在 ざい 文章 ぶんしょう 裏 うら 會 かい 當 とう 簡單 かんたん 與 あずか 公式 こうしき 化 か 的 てき 方式 ほうしき 詳細 しょうさい 地 ち 講 こう 解 かい 一 いち 個 こ 束縛 そくばく 原子 げんし 電子 でんし 的 てき 自 じ 軌道 きどう 作用 さよう 理論 りろん 用 よう 到 いた 電磁 でんじ 學 がく 非 ひ 相對 そうたい 論 ろん 性 せい 量子力學 りょうしりきがく 一 いち 階 かい 微 ほろ 論 ろん 軌道 きどう 作用 さよう 理論 りろん 給 きゅう 出 で 的 てき 答案 とうあん 與 あずか 實驗 じっけん 結果 けっか 並 なみ 不完全 ふかんぜん 相 しょう 同 どう 但 ただし 相當 そうとう 的 てき 符合 ふごう 更 さら 嚴 げん 導 しるべ 狄拉克 かつ 方程式 ほうていしき 開始 かいし 求 もとめ 得 とく 相 しょう 同 どう 的 てき 答案 とうあん 若 わか 想 そう 得 え 到 いた 更 さら 準 じゅん 確 かく 的 てき 答案 とうあん 則 のり 必須 ひっす 用 よう 量子 りょうし 電動 でんどう 力學 りきがく 來 らい 計算 けいさん 微小 びしょう 的 てき 修正 しゅうせい 種 しゅ 方法 ほうほう 都 と 在 ざい 本條 ほんじょう 目 め 範圍 はんい 之 の 外 そと
雖然在 ざい 原子核 げんしかく 的 てき 靜止 せいし 參考 さんこう 系 けい rest frame ) ，並 なみ 沒 ぼつ 有 ゆう 作用 さよう 在 ざい 電子 でんし 上 じょう 的 てき 磁場 じば 在 ざい 電子 でんし 的 てき 靜止 せいし 參考 さんこう 系 けい 有 ゆう 作用 さよう 在 ざい 電子 でんし 上 じょう 的 てき 磁場 じば 存在 そんざい 暫時 ざんじ 假設 かせつ 電子 でんし 的 てき 靜止 せいし 參考 さんこう 系 けい 為 ため 慣性 かんせい 參考 さんこう 系 けい 則 のり 根據 こんきょ 狹義 きょうぎ 相對 そうたい 論 ろん [ 1] 磁場 じば
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
是 これ
B
=
−
v
×
E
c
2
{\displaystyle \mathbf {B} =-\,{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\,\!}
(1) 其中，
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
是 ぜ 電子 でんし 的 てき 速度 そくど
E
{\displaystyle \mathbf {E} \,\!}
是 ぜ 電子 でんし 運動 うんどう 經過 けいか 的 てき 電場 でんじょう
c
{\displaystyle c\,\!}
是 これ 光速 こうそく
以質子 こ 的 てき 位置 いち 為 ため 原點 げんてん 則 のり 從 したがえ 質 しつ 子 こ 產 さん 生 せい 的 てき 電場 でんじょう 是 ぜ
E
=
Z
e
4
π ぱい
ϵ
0
r
2
r
^
=
Z
e
4
π ぱい
ϵ
0
r
3
r
{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\mathbf {r} \,\!}
其中，
Z
{\displaystyle Z\,\!}
是 ぜ 質 しつ 子 こ 數量 すうりょう 原子 げんし 序 じょ 數 すう
e
{\displaystyle e\,\!}
是 これ 單位 たんい 電荷 でんか 量 りょう
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
是 これ 真 ま 空電 くうでん 容 よう 率 りつ
r
^
{\displaystyle {\hat {r}}\,\!}
是 ぜ 徑 みち 向 こう 單位 たんい 向 むこう 量 りょう
r
{\displaystyle r\,\!}
是 ぜ 徑 みち 向 こう 距離 きょり 徑 みち 向 こう 向 むこう 量 りょう
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
是 ぜ 電子 でんし 的 てき 位置 いち
電子 でんし 的 てき 動 どう 量 りょう
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
是 これ
p
=
m
v
{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!}
其中，
m
{\displaystyle m\,\!}
是 ぜ 電子 でんし 的 てき 質量 しつりょう
所以 ゆえん 作用 さよう 電子 でんし 的 てき 磁場 じば 是 ぜ
B
=
Z
e
4
π ぱい
ϵ
0
m
c
2
r
3
r
×
p
=
Z
e
4
π ぱい
ϵ
0
m
c
2
r
3
L
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {r} \times \mathbf {p} ={\frac {Ze}{4\pi \epsilon _{0}mc^{2}r^{3}}}\,\mathbf {L} \,\!}
(2) 其中，
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
是 これ 角 すみ 動 どう 量 りょう
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
是 ぜ
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
是 ぜ 說 せつ 磁場 じば 與 あずか 電子 でんし 的 てき 軌道 きどう 角 かく 動 どう 量 りょう 平行 へいこう
電子 でんし 自 じ 磁矩
μ みゅー
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
是 これ
μ みゅー
=
γ がんま
S
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\gamma \,\mathbf {S} \,\!}
其中，
γ がんま =
g
s
q
e
2
m
{\displaystyle \gamma ={\frac {g_{s}q_{e}}{2m}}\,\!}
是 これ 旋磁比 ひ (gyromagnetic ratio ) ，
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
是 ぜ 自 じ
g
s
{\displaystyle g_{s}\,\!}
是 これ 朗 ろう 德 とく 因子 いんし
q
e
{\displaystyle q_{e}\,\!}
是 これ 電荷 でんか 量 りょう
電子 でんし 的 てき 朗 ろう 德 とく 因子 いんし 是 これ
2
{\displaystyle 2\,\!}
電荷 でんか 量 りょう 是 ぜ
−
e
{\displaystyle -e\,\!}
所以 ゆえん
μ みゅー
=
−
e
m
S
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e}{m}}\mathbf {S} \,\!}
(3) 電子 でんし 的 てき 與 あずか 自 じ 平行 へいこう
自 じ 軌道 きどう 作用 さよう 的 てき 哈密頓 ひたぶる 量 りょう 微 ほろ 目 め 是 ぜ
H
′
=
−
μ みゅー
⋅
B
{\displaystyle H'=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
代入 だいにゅう
μ みゅー
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
的 てき 公式 こうしき 和 わ
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
的 てき 公式 こうしき 經過 けいか 一番 いちばん 運算 うんざん 可 か 到 いた
H
′
=
Z
e
2
4
π ぱい
ϵ
0
m
2
c
2
L
⋅
S
r
3
{\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!}
一 いち 直 ちょく 到 いた 現在 げんざい 都 と 還 かえ 沒 ぼっ 有 ゆう 考慮 こうりょ 到 いた 電子 でんし 靜止 せいし 坐 すわ 標 しるべ 慣性 かんせい 坐 すわ 標 しるべ 事實 じじつ 的 てき 效 こう 應 おう 稱 たたえ 為 ため 托 たく 馬 ば 動 どう Thomas precession ) 。因 よし 為 ため 應 おう 必須 ひっす 添加 てんか 因子 いんし
1
/
2
{\displaystyle 1/2\,\!}
在 ざい 公式 こうしき 裏 うら 所以 ゆえん
H
′
=
Z
e
2
8
π ぱい
ϵ
0
m
2
c
2
L
⋅
S
r
3
{\displaystyle H'={\frac {Ze^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}}}\ {\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}\,\!}
在 ざい 準備 じゅんび 好 こう 了 りょう 自 じ 軌道 きどう 作用 さよう 的 てき 頓 ひたぶる 量 りょう 微 ほろ 目 め 以後 いご 現在 げんざい 可 か 算 さん 項目 こうもく 會 かい 造成 ぞうせい 的 てき 能 のう 量 りょう 位 い 移 うつり 特別 とくべつ 地 ち 想 そう 要 よう
H
0
{\displaystyle H_{0}\,\!}
的 てき 本 ほん 徵 ちょう 函數 かんすう 形成 けいせい 的 てき 基底 きてい 使 つかい
H
′
{\displaystyle H'\,\!}
能 のう 對 たい 角 かく 化 か 為 ため 了 りょう 底 そこ 先 さき 定義 ていぎ 總角 あげまき 動 どう 量 りょう 算 さん 符 ふ
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
J
=
L
+
S
{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} \,\!}
總角 あげまき 動 どう 量 りょう 算 さん 符 ふ 與 あずか 自己 じこ 的 てき 是 ぜ
J
2
=
L
2
+
S
2
+
2
L
⋅
S
{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}=\mathbf {L} ^{2}+\mathbf {S} ^{2}+2\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!}
所以 ゆえん
L
⋅
S
=
1
2
(
J
2
−
L
2
−
S
2
)
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={1 \over 2}(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2})\,\!}
請注意 ちゅうい
H
′
{\displaystyle H'\,\!}
與 あずか
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
不 ふ 對 たい 易 えき
H
′
{\displaystyle H'\,\!}
與 あずか
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
不 ふ 對 たい 易 えき 讀者 どくしゃ 可 か 容易 ようい 地 ち 證明 しょうめい 兩個 りゃんこ 事實 じじつ 由 よし 兩個 りゃんこ 事實 じじつ
H
0
{\displaystyle H_{0}\,\!}
與 あずか
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
的 てき 共同 きょうどう 本 ほん 徵 ちょう 函數 かんすう 不能 ふのう 被 ひ 當 とう 微 ほろ 波 なみ 函數 かんすう 用 もちい 來 らい 計算 けいさん 一 いち 階 かい 能 のう 量 りょう 位 い 移 うつり
E
(
1
)
{\displaystyle E^{(1)}\,\!}
H
0
{\displaystyle H_{0}\,\!}
與 あずか
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
的 てき 共同 きょうどう 本 ほん 徵 ちょう 函 はこ 數也 かずや 不能 ふのう 被 ひ 當 とう 微 ほろ 函數 かんすう 用 よう 來 らい 計算 けいさん 一 いち 階 かい 能 のう 量 りょう 位 い 移 うつり
E
(
1
)
{\displaystyle E^{(1)}\,\!}
可 か 是 ぜ
H
′
{\displaystyle H'\,\!}
J
2
{\displaystyle J^{2}\,\!}
L
2
{\displaystyle L^{2}\,\!}
S
2
{\displaystyle S^{2}\,\!}
H
0
{\displaystyle H_{0}\,\!}
J
2
{\displaystyle J^{2}\,\!}
L
2
{\displaystyle L^{2}\,\!}
S
2
{\displaystyle S^{2}\,\!}
所以 ゆえん
H
0
{\displaystyle H_{0}\,\!}
J
2
{\displaystyle J^{2}\,\!}
L
2
{\displaystyle L^{2}\,\!}
S
2
{\displaystyle S^{2}\,\!}
|
n
,
j
,
l
,
s
⟩
{\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!}
可 か 當 とう 微 ほろ 函數 かんすう 用 よう 來 らい 計算 けいさん 一 いち 階 かい 能 のう 量 りょう 位 い 移 うつり
E
n
(
1
)
{\displaystyle E_{n}^{(1)}\,\!}
n
{\displaystyle n\,\!}
是 これ 主 しゅ 量子 りょうし 數 すう
j
{\displaystyle j\,\!}
是 ぜ 總角 あげまき 量子 りょうし 數 すう
l
{\displaystyle l\,\!}
是 これ 角 すみ 量子 りょうこ 數 すう
s
{\displaystyle s\,\!}
是 ぜ 自 じ 量子 りょうし 數 すう 想 おもえ 要 よう 尋 ひろ 基底 きてい 共同 きょうどう 本 ほん 徵 ちょう 函數 かんすう
|
n
,
j
,
l
,
s
⟩
{\displaystyle |n,j,l,s\rangle \,\!}
的 てき
L
⋅
S
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,\!}
的 まと 期 き 望 もち
⟨
n
,
j
,
l
,
s
|
L
⋅
S
|
n
,
j
,
l
,
s
⟩
=
1
2
(
⟨
J
2
⟩
−
⟨
L
2
⟩
−
⟨
S
2
⟩
)
=
ℏ
2
2
[
j
(
j
+
1
)
−
l
(
l
+
1
)
−
s
(
s
+
1
)
]
=
ℏ
2
2
[
j
(
j
+
1
)
−
l
(
l
+
1
)
−
3
/
4
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!}
； 其中，電子 でんし 的 てき 自 じ
s
=
1
/
2
{\displaystyle s=1/2\,\!}
經過 けいか 一 いち 番 ばん 繁 しげる 運算 うんざん [ 2] 可 か 到 いた
r
−
3
{\displaystyle r^{-3}\,\!}
的 まと 期 き 望 もち
⟨
n
,
j
,
l
,
s
|
r
−
3
|
n
,
j
,
l
,
s
⟩
=
2
Z
3
a
0
3
n
3
l
(
l
+
1
)
(
2
l
+
1
)
{\displaystyle \langle n,j,l,s\,|\,r^{-3}\,|\,n,j,l,s\rangle ={\frac {2Z^{3}}{a_{0}^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}\,\!}
其中，
a
0
=
4
π ぱい
ϵ
0
ℏ
2
m
e
2
{\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}\,\!}
是 これ 波 なみ 耳 みみ 半徑 はんけい
將 はた 兩個 りゃんこ 期 き 望 もち 公式 こうしき 代入 だいにゅう 能 のう 級 きゅう 位 い 移 うつり 是 ぜ
E
n
(
1
)
=
Z
4
e
2
ℏ
2
8
π ぱい
ϵ
0
m
2
c
2
a
0
3
[
j
(
j
+
1
)
−
l
(
l
+
1
)
−
3
/
4
]
n
3
l
(
l
+
1
)
(
2
l
+
1
)
{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!}
經過 けいか 一番 いちばん 運算 うんざん 可 か 到 いた
E
n
(
1
)
=
(
E
n
(
0
)
)
2
m
c
2
2
n
[
j
(
j
+
1
)
−
l
(
l
+
1
)
−
3
/
4
]
l
(
l
+
1
)
(
2
l
+
1
)
{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!}
其中，
E
n
(
0
)
=
Z
2
ℏ
2
2
m
a
0
2
n
2
{\displaystyle E_{n}^{(0)}={\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2ma_{0}^{2}n^{2}}}\,\!}
是 ぜ 主 ぬし 量子 りょうし 數 すう 為 ため
n
{\displaystyle n\,\!}
的 てき 零 れい 微 ほろ 級 きゅう
特別 とくべつ 注意 ちゅうい 當 とう
l
=
0
{\displaystyle l=0\,\!}
時 とき 方程式 ほうていしき 會 かい 遇 ぐう 到 いた 除 じょ 的 まと 不可 ふか 定義 ていぎ 運算 うんざん 分子 ぶんし 項目 こうもく
j
(
j
+
1
)
−
l
(
l
+
1
)
−
3
/
4
=
0
{\displaystyle j(j+1)-l(l+1)-3/4=0\,\!}
零 れい 除 じょ 無法 むほう 計算 けいさん 方程式 ほうていしき 的 てき 運 うん 地 ち 在 ざい 精細 せいさい 結構 けっこう 能 のう 量 りょう 微 ほろ 計算 けいさん 裏 うら 不可 ふか 定義 ていぎ 問題 もんだい 自動 じどう 地 ち 會 かい 消失 しょうしつ 事實 じじつ 上 じょう 當 とう
l
=
0
{\displaystyle l=0\,\!}
時 とき 電子 でんし 的 てき 軌道 きどう 運動 うんどう 是 ぜ 球 たま 對稱 たいしょう 的 てき 電子 でんし 的 てき 波 なみ 函數 かんすう 的 てき 角 かく 部分 ぶぶん 觀察 かんさつ 出來 でき
l
=
0
{\displaystyle l=0\,\!}
球 たま 數 すう 是 これ
Y
0
0
=
1
4
π ぱい
{\displaystyle Y_{0}^{0}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,\!}
由 よし 全 ぜん 角度 かくど 無關 むせき 角 すみ 動 どう 量 りょう 零 れい 電子 でんし 並 なみ 不 ふ 會 かい 感覺 かんかく 到 いた 任 にん 何 なん 磁場 じば 所以 ゆえん 電子 でんし 的 てき
l
=
0
{\displaystyle l=0\,\!}
軌道 きどう 沒 ぼつ 有 ゆう 自 じ 軌道 きどう 作用 さよう
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle n,j,l,s\,|\,\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \,|\,n,j,l,s\rangle &={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-s(s+1)]\\&={\hbar ^{2} \over 2}[j(j+1)-l(l+1)-3/4]\\\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb3bb4d70e0d9b154addbd14293b1f0a119116b)
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {Z^{4}e^{2}\hbar ^{2}}{8\pi \epsilon _{0}m^{2}c^{2}a_{0}^{3}}}\ {\frac {[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{n^{3}\,l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6420ba21c90b55712ef158d20b72a244f5160f3f)
![{\displaystyle E_{n}^{(1)}={\frac {(E_{n}^{(0)})^{2}}{mc^{2}}}\ {\frac {2n[j(j+1)-l(l+1)-3/4]}{l(l+1)(2l+1)}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8012622497b6f875b639d0a32437fecfc25c658)
