导子

导子（英語えいご：derivation）在ざい抽象ちゅうしょう代数だいすう中ちゅう是ぜ指ゆび代数だいすう上うえ的てき一いち个函数すう，推广了りょう导数算さん子こ的てき某ぼう些特征せい。明あかり确地，给定一いち个环或ある域いき k 上うえ一いち个代数すう A，一いち个 k-导子是ぜ一いち个 k-线性映うつ射い D: A → A，满足莱布尼あま兹法则：

$D(ab)=(Da)b+a(Db)\ .$

更さら一般いっぱん地ち，从 A 映うつ到いた A-模も M 的てき一いち个 k-线性映うつ射い D，满足莱布尼あま兹法则也称しょう为一个导子こ。A 所有しょゆう到いた自身じしん的てき k-导子集合しゅうごう记为 Der_k(A)。从 A 到いた A-模も M 的てき所有しょゆう k-导子集合しゅうごう记为 Der_k(A,M)。

导子在ざい不同ふどう的てき数学すうがく领域以许多た不同ふどう的てき面貌めんぼう出で现。关于一いち个变量的りょうてき偏へん导数是これ Rⁿ 上うえ实值可か微ほろ函数かんすう组成的てき代数だいすう上じょう的てき一いち个 R-导子。关于一いち个向むかい量りょう场的てき李り导数是これ可か微ほろ流りゅう形がた上うえ可か微ほろ函数かんすう代数だいすう上じょう的てき R-导子；更さら一般いっぱん地ち，它是流りゅう形がた上じょう张量代数だいすう的てき导子。平ひら彻尔导数是ぜ一个抽象代数上的导子的例子。如果代数だいすう A 非ひ交换，则关于 A 中ちゅう一いち个元素的すてき交换子こ定てい义了 A 到いた自身じしん的てき线性映うつ射い，这是 A 的てき一いち个 k-导子。一いち个代数すう A 装そう备一个特定とくてい的てき导子 d 组成了りょう一いち个微分びぶん代数だいすう，这自身じしん便びん是ぜ一些研究领域的一个重要对象，比ひ如微分ぶん伽とぎ罗瓦理り论。

性せい质

莱布尼あま兹法则本身ほんみ有ゆう一いち系列けいれつ直接ちょくせつ推论。首くび先さき，如果 x₁, x₂, … ,x_n ∈ A，那な么由数学すうがく归纳法ほう得とく出で

$D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\dots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}\ .$

特とく别地，如果 A 可か交换且 x₁=x₂=…=x_n，那な么此公式こうしき简化成熟せいじゅく悉的幂法则 D(xⁿ) = nx^n-1D(x)。如果 A 是ぜ有ゆう单位的てき，则 D(1) = 0 因いん为 D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1)。从而，因いん D 是ぜ k-线性的てき，推出对所有しょゆう x∈k 有ゆう D(x)=0。如果 k ⊂ K 是ぜ一いち个子こ环，A 是ぜ一いち个 K-代数だいすう，则有包含ほうがん关系

$Der_{K}(A,M)\subset Der_{k}(A,M)\ ,$

因いん为任何なに K-导子当然とうぜん是ぜ一いち个 k-导子。

从 A 到いた M 的てき k-导子的てき集合しゅうごう，Der_k(A,M) 是これ k-上うえ的てき一いち个模も。而且，k-模も Der_k(A) 组成了りょう一いち个李り代数だいすう其李り括くく号ごう定てい义为交换子こ：

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}\ .$

容易ようい验证两个导子的てき李り括くく号ごう仍然是ぜ一いち个导子こ。

分ぶん次つぎ导子

如果我わが们有一いち个分ぶん次代じだい数すう A，D 是これ A 上うえ一いち个阶数すう d = |D| 的てき齐次线性映うつ射い，则 D 是ぜ一いち个齐次导子如果

$\scriptstyle {D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)},\epsilon =\pm 1$ 作用さよう在ざい A 的てき齐次元素げんそ上じょう。一いち个分ぶん次つぎ导子是ぜ具有ぐゆう相しょう同どう ε 的てき一些齐次导子的和。

如果交换因子いんし εいぷしろん = 1，定てい义变为通常つうじょう情じょう形がた；如果 εいぷしろん = -1，那な么对奇数きすう |D| 有ゆう$\scriptstyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$，它们称しょう为反はん导子。

反はん导子的てき例れい子こ包含ほうがん作用さよう在ざい微分びぶん形式けいしき上うえ的てき外そと导数与あずか内うち乘じょう。

超ちょう代数だいすう（即そく：Z₂-分ぶん次代じだい数すう）的てき分ぶん次じ导子经常称しょう为超ちょう导子。

另见

• 在ざい初等しょとう微分びぶん几何中ちゅう导子是ぜ切きり向むこう量りょう；
• 凯勒微分びぶん

参考さんこう文献ぶんけん

• Bourbaki, Nicolas, Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, 1989, ISBN 3-540-64243-9 .
• Eisenbud, David, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry 3rd., Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0387942698 .
• Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, 1970, ISBN 978-0805370256 .
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W., Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, 1993 [2008-11-13], （原始げんし内容ないよう存そん档于2021-02-14） .