点てん积

本文ほんぶん介かい绍向量的りょうてき标量积。关于其他常つね称しょう作さく内うち积的まと相しょう关二に元げん运算，参まいり见内うち积。

在ざい数学すうがく中なか，点てん积（德とく語ご：Punktprodukt；英語えいご：dot product）又また称しょう数量すうりょう积或ある标量积（德とく語ご：Skalarprodukt；英語えいご：scalar product），是ぜ一种接受两串等长的数字序列（通常つうじょう是ぜ坐すわ标向むかい量りょう）、返かえし回かい单一数字すうじ的てき代数だいすう运算。

在ざい欧おう几里得とく几何里さと，两條笛ふえ卡尔坐标向こう量的りょうてき点てん积常称しょう为内うち积（德とく語ご：inneres Produkt；英語えいご：inner product）。點てん积是内うち积的てき一いち种特殊とくしゅ形式けいしき：内うち积是点てん积的抽象ちゅうしょう，內积是ぜ一种双线性函数，点てん积是欧おう几里得とく空そら间（内うち积空间）的てき度量どりょう。

从代数すう角度かくど看み，先さき求もとめ两数字すうじ序列じょれつ中ちゅう每まい组对应元素的すてき积，再さい求もとめ所有しょゆう积之和わ，结果即そく为点积。从几何なん角度かくど看み，点てん积则是ぜ两向量的りょうてき长度与あずか它们夹角余弦よげん的てき积。这两种定义在笛ふえ卡尔坐标系中等ちゅうとう价。

点てん积的てき名称めいしょう源げん自じ表示ひょうじ点てん乘じょう运算的てき点てん号ごう（$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$），讀作a dot b，标量积的てき叫さけべ法ほう则是在ざい强きょう调其运算结果为标量而非向むかい量りょう。向こう量的りょうてき另一种乘法ほう是ぜ叉また乘じょう（$\mathbf {a} \times \mathbf {b}$），讀作a cross b，其结果はて为向量りょう，称しょう为叉また积或ある向むかい量りょう积。

定てい义

点てん积有两种定てい义方式しき：代数だいすう方式ほうしき和わ几何方式ほうしき。通つう过在欧おう氏し空そら间中引入笛ふえ卡尔坐标系，向むこう量りょう间的点てん积既すんで可か以由向むこう量りょう坐すわ标的代数だいすう运算得とく出で，也可以通过引入にゅう两向量的りょうてき长度和わ角度かくど等とう几何概念がいねん来らい求もとめ解かい。

代数だいすう定てい义

向むかい量りょう${\vec {a}}=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]$和わ${\vec {b}}=[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]$的まと点てん积定义为：

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

这裡的てきΣしぐま是ぜ求もとめ和わ符号ふごう，而n是これ向むかい量りょう空間くうかん的てき維度。

例れい如，三さん维向量りょう$\left[1,3,-5\right]$和わ$\left[4,-2,-1\right]$的まと点てん积是

${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}$

点てん积还可か以写为：

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}{\vec {b}}^{T}$。

这裡，${\vec {b}}^{T}$是これ行ぎょう向むこう量りょう${\vec {b}}$的てき转置。

使用しよう上面うわつら的てき例れい子こ，1×3矩のり阵（行くだり向むこう量りょう）乘じょう以3×1矩のり阵（列れつ向むこう量りょう）的てき行列ぎょうれつ式しき就是结果(通つう过矩阵乘法ほう得え到いた1×1矩のり陣じん):

${\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3$。

几何定てい义

在ざい欧おう几里得とく空そら间中ちゅう，点てん积可直ちょく观定义为

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \;$

这里 |${\vec {x}}$| 表示ひょうじ${\vec {x}}$的てき模も（长度），$\theta$表示ひょうじ向こう量りょう间的角度かくど。

注意ちゅうい：点てん积的形式けいしき定てい义和かず这定义不同どう；在ざい形式けいしき定てい义，${\vec {a}}$和わ${\vec {b}}$的てき夹角用よう上述じょうじゅつ等式とうしき定てい义。

这样，互相垂直すいちょく的てき两條向こう量的りょうてき点てん积总是ぜ零れい。若わか${\vec {a}}$和わ${\vec {b}}$都みやこ是ただし单位向むこう量りょう（长度为1），它们的てき点てん积就是ぜ它们的てき夹角的てき余弦よげん。那な么，给定两條向むこう量りょう，它们之の间的夹角可か以以下か公式こうしき得え到いた：

$\cos {\theta }={\frac {\mathbf {a\cdot b} }{|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}}$

这个运算可か以简单地理解りかい为：在ざい点てん积运算さん中ちゅう，第だい一向量投影到第二向量上（向むこう量りょう顺序这裡在ざい不ふ重要じゅうよう，点てん积运算さん可か交换），然しか后きさき通どおり过除以它们的标量长度来らい“标准化か”。这样，这分数すう一定是小于等于1的てき，可か以简单转化成かせい角度かくど值。

标量投影とうえい

A·B = |A| |B| cos(θしーた).
|A| cos(θしーた)是これA到いたB的てき投影とうえい。

欧おう氏し空そら间中向むこう量りょう$\mathbf {A}$在ざい向むこう量りょう$\mathbf {B}$上うえ的てき标量投影とうえい是ぜ指ゆび對たい於向量りょうB來らい說せつ向むこう量りょうA的てき垂直すいちょく度ど到いた向こう量りょうB的てき代表だいひょう長ちょう度たび

$A_{B}=|\mathbf {A} |\cos \theta$

这里$\theta$是これ$\mathbf {A}$和わ$\mathbf {B}$的てき夹角。从点积的几何定てい义$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta$不ふ难得出で，两向量的りょうてき点てん积：$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$可か以理解りかい为向量りょう$\mathbf {A}$在ざい向むこう量りょう$\mathbf {B}$上うえ的てき投影とうえい再さい乘じょう以$\mathbf {B}$的てき长度。

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{B}|\mathbf {B} |=B_{A}|\mathbf {A} |$

两种定てい义的等とう价性

点てん积的两种定てい义中，只ただ需给定じょう一いち种定义，另外一种定义就可以推出。

由よし几何定てい义推出で代数だいすう定てい义

设$e_{1},...,e_{n}$是これ$\mathbb {R} ^{n}$空そら间的一组标准正交基，可か以得出で：

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {B} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}$

上うえ文中ぶんちゅう已やめ经得知ち两條向むこう量りょう点てん积的几何定てい义实际上就是一條向量在另外一條向量上的投影，故ゆえ$\mathbf {A}$在任ざいにん一いち标准基もと$e_{n}$的まと点てん积$\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i}$就是$\mathbf {A}$在ざい此标准じゅん基もと向むこう量りょう上じょう的てき投影とうえい，而根据すえ向こう量りょう自身じしん的てき定てい义，这个投影とうえい即そく为$a_{i}$。因よし此：

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}$

由よし代数だいすう定てい义推出で几何定てい义

应用余弦よげん定理ていり。 注意ちゅうい：这个证明采さい用よう三さん维向量りょう，但ただし可か以推广到$n$维的情じょう形がた。

考こう虑向量りょう

${\vec {v}}=v_{1}{\vec {i}}+v_{2}{\vec {j}}+v_{3}{\vec {k}}\;$.

重じゅう復ふく使用しよう勾股定理ていり得え到いた

$|{\vec {v}}|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;$.

而由代数だいすう定てい义

${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\;$,

所以ゆえん，根ね据すえ向こう量りょう点てん积的代数だいすう定てい义，向むこう量りょう${\vec {v}}$和かず自身じしん的てき点てん积就是ぜ其长度ど的てき平方へいほう。

引理1

${\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {v}}|^{2}\;$

现在，考こう虑从原点げんてん出で发的两條向むこう量りょう${\vec {a}}$和わ${\vec {b}}$，夹角$\theta$。第だい三條さんじょう向むこう量りょう${\vec {c}}$定てい义为

${\vec {c}}\equiv {\vec {a}}-{\vec {b}}\;$,

构造以${\vec {a}}$，${\vec {b}}$，${\vec {c}}$为边的てき三角形さんかっけい，采さい用よう余弦よげん定理ていり，有ゆう

$|{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$.

根ね据すえ引理1，用よう点てん积代替だいたい向こう量りょう长度的てき平方へいほう，有ゆう

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$. （1）

同どう时，根ね据すえ定てい义${\vec {c}}$ ≡ ${\vec {a}}$ - ${\vec {b}}$，有ゆう

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\;$,

根ね据すえ分配ぶんぱい律りつ，得とく

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\;$. （2）

连接等式とうしき（1）和わ（2）有ゆう

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$.

简化等式とうしき即そく得とく

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \;$,

以上いじょう即そく为向量りょう点てん积的几何定てい义。

需要じゅよう注意ちゅうい的てき是ぜ，点てん积的几何解かい释通常つうじょう只ただ适用于$\mathbb {R} ^{n}$ ($n\leq 3$)。在高ありだか维空间，其他的てき域いき或ある模も中ちゅう，点てん积只有ゆう一いち个定义，那な就是

$\left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

点てん积可以用来らい计算合力ごうりょく和わ功こう。若わか${\vec {b}}$为单向むこう量りょう，则点积即为${\vec {a}}$在ざい方向ほうこう${\vec {b}}$的てき投影とうえい，即そく给出了りょう力ちから在ざい这个方かた向上こうじょう的てき分解ぶんかい。功こう即そく是ぜ力りょく和わ位い移うつり的まと点てん积。

性せい质

点てん积有以下いか性せい质。

• 满足交换律りつ：

  ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$，

  从定义即可か证明（$\theta$ 为$a$与あずか$b$的てき夹角）：

  ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|\cos \theta =\left\|{\vec {b}}\right\|\left\|{\vec {a}}\right\|\cos \theta ={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$

• 对向量りょう加法かほう满足分配ぶんぱい律りつ：

  ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$

• 点てん积是双そう线性算さん子こ：

  ${\vec {a}}\cdot (r{\vec {b}}+{\vec {c}})=r({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})$

• 在ざい乘の以标量りょう时满足あし：

  $(c_{1}{\vec {a}})\cdot (c_{2}{\vec {b}})=(c_{1}c_{2})({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})$

• 不ふ满足结合律りつ。因よし为标量りょう（${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$）与あずか向こう量りょう（${\vec {c}}$）的てき点てん积没有定ありさだ义，所以ゆえん结合律りつ相しょう关的表ひょう达式 $({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$ 和わ ${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})$ 都と没ぼつ有ゆう良好りょうこう的てき定てい义

• 两个非ひ零れい向こう量りょう${\vec {a}}$和わ${\vec {b}}$是これ正せい交的てき，当とう且仅当とう${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$

如果${\vec {b}}$是これ单位向むこう量りょう，则点积给出で${\vec {a}}$在ざい方向ほうこう${\vec {b}}$上うえ投影とうえい的てき大小だいしょう，如果方向ほうこう相反あいはん则带有ゆう负号。分解ぶんかい向こう量りょう对求向こう量的りょうてき和わ经常是ぜ有用ゆうよう的てき，比ひ如在力学りきがく中ちゅう计算合力ごうりょく。

不ふ像ぞう普通ふつう数すう的てき乘法じょうほう服ふく从消去しょうきょ律りつ，如果$ab=ac$，则$b$总是等とう于$c$，除じょ非ひ$a$等とう于零。而对于点积：

如果${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}$并且${\vec {a}}\neq 0$:

则根据すえ分配ぶんぱい律りつ可か以得出で：${\vec {a}}\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {c}}\right)=0$；进而：

如果${\vec {a}}$垂直すいちょく于$\left({\vec {b}}-{\vec {c}}\right)$，则$\left({\vec {b}}-{\vec {c}}\right)$可能かのう$\neq 0$，因いん而${\vec {b}}$可能かのう$\neq {\vec {c}}$；否いや则${\vec {b}}={\vec {c}}$。

延伸えんしん

矩のり阵

矩のり阵具有ぐゆう弗どる罗比尼あま乌斯内ない积，可か以类比ひ于向量的りょうてき内ない积。它被定てい义为两个相しょう同どう大小だいしょう的てき矩のり阵A和わB的てき对应元素げんそ的てき内ない积之和わ。

复矩阵情况下：

$\mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {H} }).$

实矩阵情况下：

$\mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }).$

应用

物理ぶつり学がく中なか力学りきがく的まと力りょく做功的てき问题，经常用じょうよう到いた点てん积计算さん。

计算机つくえ图形学がく常用じょうよう来らい判断はんだん方向ほうこう，如两向むこう量りょう点てん积大于0，则它们的方向ほうこう朝あさ向むかい相近すけちか；如果小しょう于0，则方向ほうこう相反あいはん。

向こう量りょう内ない积是人工じんこう智能ちのう领域中ちゅう的てき神かみ经网络技わざ术的数学すうがく基もと础之一いち。

此方こちら法用ほうよう于动画渲染（Animation-Rendering）。

广义定てい义

在ざい向むかい量りょう空そら间$V$中なか，定義ていぎ在ざい$V\times V$上うえ的てき正せい定てい对称双そう线性形式けいしき函數かんすう即そく是ぜ$V$的てき內積，而添加てんか有数ゆうすう量りょう积的向むこう量りょう空そら间即是ぜ内うち积空间。

参まいり见

• 向むかい量りょう积