五ご边形

在ざい幾何きか學がく中なか，五ご邊へん形がた是ぜ指ゆび有ゆう五ご條じょう邊あたり和わ五ご個こ頂點ちょうてん的てき多邊形たへんけい，其內角かく和わ為ため540度ど。

正せい五ご邊へん形がた
一いち個こ正せい五ご邊へん形がた
類型るいけい	正せい多邊形たへんけい
對偶たいぐう	正せい五ご邊へん形がた（本身ほんみ）
邊あたり	5
頂點ちょうてん	5
對角線たいかくせん	5
施ほどこせ萊夫利り符號ふごう	{5}
考こう克かつ斯特符號ふごう
對稱たいしょう群ぐん	二に面體めんてい群ぐん (D5), order 2×5
面積めんせき	${\frac {5}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{5}}$ $\approx 1.720477400589a^{2}$
內角（度ど）	108°
內角和わ	540°
特性とくせい	凸とつ、圓えん內接多邊形たへんけい、等邊とうへん多邊形たへんけい、等角とうかく多邊形たへんけい、等邊とうへん圖形ずけい

五邊形可以分為凸五邊形和非凸五邊形，其中非ひ凸とつ五邊形包含了凹五邊形和另一種邊自我相交的五ご角かく星ほし。最さい簡單かんたん的てき五角星可藉由將正五邊形的對角線たいかくせん連れん起おこり來らい構成こうせい。

正せい五ご邊へん形がた

正せい五ご邊へん形がた是ぜ指ゆび五個邊等長且五個角等角的五邊形，其內角為ため108度ど，是ぜ一いち種しゅ正せい多邊形たへんけい，在ざい施ほどこせ萊夫利り符號ふごう中ちゅう可か以用$\left\{5\right\}$來らい表示ひょうじ。

正せい五ご邊へん形がた的てき中心ちゅうしん角かく為ため72度ど，其具有ぐゆう五ご個こ對稱たいしょう軸じく，其旋轉せんてん對稱たいしょう性せい有ゆう5個こ階かい（72°、144°、216° 和わ 288°）。

高こう$={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot$邊あたり長ちょう$\approx 1.539\cdot$邊あたり長ちょう

寬ひろし$={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot$邊あたり長ちょう$\approx 1.618\cdot$邊あたり長ちょう

對角線たいかくせん長ちょう$=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,$

其中$R$為ため外接がいせつ圓えん半徑はんけい。

邊あたり長ちょう為ため$t$的てき正せい凸とつ五邊形面積可以將之分割成5個こ等とう腰こし三角形さんかっけい計算けいさん：

$A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.$

正せい五邊形不能鑲嵌平面，因いん為ため其內角かく是ぜ108°，不能ふのう整除せいじょ360°。截至2015年ねん (2015-Missing required parameter 1=month!)，2017年ねん5月がつ，里さと昂のぼる高等こうとう师范学校がっこうMichaël Rao宣せん称しょう已やめ证明只ただ存在そんざい15种凸五边形鑲嵌平面情况。。

面積めんせき公式こうしき推導

正せい多邊形たへんけい的てき面積めんせき公式こうしき為ため：

$A={\frac {1}{2}}Pr$

其中，$P$是これ周しゅう長ちょう、$r$是これ邊あたり心こころ距。正せい五ご邊へん形がた的てき$P$和わ$r$可か由ゆかり三角さんかく函數かんすう計算けいさん：

$A={\frac {1}{2}}\times 5t\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}$

其中，$t$是正ぜせい五ご邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。

內切圓えん半徑はんけい

正せい五ご邊へん形がた是ぜ一いち個こ圓えん外切がいせつ多邊形たへんけい，因いん此有內切圓えん。其內切きり圓えん半徑はんけい與あずか邊あたり心こころ距相あい同どう，並なみ且可以尤其邊長ちょう來らい決定けってい。

$r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t$

其中，$r$為ため內切圓えん半徑はんけい與あずか邊あたり心こころ距相あい同どう、t為ため正せい五ご邊へん形がた邊あたり長ちょう。

構造こうぞう

里さと士し滿まん提出ていしゅつ了りょう一いち個こ構造こうぞう正せい五ご邊へん形がた的てき方法ほうほう，並なみ且在克かつ倫りん威い爾なんじ的てき《多面體ためんたい》中ちゅう被ひ進一しんいち步ふ討論とうろん。。

右上みぎうえ的てき圖ず顯示けんじ了りょう里さと士し滿まん繪え製せい正せい五ご邊へん形がた的てき方法ほうほう。先さき利用りよう單位たんい圓えん決定けってい五ご邊へん形がた的てき半徑はんけい。$C$為ため單位たんい圓えん圓心えんしん，$M$是これ圓えん$C$半徑はんけい的中てきちゅう點てん。$D$是ぜ位い於垂直ちょく於$MC$的てき另外一いち條じょう半徑はんけい的てき圓周えんしゅう上じょう。作さく$\angle CMD$的まと角かく平分へいぶん線せん，令れい$Q$為ため$\angle CMD$的まと角かく平分へいぶん線せん與あずか$CD$的てき交點こうてん。作さく過か$Q$平行へいこう於$MC$的てき直線ちょくせん，令れい之の與あずか圓えん$C$相あい交的交點こうてん為ため$P$，則のり$DP$為ため正せい五ご邊へん形がた的てき邊あたり長ちょう。

這條邊べ的てき長ちょう度ど可か以利用りよう圓えん下方かほう的てき兩個りゃんこ直角ちょっかく三角形さんかっけい$DCM$和わ$QCM$。利用りよう勾股定理ていり，較大的てき三角形さんかっけい斜邊しゃへん為ため${\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle$。小しょう三角形さんかっけい其中一いち股またh可か由ゆかり半角はんかく公式こうしき求もとめ得え：

$\tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,$

其中，角かく$\phi$可か由ゆかり大だい三角形さんかっけい求もとめ得え，其值為ため：

$h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .$

由よし此可得え到いた在ざい下圖したず正せい五邊形的邊長的一些相關值。右側みぎがわ三角形さんかっけい的てき邊あたり長ちょう$a$可か藉由再さい帶おび一いち次じ勾股定理ていり得とく：

$a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .$

欲求よっきゅう出で五ご邊へん形がた邊あたり長ちょう$s$可か透過とうか左側ひだりがわ的てき三角形さんかっけい，由ゆかり勾股定理ていり得とく：

$s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\$

$={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .$

使用しよう圓えん規ぶんまわし與あずか直ちょく尺せき建けん構出正せい五ご邊へん形がた。

五ご邊へん形がた邊あたり長ちょう$s$為ため：

$s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,$

得え到いた了りょう正確せいかく的てき結果けっか因いん此此種しゅ構造こうぞう正せい五ご邊へん形がた的てき方法ほうほう是ぜ有效ゆうこう的てき。

約やく西元にしもと前ぜん300年ねん，欧おう几里得とく在ざい他た的てき《几何原本げんぽん》中ちゅう描述了りょう一いち个用直ちょく尺せき和かず圆规做出正せい五ご边形的てき过程。

物理ぶつり方法ほうほう

打だ一いち個こ反はん手結たゆ的まと長ちょう條じょう紙し張ちょう

正せい五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反はん手結たゆ，並なみ將はた多た出來でき的てき部分ぶぶん向後こうご折おり來らい構造こうぞう。這種折おり法被はっぴ用よう在ざい摺すり紙し星ほし星ぼし上じょう。

等邊とうへん五ご邊へん形がた

有ゆう兩個りゃんこ直角ちょっかく的てき等邊とうへん五ご邊へん形がた

等邊とうへん五邊形是指五條邊等長的五邊形。等邊とうへん五ご邊へん形がた不ふ一定いってい是正ぜせい五ご邊へん形がた。由よし於其內角可か以取自じ一いち個こ範圍はんい內的集合しゅうごう，而形成けいせい一いち個こ等邊とうへん五ご邊へん形がた的てき群ぐん，相そう比ひ之の下した，正せい五ご邊へん形がた由よし於其內角也固定こてい了りょう，因いん此是唯一ゆいいつ的てき。

有ゆう兩個りゃんこ直角ちょっかく的てき等邊とうへん五邊形由於外形與有屋頂的房屋形狀非常相似，因いん此通常用じょうよう作さく房子ふさこ的てき符號ふごう。

五ご邊へん形がた鑲嵌

主しゅ条目じょうもく：五ご邊へん形がた鑲嵌

五ご邊へん形がた鑲嵌是ぜ指ゆび用よう全ちょん等ひとし的てき五ご邊へん形がた沒ぼつ有ゆう空隙くうげき地ち填はま滿まん整せい個こ平面へいめん的てき鑲嵌圖形ずけい。2017年ねん5月がつ，里さと昂のぼる高等こうとう师范学校がっこうMichaël Rao宣せん称しょう已やめ证明只ただ存在そんざい15种凸五边形鑲嵌平面情况。

扭歪五ご邊へん形がた

塗ぬり上じょう黃色おうしょく的てき邊あたり是ぜ一いち個こ扭歪五ご邊へん形がた，位い於四維正せい五ご胞體的てき施ほどこせ萊格爾なんじ圖ず的てき透視とうし投影とうえい。

扭歪五ご邊へん形がた，又また稱たたえ不ふ共とも面めん五ご邊へん形がた，是ぜ指ゆび頂點ちょうてん並なみ非ひ完全かんぜん共とも面めん的てき五ご邊へん形がた。

皮かわ特とく里さと多邊形たへんけい

一些高維度多胞體的皮かわ特とく里さと多邊形たへんけい是ぜ扭歪五ご邊へん形がた，例れい如四よん維正せい五ご胞體。

類るい五ご邊へん形がた形がた

主しゅ条目じょうもく：類るい五ご邊へん形がた形がた

類るい五邊形形是五邊形在其他維度的類比，只ただ存在そんざい於四よん維或ある以下いか的てき空間くうかん。這些形狀けいじょう都と具有ぐゆうH_n的てき考こう克かつ斯特群ぐん，其中正ちゅうせい五ご邊へん形がた為ためH₂，階數かいすう為ため10。

維度	二に維	三さん維	四よん維
類るい五ご邊へん形がた形がた
對偶たいぐう

由よし五ご邊へん形がた組成そせい的てき多面體ためんたい

有ゆう一些多面體由五邊形構成，最さい常見つねみ的てき就是正ぜせい十じゅう二に面體めんてい，是ぜ一個由正五邊形組成的正多面體。

Ih	Th	Td	O	I	D5d
正せい十じゅう二に面體めんてい	黃き鐵てつ礦形五ご角かく十じゅう二に面體めんてい	五ご角かく三さん四よん面體めんてい	五ご角かく二に十じゅう四よん面體めんてい	五ご角かく六ろく十じゅう面體めんてい	截對角かく五ご方偏かたへん方面ほうめん體たい

参まいり见

• 五ご邊へん形がた鑲嵌