孪生素数そすう

孪生素数そすう（英語えいご：twin prime），也称为孪生质数、双そう生なま质数，是ぜ指ゆび一いち对素数そすう，它们之の间相差さ2。例れい如3和わ5，5和わ7，11和わ13，10016957和わ10016959等とう等とう都と是ぜ孪生素数そすう。

关于孪生素数そすう有ゆう著名ちょめい的てき孪生素数そすう猜想，即そく是ぜ否ひ存在そんざい无穷多た对孪生せい素数そすう。这是数かず论中ちゅう未み解かい决的一いち个重要よう问题。哈代-李り特とく尔伍德とく猜想是ぜ孪生素数そすう猜想的てき一いち个增强ぞうきょう形式けいしき，猜测孪生素数そすう的てき分布ぶんぷ与あずか素数そすう定理ていり中ちゅう描述的てき素数そすう分布ぶんぷ规律相しょう类似。

与あずか之これ相しょう关的，两者相差おうさつ为1的てき素数そすう对只有ゆう (2, 3)；两者相差おうさつ为3的てき素数そすう对只有ゆう (2, 5)。

简介

素数そすう在ざい自然しぜん数すう中ちゅう的てき分布ぶんぷ是ぜ不ふ规则的てき。欧おう几里得とく在ざい他た的てき著作ちょさく《几何原本げんぽん》中ちゅう首くび次じ证明了りょう素数そすう有ゆう无穷多た个。十じゅう九きゅう世せい纪后，素数そすう定理ていり的てき证明给出了りょう素数そすう在ざい自然しぜん数すう中大ちゅうだい致的分布ぶんぷ情じょう况。根ね据すえ素数そすう定理ていり，在ざい前まえ$N$个自然しぜん数すう里り，素数そすう的てき个数大だい约是${\frac {N}{\ln N}}$。也就是ぜ说前$N$个自然しぜん数すう里り，素数そすう的てき比例ひれい是ぜ${\frac {1}{\ln N}}$。因よし此，随ずい着ぎ$N$增大ぞうだい，前まえ$N$个自然しぜん数すう里り，素数そすう的てき比例ひれい会かい越来ごえく越えつ小しょう。事こと实上，给定一いち个自然しぜん数すう$n>1$，那な么连续的$n$个自然しぜん数すう：

$(n+1)!+2,(n+1)!+3,\cdots (n+1)!+(n+1)$

都みやこ是ただし合ごう数すう。

是ぜ否いや越えつ大だい的てき素数そすう，两两之の间就隔得とく越えつ远呢？实际上じょう不ふ然しか。在ざい某ぼう些时候こう，两个连续的てき素数そすう之の间只相差おうさつ2。这样的てき素数そすう对就是ぜ孪生素数そすう。

以下いか列れつ出で了りょう最小さいしょう的てき35对孪生せい素数そすう（1000以內的てき孪生素数そすう）（ A001359及 A006512)：

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109),

(137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313),

(347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661),

(809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

即そく使つかい是ぜ大だい的てき素数そすう，也有やゆう可か能成よしなり为孪生せい素数そすう。通つう过穷举式しき的てき计算发现：在ざい小しょう于$10^{15}$的てき29,844,570,422,669个素数すう中ちゅう，有ゆう1,177,209,242,304对孪生せい素数そすう，占うらない了りょう3.94%。而且这些孪生素数そすう并没有ゆう表ひょう现出停止ていし在ざい某ぼう一个上限的趋势。

截至2016年ねん9月がつ為ため止どめ，已やめ知ち最大さいだい的てき孪生素数そすう為ため$2\ 996\ 863\ 034\ 895\times 2^{1\ 290\ 000}\pm 1$，此數有ゆう388342位い。

素数そすう定理ていり说明了りょう素数そすう在ざい趋于无穷大だい时变得とく稀少きしょう的てき趋势。而孪生せい素数そすう，与あずか素数そすう一いち样，也有やゆう相しょう同どう的てき趋势，并且这种趋势比ひ素数そすう更さら为明显。直ちょく觉上可か以作如下的てき估计：在ざい前まえ$N$个自然しぜん数すう里さと找一个数，它是素数そすう的てき可能かのう性せい大だい约是${\frac {1}{\ln N}}$；所以ゆえん在ざい前まえ$N$个自然しぜん数すう里さと找一个数$p$，$p$和わ$p+2$都みやこ是ただし素数そすう的てき可能かのう性せい大だい约是${\frac {1}{\ln ^{2}N}}$。当然とうぜん，这种推算すいさん只ただ能のう是ぜ直ちょく觉上的てき猜测，而不是ぜ严谨的てき证明，因いん为素数すう的てき排列はいれつ是ぜ已やめ知的ちてき，而不是ぜ概がい率りつ上じょう的てき事件じけん。

哈代-李り特とく尔伍德とく猜测

1921年ねん，英国えいこく数学すうがく家か哈代和わ李り特とく尔伍德とく也做出で了りょう类似的てき猜测。他た们提出ていしゅつ以下いか的てき猜想：设$\pi _{2}(N)$为前$N$ 个自然しぜん数すう里さと孪生素数そすう的てき个数。那な么

$\pi _{2}(N)\approx \int _{2}^{N}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}}\approx 2C_{twin}\ {\frac {N}{\ln ^{2}N}}$

其中的てき常数じょうすう$C_{twin}$是ぜ所しょ谓的孪生素数そすう常数じょうすう：

${\begin{aligned}C_{twin}&=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{10^{2}}}\right)\cdots \ =\prod _{p>2}\left[1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right]\\&=0.6601618158468695739278121\ldots \end{aligned}}$

其中的てき$p$表示ひょうじ素数そすう。

孪生素数そすう猜想

主しゅ条目じょうもく：孪生素数そすう猜想

哈代和わ李り特とく尔伍德とく的てき猜测实际上じょう是ぜ存在そんざい已やめ久ひさ的てき孪生素数そすう猜想的てき加か强きょう版ばん。孪生素数そすう猜想是ぜ指ゆび“孪生素数そすう有ゆう无穷多た个”。这个猜想至いたり今こん仍未被ひ证明。然しか而，哈代和わ李り特とく尔伍德とく的てき猜测并不是ぜ需要じゅよう建立こんりゅう在ざい孪生素数そすう猜想成立せいりつ的てき前提ぜんてい上じょう。很多时候，对于无法证明的てき命いのち题，数学すうがく家か会かい尝试证明比ひ它更强つよ或ある更さら为广泛的命いのち题，从而解かい决原来らい的てき命いのち题。例れい如数学がく家か安德あんとく鲁·怀尔斯就是证明了りょう比ひ费马最さい后きさき猜想更さら广泛的てき命いのち题，从而完成かんせい了りょう费马最さい后きさき猜想的てき证明。

2013年ねん5月がつ14日にち，《自然しぜん》杂志报道，数学すうがく家か张益唐とう证明存在そんざい无穷多た个素数すう对相差さ（上うえ界かい）都と小しょう于7000万まん。论文已やめ被ひ《数学すうがく年刊ねんかん》（Annals of Mathematics）接受せつじゅ 。截至2014年ねん10月がつ9日にち (2014-10-09), 素数そすう对之差さ被ひ缩小为$\leq 246$。

性せい质

孪生素数そすう猜想也可以用另一种形式表达：

自然しぜん数すう2可か以表示ひょうじ为无穷多个素数すう对（$p_{1},p_{2}$）的てき差さ：$2=p_{1}-p_{2}$。

1920年代ねんだい，通つう过使用よう著名ちょめい的てき筛法，也就是ぜ基もと于埃ほこり拉ひしげ托たく斯特尼あま筛法的てき技巧ぎこう，挪威的てき瑋哥·布ぬの朗ろう证明了りょう2能のう表示ひょうじ成なり两个最多さいた有ゆう9个素数すう因子いんし的てき数すう的てき差さ。这个结论已やめ经有些近似きんじ于孪生せい素数そすう猜想了りょう。可か以看到いた，只ただ要よう将しょう这个证明中ちゅう的てき“最多さいた有ゆう9个素数すう因子いんし的てき数すう”改あらため进到“最多さいた有ゆう1个素数すう因子いんし的てき数すう”，就可以证明あかり孪生素数そすう猜想了りょう。利用りよう同どう样的方法ほうほう，布ぬの朗ろう证明了りょう所有しょゆう偶数ぐうすう都と能のう表ひょう达成两个最多さいた有ゆう9个素数すう因子いんし的てき数すう的てき和わ，也就是ぜ所しょ谓的“9+9”。这个思おもえ路ろ被ひ不ふ少数しょうすう学がく家か沿用，1966年ねん陈景润利用りよう筛法证明了りょう“1+2”。基もと于陈景けい润的工作こうさく，也可以证明あかり2有無うむ限げん多種たしゅ方法ほうほう表示ひょうじ成なり一个素数和一个最多有两个素数因子的数的差。

布ぬの朗ろう為ため了りょう證明しょうめい孿生質しつ猜想而開發かいはつ了りょう布ぬの朗ろう篩ふるい法ほう，這種篩ふるい法ほう對たい篩ふるい法的ほうてき發展はってん及質數すう研究けんきゅう都と造成ぞうせい了りょう深遠しんえん的てき影響えいきょう。

布ぬの朗ろう常数じょうすう

主しゅ条目じょうもく：布ぬの朗ろう常数じょうすう

布ぬの朗ろう的てき另一个结论，是ぜ发现所有しょゆう孪生素数そすう的てき倒たおせ数すう之これ和わ收おさむ敛，即そく收おさむ敛到布ぬの朗ろう常数じょうすう$B_{2}$：

$\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\cdots =B_{2}$

$B_{2}$的てき值大约在1.9与あずか2之これ间。与あずか之これ相しょう对的，所有しょゆう素数そすう的てき倒たおせ数すう之の和かず是ただし发散的てき。由よし于孪生せい素数そすう的てき倒たおせ数すう之これ和わ收おさむ敛，所以ゆえん无法依よ此证明あかり孪生素数そすう有ゆう无限个。

布ぬの朗ろう还发现了孪生素数そすう数量すうりょう的てき一いち个上限げん。他た证明了りょう：

$\pi _{2}(x)<{\frac {100x}{\ln ^{2}x}}$

也就是ぜ说，当とう$x$足あし够大的てき时候，小しょう于$x$的てき孪生素数そすう的てき数量すうりょう比ひ起おこり小しょう于$x$的てき素数そすう的てき数量すうりょう是ぜ可か以忽略りゃく不ふ计的。1987年ねん的てき一个结果改进了这个上限：

$\pi _{2}(x)<{\frac {7.1C_{twin}x}{\ln ^{2}x\left({\frac {1+C'\ln \ln x}{\ln x}}\right)}}$

其中$C'$是ぜ一いち个常数すう。1998年ねん上限じょうげん中ちゅう的てき7.1被ひ改あらため进为6.833。

必要ひつよう条件じょうけん

孪生素数そすう还必须满足あし一いち些必要ひつよう的てき条件じょうけん，比ひ如：

• 大だい于3的てき孪生素数そすう可か以表示ひょうじ成なり$(6n-1,6n+1)$，其中$n$为一个自然しぜん数すう。除じょ了りょう$n=1$的てき情じょう形がた，$n$必须以0，2，3，5，7或ある8结尾。

• 可か以证明あきら：$(m,m+2)$是ぜ孪生素数そすう，当とう且仅当とう

$4[(m-1)!+1]+m=0\mod [m(m+2)]$

统计分析ぶんせき

统计分析ぶんせき所有しょゆう小しょう于$4.35\times 10^{15}$的てき孪生素数そすう，可か以得到いた小しょう于$x$的てき素数そすう对的个数是ぜ${\frac {x\cdot f(x)}{(\log x)^{2}}}$。当とう$x$较小时，$f(x)$大だい约为 1.7， 当とう$x$较大时大约为 1.3。这个值和$2C_{twin}=1.3203236\ldots$相近すけちか。

多元たげん组

孪生素数そすう的てき概念がいねん可か以扩展てん到いた多元たげん组，即そく由ゆかり多た个间隔为2的てき素数そすう构成的てき序列じょれつ。由よし于三个相邻奇数总有一个能被3整除せいじょ，不可能ふかのう是ぜ素数そすう，因いん此 (3, 5, 7) 是ぜ唯ただ一的孪生素数三元组。而且由よし于更多た元素げんそ构成的てき孪生素数そすう多元たげん组必定ひつじょう包含ほうがん三さん元げん组的结构，因いん此多于三个元素的孪生素数多元组不存在。

多た项式公式こうしき

以下いか的てき多た项式时由维也纳大学がく数学すうがく系けい教授きょうじゅ克かつ里さと斯多夫おっと·巴ともえ萨（Christoph Baxa）提出ていしゅつ的てき，基き于丢番ばん图不定方さだかた程ほど理り论。

${\begin{aligned}P&=(k+2)\left[1-(wz+h+j-q)^{2}-\left((g+1)(h+j)+h-z\right)^{2}-(p+q+z+2n-e)^{2}\right.\\&-\left(e^{3}(e+2)(a+1)^{2}+1-o^{2}\right)^{2}-\left((a^{2}-1)(n+v+l)^{2}+1-x^{2}\right)^{2}\\&-\left(((a+u^{2}(u^{2}-a))^{2}-1)(n+4d(n+l+v))^{2}+1-(x+cu)^{2}\right)^{2}-\left((a^{2}-1)l^{2}+1-m^{2}\right)^{2}\\&-\left(p+l(a-n-1)+b(2a(n+1)-(n+1)^{2}-1)-m\right)^{2}-\left(16(a^{2}-1)(n+v+l)^{2}+1-x^{2}\right)^{2}\\&-\left(q+(n+l+v)(a-p-1)+s(2a(p+1)-(p+1)^{2}-1)-x\right)^{2}\\&-\left(z+pl(a-p)+t(2ap-p^{2}-1)-pm\right)^{2}-\left(16(k+1)^{3}(k+2)(n+1)^{2}+1-f^{2}\right)^{2}\\&-\left.\left(k+1-ia-i-l\right)^{2}-\left(4g+k+10-y(k+2)(k+4)\right)^{2}\right]\end{aligned}}$

其中有ちゅうう二に十じゅう六ろく个不定量ていりょう$a,b,c,\cdots ,y,z$。当とう这二に十じゅう六个变量取遍所有的自然数的时候，这个多た项式的てき取と值中正数せいすう的てき部分ぶぶん就会取と遍あまね所有しょゆう孪生素数そすう对$(p,p+2)$中なか的てき$p$。

大だい眾文化か

義よし大利おおとし作家さっか保ほ羅ら·裘唐諾だく的てき小說しょうせつ《質しつ數すう的てき孤獨こどく》即そく是ぜ以孿生せい質しつ數すう現象げんしょう，比ひ喻故事こじ中ちゅう相愛そうあい的てき男女だんじょ主ぬし角かく牽攣乖隔的てき處しょ境さかい。

1994年ねん10月がつ，美國びくに弗どる吉よし尼に亞あ州しゅう林はやし奇き堡學院いん數學すうがく系けい教授きょうじゅ托たく馬ば斯·尼あま科か利り（Thomas Nicely）在ざい研究けんきゅう布ぬの朗ろう常つね數すう時じ曾使用しよう包括ほうかつ66 MHz Intel Pentium處理しょり器き的てき電腦でんのう對たい布ぬの朗ろう常數じょうすう進行しんこう計算けいさん，但ただし用よう包括ほうかつ66 MHz Intel Pentium處理しょり器き的てき電腦でんのう處理しょり長ちょう除法じょほう時一ときいち直ちょく出で錯 。他用たよう一個數字去除以824,633,702,441時じ，答案とうあん一いち直ちょく是ぜ錯誤さくご的てき，而這使し得とく奔騰ほんとう浮點除じょ錯誤さくご受到揭發，進しん而造成ぞうせいIntel的てき公おおやけ關せき災難さいなん，並なみ導しるべ致英特とく爾しか在ざい1994年ねん受到4.75億おく美び元もと的てき損失そんしつ。

参まいり见

• 孪生素数そすう猜想
• 表おもて兄弟きょうだい素数そすう
• 六ろく素数そすう
• 三さん胞胎素数そすう
• 四よん胞胎素数そすう
• 布ぬの朗ろう定理ていり
• 布ぬの朗ろう常數じょうすう
• 奔騰ほんとう浮點除じょ錯誤さくご─Thomas Nicely在ざい研究けんきゅう布ぬの朗ろう常數じょうすう時どき發現はつげん的てき技術ぎじゅつ錯誤さくご。