ定義ていぎ， $\log _{a}M=m$ ， $\log _{a}N=n$ 。

組合くみあい以上いじょう兩りょう點てん， ${\begin{aligned}\log _{a}{\bigl (}{\frac {M}{N}}{\bigr )}&=x\\a^{x}&={\frac {M}{N}}\\a^{x}&=a^{m}\div a^{n}\\\implies x&=m-n\\\log _{a}{\frac {M}{N}}&=\log _{a}M-\log _{a}N\end{aligned}}$ 。

(7)

利用りよう指數しすう定律ていりつ， $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ 。

根據こんきょ定義ていぎ， $\log _{a}M^{n}=y$ 。

組合くみあい以上いじょう兩りょう點てん， ${\begin{aligned}n\log _{a}M&=x\\\log _{a}M&={\frac {x}{n}}\\a^{\frac {x}{n}}&=M\\(a^{\frac {x}{n}})^{n}&=M^{n}\\a^{x}&=a^{y}\\\implies x&=y\\n\log _{a}M=\log _{a}M^{n}\end{aligned}}$ 。

一般いっぱん基數きすう同どう自然しぜん基數きすう分別ふんべつ[編輯へんしゅう]

以下いか呢個表ひょう可か以比較ひかく一般數字做基數同自然基數嘅分別：

常用じょうよう基數きすう（ $f(x)=\log _{10}x$ ）	自然しぜん基數きすう（ $f(x)=\ln x$ ）
$\log 1=0$	$\ln 1=0$
$\log 10=1$	$\ln e=1$
$\log 10^{x}=x$	$\ln e^{x}=x$
$10^{\log x}=x,x>0$	$e^{\ln x}=x,x>0$

換かわ基數きすう[編輯へんしゅう]

換かわ基數きすう（Change of Base）就係將しょう $\log$ 嘅基數すう轉換てんかん嘅公式しき。

「 $\log _{a}M={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}$ 」

如果將はた以上いじょう公式こうしき轉うたて去さ $10$ 做基數すう：

「 $\log _{a}M={\frac {\log M}{\log a}}$ 」

如果將はた以上いじょう公式こうしき轉うたて去さ $e$ 做基數すう：

「 $\log _{a}M={\frac {\ln M}{\ln a}}$ 」

證明しょうめい：

根據こんきょ定義ていぎ， $\log _{a}M=x$ 。

${\begin{aligned}\log _{a}M&=x\\a^{x}&=M\\\log _{b}a^{x}&=\log _{b}M\\x\log _{b}a&=\log _{b}M\\x&={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}\\\log _{a}M&={\frac {\log _{b}M}{\log _{b}a}}\end{aligned}}$