鞍點あんてん

鞍點あんてん（英語えいご：Saddle point）指ゆび一いち個こ非ひ局部きょくぶ極ごく值點的てき駐ちゅう點てん。鞍點あんてん這詞語ご來らい自じ於不定ふてい二に次じ型がた $x^{2}-y^{2}\,$ 的てき二に維圖形がた，像ぞう個こ馬鞍まぐら：在ざいx-軸じく方向ほうこう往上曲きょく，在ざいy-軸じく方向ほうこう往下曲きょく。

数学すうがく描述

廣義こうぎ而說，一いち個こ光ひかり滑すべり函數かんすう（曲線きょくせん、曲面きょくめん或ある超ちょう曲面きょくめん）的てき鞍點あんてん鄰域的てき曲線きょくせん、曲面きょくめん或ある超ちょう曲面きょくめん，都と位い於马鞍点あんてん點てん的てき切線せっせん的てき不同ふどう邊べ。

检验

检验二に元げん实函数すうF(x,y)的てき驻点是ぜ不ふ是ぜ鞍点あんてん的てき一いち个简单的方法ほうほう，是ぜ计算函数かんすう在ざい这个点てん的てき黑くろ塞ふさが矩のり阵：如果該矩陣じん行列ぎょうれつ式しき小しょう于0，则该点てん就是鞍点あんてん。例れい如，函数かんすう $z=x^{2}-y^{2}$ 在ざい驻点 $(0,0)$ 的てき黑くろ塞ふさが矩のり阵是ぜ：

{\begin{bmatrix}2&0\\0&-2\\\end{bmatrix}}

此矩阵有两个特とく征せい值2，－2。它的行列ぎょうれつ式しき小しょう於0，因いん此，这个点てん是ぜ鞍点あんてん。然しか而，这个条件じょうけん只ただ是ぜ充分じゅうぶん条件じょうけん，例れい如，对于函数かんすう $z=x^{4}-y^{4},$ 点てん $(0,0)$ 是ぜ一いち个鞍点てん，但ただし函数かんすう在ざい原点げんてん的てき黑くろ塞ふさが矩のり阵是これ零れい矩のり阵，并不小しょう於0。

对于一般いっぱん的てき多元たげん函数かんすう，点てん是ぜ鞍点あんてん的てき必要ひつよう条件じょうけん是ぜ该点的てき黑くろ塞ふさが矩のり阵不定ふてい。

性せい质

y=x^{3}\,

的てき鞍くら點在てんざい (0,0)，不ふ过一維鞍點看起來並不像馬鞍

在ざい一いち維空間あいだ裏うら，鞍點あんてん是ぜ駐ちゅう點てん，也是反はん曲きょく點てん。因よし為ため函數かんすう圖形ずけい在ざい鞍點あんてん由よし凸とつ轉てん凹，或ある由よし凹轉凸とつ，鞍點あんてん不ふ是ぜ區域くいき性せい極點きょくてん。

设一個只有一個變數的函數。這函數すう在ざい鞍點あんてん的てき一次導數等於零，二次導數換正負符號·例れい如，函數かんすう $y=x^{3}\,$ 就有一いち個こ鞍點あんてん在ざい原點げんてん。

兩りょう座ざ山中さんちゅう間あいだ的てき鞍點あんてん（雙そう紐ひも線せん的てき交叉こうさ點てん）

设一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面きょくめん在ざい鞍點あんてん好このみ像ぞう一いち個こ馬鞍まぐら，在ざい某ぼう些方向ほうこう往上曲きょく，在ざい其他方向ほうこう往下曲きょく。在ざい一いち幅ぶく等高線とうこうせん圖ず裏うら，一般いっぱん來らい說せつ，當とう兩個りゃんこ等高線とうこうせん圈けん圈けん相しょう交叉こうさ的てき地點ちてん，就是鞍點あんてん。例れい如，兩りょう座ざ山中さんちゅう間あいだ的てき山口やまぐち就是一いち個こ鞍點あんてん。

参まいり见

参考さんこう文献ぶんけん

Gray,, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H; Fristedt, Bert, Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag: page 375, 1990, ISBN 0-387-97388-5
Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan, Geometry and the Imagination 2nd, New York: Chelsea, 1952, ISBN 978-0-8284-1087-8
von Petersdorff, Tobias, Critical Points of Autonomous Systems, Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), 2006, （原始げんし内容ないよう存そん档于2007-01-03）
Widder, D. V., Advanced calculus, New York: Dover Publications: page 128, 1989, ISBN 0-486-66103-2