克かつ莱布希まれ-高こう登とう系けい数すう

在ざい量子力学りょうしりきがく中なか，克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう（Clebsch–Gordan coefficients，简称 CG 系けい数すう，又また称たたえ向むかい量りょう耦合系けい数すう等ひとし）是ぜ两个角すみ动量耦合时，它们的てき本ほん征せい函数かんすう的てき组合系けい数すう。

从数学がく的てき角度かくど，克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう出で现在紧李群ぐん的てき表示ひょうじ论中，它研究けんきゅう的てき是ぜ两个不可ふか约表示ひょうじ的てき张量积如何いか分解ぶんかい成なり不可ふか约表示ひょうじ的てき直和なおかず。

克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう因いん阿おもね尔弗雷かみなり德とく·克かつ莱布什和わ保ほ罗·哥尔丹に而得名めい。

记号

在ざい本文ほんぶん中ちゅう，在ざい不ふ引起混淆こんこう的てき情じょう况下，省略しょうりゃく算さん符ふ上うえ的てき尖とんが号ごう。用よう粗そ体からだ来らい表示ひょうじ向むかい量りょう（算さん符ふ），用もちい非ひ粗そ体からだ表示ひょうじ标量（算さん符ふ）。

角すみ动量耦合的てき一般いっぱん理り论

本文ほんぶん的てき讨论从角动量的てき一般量子理论出发，以角动量算さん符ふ的てき对易关系为基础，不ふ涉わたる及角动量算さん符ふ在ざい某ぼう个具体ぐたい表象ひょうしょう下か的てき表示ひょうじ。相あい关内容ないよう可か参さん见角すみ动量算さん符ふ对易关系一文いちぶん。 给定了りょう j 之これ后きさき，本ほん征せい函数かんすう组

$|jm\rangle ,\quad m=-j,-j+1,\dots ,j-1,j$

张开成なり一いち个 2j+1 维的函数かんすう空そら间。

现在给定两个量子りょうし数すう j₁ 和わ j₂，则其本ほん征せい函数かんすう组张开的てき空そら间分ぶん别有 2j₁+1 维 与あずか 2j₂+1 维。现考虑这两个函数かんすう空そら间的张量积

$V=V_{1}\otimes V_{2}=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1}\})\otimes \operatorname {span} (\{|j_{2}m_{2}\rangle |m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})$

显然有ゆう

$V=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |\otimes |j_{2}m_{2}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1};m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})$

下面かめん为简便びん起おこり见，定てい义新的てき记号

$|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle$

一般いっぱん地ち，若わか f, g 分ぶん别是这两个空间里的てき算さん符ふ，则在积空间上可か以定义下列れつ算さん符ふ：

$f\otimes g:V_{1}\otimes V_{2}\rightarrow V_{1}\otimes V_{2},u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes (gv)$

另一方面ほうめん，定てい义在这两个空间上的てき算さん符ふ可か以自然しぜん地ち嵌入かんにゅう到いた积空间中，只ただ需取

$f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g$

其中 1 表示ひょうじ恒等こうとう操作そうさ（算さん符ふ）。

在ざい这样的てき定てい义下，两个角かく动量算さん符ふ的てき的てき耦合表ひょう达为：

$j_{\alpha }=j_{1,\alpha }+j_{2,\alpha }=j_{1,\alpha }\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha },\quad \alpha \in \{x,y,z\}$

$\mathbf {j} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}=\mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2},\quad \alpha \in \{x,y,z\}$

容易ようい验证这样定てい义的 j 满足角かく动量的てき基本きほん对易关系，因いん此是一个角动量算符，称しょう为总角かく动量算さん符ふ。

根ね据すえ角かく动量的てき一般いっぱん理り论，总角动量算さん符ふ也有やゆう自己じこ的てき本ほん征せい函数かんすう组，它可以用积空间里的てき基もと来らい表示ひょうじ

$|jm\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle$

这里的てき线性组合系けい数すう

$\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle$

就被称しょう为克莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう。在ざい正せい交归一いち性的せいてき要求ようきゅう下か，克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう仍然具有ぐゆう相しょう位い不ふ确定性せい。本文ほんぶん中ちゅう取と Condon-Shortle 惯例，使つかい所有しょゆう克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう为实数すう。

耦合表象ひょうしょう中ちゅう量子りょうし数すう的てき取と值

$j_{z}=j_{1,z}+j_{2,z}$

上うえ式しき两边取矩のり阵元，就得到いた：

$\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle =\delta _{m_{1}+m_{2},m}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm_{1}+m_{2}\rangle$

故こ在ざい克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう的てき表ひょう达式中ちゅう可か以省略しょうりゃく m 的てき值。

下面かめん考こう虑耦合あい表象ひょうしょう中ちゅう量子りょうし数すう j 的てき取と值，根ね据すえ上うえ式しき，有ゆう

$j_{\max }=m_{\max }=m_{1,\max }+m_{2,\max }=j_{1}+j_{2}$

故こ j 最大さいだい的てき可か能取のとろ值是 j₁ 与あずか j₂ 的てき和わ，且它只ただ出で现一いち次じ。此时

$m=-j_{\max },-j_{\max }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }$

考こう虑下一いち个可能かのう的てき j，显然第だい二に大だい的てき m=m_max-1，它可以通过两种方式しき组合而来，

$m_{1}=j_{1}-1,m_{2}=j_{2}{\text{ or }}m_{1}=j_{1},m_{2}=j_{2}-1$

它们张开成なり一个二维的空间，但ただし j=j_max 的てき本ほん征せい函数かんすう组里面めん已やめ经出现过 m=j_max-1，这里占うらない用よう了りょう一いち维，因いん此下一いち个可能かのう的てき j 只ただ能のう是ぜ j_max-1，它同样只出で现一いち次じ。

这样分析ぶんせき下か去さ，就会知道ともみち j 的てき所有しょゆう可か能取のとろ值只能のう是ぜ

$j_{\min },j_{\min }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }$

其中每ごと个 j 恰好かっこう出で现一いち次じ，且

$j_{\max }-j_{\min }\in \mathbb {Z}$

但ただし积空间的维数应该等とう于两个空间维数すう之の积，即そく

$\sum _{n=j_{\min }}^{j_{\max }}(2n+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)$

故こ有ゆう

$j_{\min }=|j_{1}-j_{2}|$

一いち个例子こ

以 $j_{1}=j_{2}={\frac {1}{2}}$ 为例。

对任意にんい一いち个算符ふ $f$，本ほん节中的てき矩のり阵元表示ひょうじ

$\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|f|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle$

的てき值。

$j_{z}={\frac {1}{2}}\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

$j_{+}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}=j_{-}^{\dagger }$

$\mathbf {j} ^{2}={\frac {1}{2}}[j_{+},j_{-}]_{+}+j_{z}^{2}={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}$

计算最さい后きさき一个矩阵的本征值和本征向量，得とく到いた

${\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\operatorname {diag} \{0,2,2,2\}$

于是可知かち克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう为：

m=1	j=
$m_{1},m_{2}=$	1 1/2, 1/2 $1\!\,$

m=0	j=
m1, m2=	1 0 1/2, -1/2 ${\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,$ ${\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,$ -1/2, 1/2 ${\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,$ $-{\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,$

m=-1	j=
m1, m2=	1 -1/2, -1/2 $1\!\,$

从上面めん的てき例れい子こ可か以看到いた，对于一般いっぱん的てき情じょう况，用よう矩のり阵来求もとめ克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう将はた是ぜ十じゅう分ふん繁しげる琐的。一般可以采用下面的 Racah 表ひょう达式计算，更さら多た的てき情じょう况是直接ちょくせつ查表。

Racah 表ひょう达式

Racah 用よう代数だいすう方法ほうほう得とく出で了りょう克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう的てき有限ゆうげん级数表ひょう达式。

${\begin{array}{cl}&\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle \\=&\delta _{m_{3},m_{1}+m_{2}}\left[(2j_{3}+1){\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{2}+j_{3}-j_{1})!(j_{3}+j_{1}-j_{2})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}\times \prod _{i=1,2,3}(j_{i}+m_{i})!(j_{i}-m_{i})!\right]^{1/2}\\\times &\sum _{\nu }[(-1)^{\nu }\nu !(j_{1}+j_{2}-j_{3}-\nu )!(j_{1}-m_{1}-\nu )!(j_{2}+m_{2}-\nu )!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+\nu )!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+\nu )!]^{-1}\end{array}}$

其中， νにゅー 的まと求もとめ和わ限げん制せい在ざい使つかい得とく所有しょゆう的てき阶乘因子いんし中ちゅう的てき数すう非ひ负的范围内ない。

对称性せい

克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう有ゆう下か列れつ的てき对称性せい

${\begin{aligned}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,{-m_{1}}j_{2}\,{-m_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}m_{1}J\,{-M}|j_{2}\,{-m_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j_{2}m_{2}|j_{1}\,{-m_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle JMj_{1}\,{-m_{1}}|j_{2}m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,{-m_{2}}JM|j_{1}m_{1}\rangle \end{aligned}}$

与あずか维格纳 3-j 符号ふごう的てき关系

克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう与あずか维格纳 3-j 符号ふごう有ゆう下か列れつ关系：

${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .$

后きさき者しゃ可か以用于计算さん下か列れつ形式けいしき的てき球たま谐函数すう积分：

${\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

由よし球だま谐函数すう的てき正せい交归一いち性せい，上面うわつら的てき结果也可以用来らい对球谐函数すう作さく展てん开。

参まいり见

• 角すみ动量算さん符ふ及其一般いっぱん理り论

外部がいぶ链接

• 克かつ莱布希まれ－高だか登とう系けい数すう表ひょう （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）