椭圆

在ざい数学すうがく中なか，椭圆是ぜ平面へいめん上じょう到いた两个相しょう異い固定こてい点てん的てき距离之の和わ为常数じょうすう的まと点てん之の轨迹。

根據こんきょ該定義ていぎ，可か以用手しゅ繪え橢圓だえん：先さき準備じゅんび一いち條じょう線せん，將はた這條線せん的てき兩端りょうたん各かく綁在固定こてい的てき點てん上じょう（這兩個りゃんこ點てん就當作さく是ぜ橢圓だえん的てき兩個りゃんこ焦點しょうてん，且距離きょり小しょう於線長ちょう）；取と一いち支ささえ筆ひつ，用筆ようひつ尖とんが将しょう線せん繃緊，這時候じこう兩個りゃんこ點てん和わ筆ひつ就形成けいせい一いち個こ三角形さんかっけい（的てき兩邊りょうへん）；然しか後こう左右さゆう移動いどう筆ひつ尖とんが拉ひしげ住じゅう線せん開始かいし作圖さくず，持續じぞく地ち使つかい線せん繃緊，最後さいご就可以完成かんせい一いち個こ橢圓だえん圖形ずけい。

由よし於兩個りゃんこ固定こてい點てん之の間あいだ的てき距離きょり也是一定いってい的てき，所以ゆえん可か以省去さ綁在點てん上じょう這一步驟而改將線綁成環狀，然しか後こう以筆尖とんが和わ這兩個りゃんこ焦點しょうてん將しょう線せん繃直即そく可か。下した同どう。

概がい述じゅつ

一個平面切截一個圓錐面得到的橢圓。

椭圆是ぜ一いち种圆锥曲きょく线：如果一个平面切截一个圆锥面めん，且不与あずか它的底そこ面相めんそう交，也不与あずか它的底面ていめん平行へいこう，则圆锥和平面へいめん交截线是个椭圆。

在ざい代数だいすう上じょう说，椭圆是ぜ在ざい笛ふえ卡尔平面へいめん上うえ如下形式けいしき的てき方かた程ほど所定しょてい义的曲きょく线

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,

使つかい得とく $B^{2}<4AC\,$ ，这里的てき係数けいすう都と是ぜ实数，并存在そんざい定てい义在椭圆上じょう的てき点てん对 (x, y) 的てき多た于一个的解かい。

穿ほじ过两焦点しょうてん并终止とめ于椭圆上的てき线段AB叫さけべ做长轴。长轴是ぜ通どおり过连接せっ椭圆上じょう的てき两个点てん所しょ能のう获得的てき最さい长线段だん。穿ほじ过中心ちゅうしん（两焦点てん的てき连线的てき中点ちゅうてん）垂直すいちょく于长轴并且终止とめ于椭圆的线段CD叫さけべ做短たん轴。半はん長ちょう軸じく（图中指示しじ为 a）是ぜ长轴的てき一半いっぱん：从中心ちゅうしん通どおり过一个焦点到椭圆的边缘的线段。半はん短たん軸じく（图中指示しじ为 b）是ぜ短たん轴的一半いっぱん。

如果两个焦点しょうてん重合じゅうごう，则这个椭圆是圆；换句话说，圆是离心率りつ为零的てき椭圆。

中心ちゅうしん位い于原点げんてん的てき椭圆 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1\,$ 可か以被看み作づく单位圆在ざい关联于对称矩のり阵 $A^{\prime }={\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}=PDP^{T}\,$ 的てき线性映うつ射い下した的てき图像，这里的てき D 是ぜ带有 $A^{\prime }$ 的てき特とく征せい值的てき对角矩のり阵，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是ぜ拥有 $A^{\prime }$ 的てき特とく征せい向こう量りょう作さく为纵列れつ的てき实数的てき酉とり矩のり阵。椭圆的てき长短轴分别沿着ぎ $A^{\prime }$ 的てき两个特とく征せい向こう量的りょうてき方向ほうこう，而两个与之の对应的てき特とく征せい值分别是半はん长轴和わ半はん短たん轴的てき长度的てき平方へいほう的てき倒たおせ数すう。

椭圆可か以通过对一いち个圆的てき所有しょゆう点てん的てき x 坐すわ标乘以一个常数而不改变 y 坐すわ标来生成せいせい。

离心率りつ

形狀けいじょう母はは數すう：

C：中心ちゅうしん
F₁：焦點しょうてん一いち；
F₂：焦點しょうてん二に；
a：半はん长轴；
b：半はん短たん轴；
c：半はん焦こげ距；
p：半はん正せい焦こげ弦つる（通常つうじょう標示ひょうじ作さく $\ell$ ）。

椭圆的てき形状けいじょう可か以用叫さけべ做椭圆的离心率りつ的てき一个数来表达，习惯上じょう指示しじ为 $\varepsilon \,$ 。离心率りつ是ぜ小しょう于 1 大だい于等于 0 的てき实数。离心率りつ 0 表示ひょうじ着ぎ两个焦点しょうてん重合じゅうごう而这个椭圆是圆。

对于有半ゆうはん长轴 a 和かず半なかば短たん轴 b 的てき椭圆，离心率りつ是ぜ

\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

离心率りつ越えつ大だい，a 与あずか b 的てき比率ひりつ就越大だい，因いん此椭圆被更さら加か拉ひしげ长。

半はん焦こげ距c 等とう于从中心ちゅうしん到いた任にん一いち焦点しょうてん的てき距离，

c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}

则

\varepsilon ={\frac {c}{a}}

半はん焦こげ距 c 也叫做椭圆的线性离心率りつ。在ざい两个焦点しょうてん间的距离是ぜ 2c = 2aεいぷしろん。

方かた程ほど

在ざい正規せいき位置いち上じょう的てき橢圓だえん的てき參まいり數すう方ぽう程ほど。參まいり數すう t 是ぜ藍あい線せん對たい於 X-軸じく的てき角度かくど。

中心ちゅうしん位い于点 $(h,k)$ 的てき主しゅ轴平行へいこう于 x 轴的椭圆由よし如下方かた程ほど指定してい

{\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1

这个椭圆可か以参数すう化か表ひょう达为

x=h+a\,\cos t,\,\!

y=k+b\,\sin t\,\!

这里的てき $t$ 可か以限制せい于区间 $-\pi \leq t\leq \pi \,\!$ 。

如果 $h=0$ 且 $k=0$ （就是说，如果中心ちゅうしん是ぜ原点げんてん(0,0))，则

x=a\,\cos t,\,\!

y=b\,\sin t\,\!

这个参さん数すう方ぽう程ほど揭示けいじ了りょう两个方向ほうこう相互そうご垂直すいちょく的てき简谐运动(表おもて现为具有ぐゆう周期しゅうき性せい的てき简谐波は)合成ごうせい了りょう闭合的てき椭圆形がた周期しゅうき性せい运动（表おもて现为轨迹是ぜ椭圆）。

椭圆方かた程ほど	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)$	${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)$
图像
范围	$-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b$	$-a\leq y\leq a,-b\leq x\leq b$

相對そうたい於中心ちゅうしん的てき極ごく坐すわ標しるべ形式けいしき

用よう极坐标可表ひょう达为

{\overline {CP}}=r'={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi }}}={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\psi }}}

这里的てき $\varepsilon$ 是ぜ椭圆的てき离心率りつ； $\psi$ 是これ ${\overline {CB}}$ 与あずか ${\overline {CP}}$ 的てき夹角

相對そうたい於焦點てん的てき極ごく坐すわ標しるべ形式けいしき

橢圓だえん的てき極ごく坐すわ標しるべ，原はら點在てんざい F1

有ゆう一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程ほど是これ

{\overline {F_{1}P}}=r={\frac {a\cdot (1-\varepsilon ^{2})}{1-\varepsilon \cdot \cos \theta }}

这里的てき $\theta$ 是これ ${\overline {F_{1}B}}$ 与あずか ${\overline {F_{1}P}}$ 的てき夹角

半はん正せい焦こげ弦つる和わ极坐标

椭圆的てき半はん正せい焦こげ弦つる(通常つうじょう指示しじ为 $\ell \,\!$ )，是ぜ从椭圆的一个焦点到椭圆自身，沿着垂直すいちょく主ぬし轴的直ちょく线测量的りょうてき距离。它有关于 $a\,\!$ 和わ $b\,\!$ （椭圆的てき半はん轴），通つう过公式しき $a\ell =b^{2}\,\!$ 或ある者もの如果使用しよう离心率りつ的てき话 $\ell =a\cdot (1-\varepsilon ^{2})\,\!$ 。

椭圆，使用しよう半はん正せい焦こげ弦つる展示てんじ

在ざい极坐标中ちゅう，一个焦点在原点而另一个焦点在负 x 轴上的てき椭圆给出自しゅつじ方かた程ほど

r\cdot (1+\varepsilon \cdot \cos \theta )=\ell \,\!

椭圆可か以被看み作さく是ぜ圆的投影とうえい：在ざい与あずか水平面すいへいめん有ゆう角度かくど φふぁい的てき平面へいめん上じょう的てき圆垂直ちょく投影とうえい到いた水平面すいへいめん上じょう给出离心率りつ sin φ 的てき椭圆，假定かてい φふぁい不ふ是ぜ 90°。

橢圓だえん（用よう紅べに色繪いろえ制せい）可か以表達たち為ため内うち旋轮线在ざい R=2r 時じ的てき特殊とくしゅ情況じょうきょう。

面めん积和周しゅう长

椭圆所しょ包つつみ围的面めん积是 $\pi ab\,$ ，这里的てき $a\,$ ，和わ $b\,$ ，是ぜ半はん长轴和かず半なかば短たん轴。在ざい圆的情じょう况下 $a=b\,$ ，表おもて达式简化为 $\pi a^{2}\,$ 。

椭圆的てき周しゅう长是 $4aE({\frac {c}{a}})$ ，这里的てき函数かんすう $E\,$ 是ぜ第だい二に类完全かんぜん椭圆积分。

周しゅう长为： $C=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\rm {d}}\theta \!$ 或ある者もの $C=4a\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ {\rm {d}}t.\!$

精せい确的无穷级数为：

C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}{\frac {c^{2}}{a^{2}}}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{c^{4} \over {3a^{4}}}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{c^{6} \over {5a^{6}}}-\dots }\right]\!\,

或ある：

C=-2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace \left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{c^{2n} \over {{a^{2n}}\left(2n-1\right)}}\right\rbrace }

拉ひしげ马努金きん给出一いち较为接近せっきん的てき式子のりこ：

C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,

它还可か以写为：

C\approx 3a\pi \left[1+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]-a\pi {\sqrt {\left[3+{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]\left[1+3{\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}\right]}}\!\,

还有一いち条じょう近似きんじ很高的てき公式こうしき：

C\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right]\left[1+\left({\frac {22}{7\pi }}-1\right)\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{33}{\sqrt[{1000}]{\left({\frac {a-b}{a}}\right)^{697}}}\right]\!\,

标准方かた程ほど的てき推导

如果在ざい一个平面内一个动点到いた两个定点ていてん的てき距离的てき和わ等とう于定长，那な么这个动点てん的てき轨迹叫さけべ做椭圆。

假かり设（注意ちゅうい所有しょゆう假かり设只是ぜ为了导出椭圆方かた程ほど时比较简便びん）动点为 $P(x,y)\,$ ，两个定点ていてん为 $F_{1}(-c,0)\,$ 和わ $F_{2}(c,0)\,$ ，则根据すえ定てい义，动点 $P$ 的てき轨迹方かた程ほど满足（定てい义式）：

|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a(a>0)\,

，其中

2a\,

为定长。

用よう两点的てき距离公式こうしき可か得とく： $|PF_{1}|={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\,$ ， $|PF_{2}|={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}\,$ ，代だい入定にゅうじょう义式中ちゅう，得とく：

{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}=2a\,

①

上うえ式しき左ひだり方かた分子ぶんし凑出平方へいほう差さ，并化简，得とく：

{\frac {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}-\left[\left(x-c\right)^{2}+y^{2}\right]}{{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}}}=2a\,

分子ぶんし大だい部分ぶぶん相しょう消きえ，分母ぶんぼ移うつり项即得とく

{\sqrt {\left(x+c\right)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {\left(x-c\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {2xc}{a}}\,

②

①、②式しき相しょう加か并平方かた，整理せいり得とく

x^{2}\left({\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}\right)+y^{2}=a^{2}-c^{2}\,

当とう $a>c\,$ 时，并设 $a^{2}-c^{2}=b^{2}\,$ ，则上式しき可か以进一いち步ほ化か简：

x^{2}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=b^{2}\,

因いん为 $b^{2}>0\,$ ，将はた上うえ式しき两边同どう除じょ以 $b^{2}\,$ ，可か得とく：

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,

则该方かた程ほど即そく动点 $P$ 的てき轨迹方かた程ほど，即そく椭圆的てき方かた程ほど。这个形式けいしき也是椭圆的てき标准方かた程ほど。

椭圆的てき图像如果在ざい直角ちょっかく坐すわ标系中ちゅう表示ひょうじ，那な么上述じょうじゅつ定てい义中两个定点ていてん被ひ定てい义在了りょうx轴。若わか将はた两个定点ていてん改あらため在ざいy轴，可か以用相しょう同どう方法ほうほう求もとめ出で另一个椭圆的标准方かた程ほど：

{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)\,

在方ざいかた程ほど中ちゅう，所しょ设的 $2a\,$ 称しょう为长轴长， $2b\,$ 称しょう为短たん轴长，而所设的定点ていてん称しょう为焦点しょうてん，那な么 $2c\,$ 称しょう为焦こげ距。在ざい假かり设的过程中ちゅう，假かり设了 $a>c\,$ ，如果不ふ这样假かり设，会かい发现得とく不ふ到いた椭圆。当とう $a=c\,$ 时，这个动点的てき轨迹是ぜ一いち个线段；当とう $a<c\,$ 时，根本ねもと得とく不ふ到いた实际存在そんざい的てき轨迹，而这时，其轨迹称为虚きょ椭圆。另外还要注意ちゅうい，在ざい假かり设中，还有一いち处： $a^{2}-c^{2}=b^{2}\,$ 。
通常つうじょう认为圆是ぜ椭圆的てき一种特殊情况。

椭圆的てき旋转和平わへい移うつり

对于平面へいめん上じょう任意にんい椭圆 $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$ ，总可以将之の转化为

A(x-u)^{2}+2B(x-u)(y-v)+C(y-v)^{2}+D'(x-u)+E'(y-v)+F'=0\,

的形まとがた式しき。具体ぐたい步ふ骤为，将はた后きさき式しき的てき各かく乘じょう积乘方かた项展开，根ね据すえ与あずか前ぜん式しき对应项係数すう相等そうとう的てき法ほう则便可か求もとめ得えu,v,D',E',F'的てき值（ $D'=2Au+Bv+D$ , $E'=Bu+2Cv+E$ , $F'=-(Au^{2}+Buv+Cv^{2})-D'u-E'v+F\,$ ）。其中， $(u,v)$ 便びん是ぜ该椭圆的中心ちゅうしん（F'=0）。