对数正せい态分布ぶんぷ

在ざい概がい率りつ论与あずか统计学がく中なか，任意にんい随ずい机つくえ变量的てき对数服ふく从正せい态分布ぶんぷ,则这个随机つくえ变量服ふく从的分布ぶんぷ称しょう为对数正せい态分布ぶんぷ。如果 $Y$ 是正ぜせい态分布ぶんぷ的てき随ずい机つくえ变量，则 $\exp(Y)$（指数しすう函数かんすう）为对数すう正せい态分布ぶんぷ；同どう样，如果 $X$ 是ぜ对数正せい态分布ぶんぷ，则 $\ln X$为正态分布ぶんぷ。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘の积，则这个变量りょう可か以看作さく是ぜ对数正せい态分布ぶんぷ。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作さく是ぜ每ごと天てん收益しゅうえき率りつ的てき乘じょう积。 对于 $x>0$，对数正せい态分布ぶんぷ的てき概がい率りつ密度みつど函数かんすう为

对数正せい态分布ぶんぷ

概がい率りつ密度みつど函數かんすう μみゅー=0
累積るいせき分布ぶんぷ函數かんすう μみゅー=0
参さん数すう	$\sigma \geq 0$ $-\infty \leq \mu \leq \infty$
值域	$x\in [0;+\infty )\!$
概がい率りつ密度みつど函数かんすう	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left[\ln(x)-\mu \right]^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
累積るいせき分布ぶんぷ函數かんすう	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$
期き望もち值	$e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$
中位ちゅうい數すう	$e^{\mu }$
眾數	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$
方かた差さ	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}$
偏へん度ど	$(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$
峰みね度ど	$e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6$
熵	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
矩のり生成せいせい函数かんすう	(参まいり见原始げんし动差文ぶん本ほん)
特徵とくちょう函数かんすう	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$is asymptotically divergent but sufficient for numerical purposes

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

其中 $\mu$ 与あずか $\sigma$ 分ぶん别是变量对数的てき平均へいきん值与あずか標準ひょうじゅん差さ。它的期き望もち值是これ

$\mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

方かた差さ为

$\mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,$

给定期き望もち值与方かた差さ，也可以用这个关系求もとむ $\mu$ 与あずか $\sigma$

$\mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),$

$\sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).$

与あずか几何平均へいきん值和几何标准差さ的てき关系

对数正せい态分布ぶんぷ、几何平均へいきん数すう与あずか几何標準ひょうじゅん差さ是ぜ相互そうご关联的てき。在ざい这种情じょう况下，几何平均へいきん值等于 $\exp(\mu )$，几何標準ひょうじゅん差等さとう于 $\exp(\sigma )$。

如果采さい样数据すえ来き自じ于对数すう正せい态分布ぶんぷ，则几何なん平均へいきん值与几何标准差さ可か以用于估计置信しん区く间，就像用よう算さん术平均へいきん数すう与あずか标准差さ估计正せい态分布ぶんぷ的てき置おけ信しん区く间一样。

置おけ信しん区く间界	对数空そら间	几何
3σしぐま 下界げかい	$\mu -3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$
2σしぐま 下界げかい	$\mu -2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
1σしぐま 下界げかい	$\mu -\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }$
1σしぐま 上うえ界かい	$\mu +\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }$
2σしぐま 上うえ界かい	$\mu +2\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}$
3σしぐま 上うえ界かい	$\mu +3\sigma$	$\mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}$

其中几何平均へいきん数すう $\mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )$，几何標準ひょうじゅん差さ $\sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )$

矩のり

原始げんし矩のり为：

$\mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}$

$\mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}$

或ある者もの更さら为一般いっぱん的てき矩のり

$\mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.$

局部きょくぶ期き望もち

随ずい机つくえ变量 $X$ 在ざい阈值 $k$ 上うえ的てき局部きょくぶ期き望もち定てい义为

$g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx$

其中 $f(x)$ 是ぜ概がい率りつ密度みつど。对于对数正せい态概率りつ密度みつど，这个定てい义可以表示ひょうじ为

$g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)$

其中 $\Phi$ 是ぜ标准正せい态部分ぶぶん的てき累るい积分布ぶんぷ函数かんすう。对数正せい态分布ぶんぷ的てき局部きょくぶ期き望もち在ざい保ほ险业及经济领域いき都と有ゆう应用，著名ちょめい的てきBlack-Scholes期き权定价公式こうしき便びん可か由よし此推导出。

参まいり数すう的てき最大さいだい似に然しか估计

为了确定对数正せい态分布ぶんぷ参さん数すう $\mu$ 与あずか $\sigma$ 的てき最大さいだい似に然しか估计，我わが们可以采用よう与あずか正せい态分布ぶんぷ参まいり数すう最大さいだい似に然しか估计同どう样的方法ほうほう。我わが们来看み

$f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )$

其中用よう $f_{L}(\cdot )$ 表示ひょうじ对数正せい态分布ぶんぷ的てき概がい率りつ密度みつど函数かんすう，用よう $f_{N}(\cdot )$— 表示ひょうじ正せい态分布ぶんぷ。因よし此，用もちい与あずか正せい态分布ぶんぷ同どう样的指数しすう，我わが们可以得到いた对数最大さいだい似に然しか函数かんすう：

${\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}$

由よし于第一いち项相对于 $\mu$ 与あずか $\sigma$ 来らい说是常数じょうすう，两个对数最大さいだい似に然しか函数かんすう $\ell _{L}$ 与あずか $\ell _{N}$ 在ざい同どう样的 $\mu$ 与あずか $\sigma$ 处有最大さいだい值。因よし此，根ね据すえ正せい态分布ぶんぷ最大さいだい似に然しか参まいり数すう估计器き的てき公式こうしき以及上面うわつら的てき方かた程ほど，我わが们可以推导出对数正せい态分布ぶんぷ参さん数すう的てき最大さいだい似に然しか估计

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.$

相あい关分布ぶんぷ

• 如果 $Y=\ln(X)$ 与あずか $X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})$，则 $Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ 是これ正せい态分布ぶんぷ。
• 如果 $X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}$ 是ぜ有ゆう同どう样 $\mu$ 参さん数すう、而 $\sigma$ 可能かのう不同ふどう的てき统计独立どくりつ对数正せい态分布ぶんぷ变量 ，并且 $Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}$，则 $Y$ 也是对数正せい态分布ぶんぷ变量：$Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)$。

进一步的阅读资料

• Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的てき "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994.

参考さんこう文献ぶんけん

• 对数正せい态分布ぶんぷ, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957)
• Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001).
• 对数正せい态分布ぶんぷ特性とくせい, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4
• Eric W. Weisstein et al. 对数正せい态分布ぶんぷ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） at MathWorld. Electronic document, 2006年ねん10月がつ26日にち造づくり訪おとずれ.

参まいり见

• 几何平均へいきん数すう
• 几何标准差さ
• 误差函数かんすう