数かず沙すな者しゃ

Arenarius
中ちゅう文名ぶんめい	数かず砂すな者しゃ
外そと文名ぶんめい	The Sand Reckoner
作者さくしゃ	阿おもね基もと米まい德とく
类型	書面しょめん作品さくひん[*]
语言	拉ひしげ丁ひのと语
主しゅ题	天文学てんもんがく

数かず沙すな者しゃ（希まれ臘語：Ψαμμίτης , Psammites ），也译作さく数かず砂すな者しゃ、算さん沙すな者しゃ、沙すな数すう算さん者しゃ，是ぜ公こう元もと前まえ3 世せい纪古希こき腊数学すうがく家か阿おもね基もと米まい德とく的てき著作ちょさく，他た在ざい书中着手ちゃくしゅ确定宇宙うちゅう中ちゅう沙すな粒つぶ数量すうりょう的てき上限じょうげん。为了做到这一いち点てん，阿おもね基もと米まい德とく必须根ね据すえ当とう时的模型もけい估计宇宙うちゅう的てき大小だいしょう，并发明あかり一种谈论极大数字的方法。

该作品さくひん在ざい拉ひしげ丁ひのと语中也称为Arenarius，翻こぼし译后约有八はち页长，是ぜ写うつし给叙じょ拉ひしげ古ふる国王こくおう格かく洛らく二に世せい（希まれ罗二に世せい的てき儿子）的てき。它被认为是ぜ阿おもね基もと米まい德とく最さい容易ようい理解りかい的てき作品さくひん。

命名めいめい大数たいすう

现代计数法ほう中ちゅう的てき周期しゅうき和わ阶及其区间
周期しゅうき	阶	区く间	用よう以10为底的てき对数表示ひょうじ区く间（log10 ）
1	1	(1, Ơ], where the unit of the second order, Ơ = 108	(0, 8]
	2	(Ơ, Ơ2]	(8, 16]
	···
	k	(Ơk − 1, Ơk]	(8k − 8, 8k]
	···
	Ơ	(ƠƠ − 1, Ƥ], where the unit of the second period, Ƥ = ƠƠ = 108×108	(8×108 − 8, 8×108] = (799,999,992, 800,000,000]
2	1	(Ƥ, ƤƠ]	(8×108, 8 × (108 + 1)] = (800,000,000, 800,000,008]
	2	(ƤƠ, ƤƠ2]	(8 × (108 + 1), 8 × (108 + 2)]
	···
	k	(ƤƠk − 1, ƤƠk]	(8 × (108 + k − 1), 8 × (108 + k)]
	···
	Ơ	(ƤƠƠ − 1, ƤƠƠ] = (Ƥ2Ơ−1, Ƥ2]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (1.6×109 − 8, 1.6×109] = (1,599,999,992, 1,600,000,000]
···
Ơ	1	(ƤƠ − 1, ƤƠ − 1Ơ]	(8×108 × (108 − 1),  8 × (108 × (108 − 1) + 1)] = (79,999,999,200,000,000,     79,999,999,200,000,008]
	2	(ƤƠ − 1Ơ, ƤƠ − 1Ơ2]	(8 × (108 × (108 − 1) + 1),   8 × (108 × (108 − 1) + 2)]
	···
	k	(ƤƠ − 1Ơk − 1, ƤƠ − 1Ơk]	(8 × (108 × (108 − 1) + k − 1), 8 × (108 × (108 − 1) + k)]
	···
	Ơ	(ƤƠ − 1ƠƠ − 1, ƤƠ − 1ƠƠ] = (ƤƠƠ−1, ƤƠ]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (8×1016 − 8, 8×1016] = (79,999,999,999,999,992,     80,000,000,000,000,000]

首くび先さき，阿おもね基もと米まい德とく必须发明一种全新的系统来将当时的计数范围扩大到大数たいすう。古希こき腊使用しよう的てき计数系けい统能将はた数字すうじ计到万まん（μυριάς - 10,000），由ゆかり此可利用りよう“万まん”这个数すう本身ほんみ作さく为单位い来らい将はた其扩展てん到いた万万ばんばん（10⁸ ，即そく一いち万まん个万，即そく亿）。阿おもね基もと米まい德とく将しょう 10⁸以内いない的てき数字すうじ称しょう为“一いち阶”，并将 10⁸这一数字本身定义为“二に阶单位い”（即そく上表じょうひょう中ちゅう的てきO'）。二阶单位的倍数就变成了“二に阶”，直ちょく到いた这个单位被ひ取と了りょう万まん万まん次じ，即そく10⁸ ·10⁸ =10¹⁶ ，而这一いち数字すうじ就是“三さん阶单位い”，其倍数すう为三さん阶，依よ此类推到O'阶。阿おもね基もと米まい德とく以这种方式しき命名めいめい数字すうじ，在ざい第だい一周期最大能够取到第 10 ⁸阶单位い的てき万まん万まん倍ばい（即そく上表じょうひょう中ちゅう的てきP=${O'}^{O'}$)，即そく(10⁸)^(10⁸)或ある${10^{8}}^{10^{8}}$。

完成かんせい这一任いちにん务后，阿おもね基もと米まい德とく将はた他た定てい义的阶数称しょう为“第だい一周いっしゅう期き的てき阶数”，并将最さい后きさき一个阶数称为“第だい二に周期しゅうき单位“，即そく $(10^{8})^{(10^{8})}$ 。然しか后きさき，他た以类似に于构建けん第だい一周いっしゅう期き阶数的てき方式ほうしき，通つう过取该单位い的てき倍数ばいすう来らい构建第だい二に周期しゅうき阶数。如此下か去さ，他た终于达到了りょう万まん万まん周期しゅうき的てき阶数。阿おもね基もと米まい德とく命名めいめい的てき最大さいだい数すう是ぜ这一周期的最后一个数，即そく

$\left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}$

描述这个数字すうじ的てき另一种方式しき利用りよう短たん级差制せい（即そく在ざい某ぼう数すう位い命名めいめい系けい统中，billion一いち词用来らい表示ひょうじ“十じゅう亿”），将はた1后きさき跟80万まん亿 (80·10 ¹⁵ ) 个0。

阿おもね基もと米まい德とく的てき大数たいすう系けい统让人じん想起そうき以 10 ⁸为基数すう的てき进位制せい，这一系统是不凡的，因いん为古希こき腊人使用しよう非常ひじょう简单的てき希まれ腊数字すうじ系けい统进行ぎょう计数，这一计数系统使用 字母じぼ表ひょう中ちゅう的てき27 个字母はは来らい表示ひょうじ从1到いた9的てき个位数すう，从10 到いた90的てき十じゅう位い数すう，以及从100到いた900的てき百ひゃく位い数すう。

指数しすう定律ていりつ

阿おもね基もと米まい德とく还发现并证明了りょう指数しすう定律ていりつ，即そく $10^{a}10^{b}=10^{a+b}$ ，简化了りょう10次じ幂的计算。

估算宇宙うちゅう的てき大小だいしょう

阿おもね基もと米まい德とく随ずい后きさき估算了りょう填はま充たかし宇宙うちゅう所しょ需沙粒つぶ数量すうりょう的てき上限じょうげん。为此，他た使用しよう了りょう古希こき腊天文学ぶんがく家か阿おもね里さと斯塔克かつ斯的てき日にち心しん模型もけい。虽然阿おもね里さと斯塔克かつ斯的原作げんさく已やめ失しつ传，但ただし是ぜ阿おもね基もと米まい德とく的てき这项估算工作こうさく是ぜ为数不ふ多た的てき、现存的てき、引用いんよう其理论的参考さんこう文献ぶんけん之の一いち，根ね据すえ该日心こころ模型もけい理り论，当とう地球ちきゅう绕太阳运行时，太ふとし阳保持ほじ不ふ动。用もちい阿おもね基もと米まい德とく自己じこ的てき话说：

他た（阿おもね里さと斯塔克かつ斯）的てき假かり设是：恒星こうせい和かず太ふとし阳纹丝不动；地球ちきゅう在ざい圆周上じょう围绕太ふとし阳旋转，太ふとし阳位于轨道どう的中てきちゅう间；恒星こうせい的てき球体きゅうたい位い于与太よた阳大致相同どう的中てきちゅう心しん，非常ひじょう巨大きょだい，以至于他假定かてい地球ちきゅう旋转的てき圆与恒星こうせい的てき距离成なり正せい比ひ，就像球心きゅうしん到いた球体きゅうたい表面ひょうめん的てき距离一いち样。

该模型がた尺寸しゃくすん较大的てき原因げんいん是ぜ希まれ腊人无法用よう当とう时的技わざ术观察恒星こうせい视差，这意味いみ着任ちゃくにん何なん视差都と非常ひじょう小しょう，因いん此恒星ぼし必须放置ほうち在ざい距离地球ちきゅう很远的てき地方ちほう（假かり设日にち心しん说成立せいりつ）。

根ね据すえ阿おもね基もと米まい德とく的てき说法，阿おもね里さと斯塔克かつ斯没有ゆう说明恒星こうせい距地球ちきゅう有ゆう多た远。因よし此，阿おもね基もと米まい德とく必须做出以下いか假かり设

• 宇宙うちゅう是ぜ球形きゅうけい的てき
• 宇宙うちゅう直径ちょっけい与あずか地球ちきゅう绕太阳公转道直径ちょっけい之の比ひ等とう于地球ちきゅう绕太阳轨道どう直ちょく公おおやけ转径与あずか地球ちきゅう直径ちょっけい之これ比ひ。

这一假设也可以表述为：地球ちきゅう绕其轨道运动造成ぞうせい的てき恒星こうせい视差等とう于绕地球ちきゅう运动引起的てき太ふとし阳视差さ。换算成なり比例ひれい

${\displaystyle {\frac {\text{$宇宙うちゅう的てき直径ちょっけい}}{\text{地球ちきゅう公こう转轨道どう的てき直径ちょっけい}}}={\frac {\text{地球ちきゅう公こう转轨道どう的てき直径ちょっけい}}{\text{ 地球ちきゅう的てき直径ちょっけい}}}}

为了获得上限じょうげん，阿おもね基もと米まい德とく对其维度做出了りょう以下いか假かり设：

• 地球ちきゅう的てき周しゅう长不超ちょう过300万まんstatia（古希こき腊度量衡どりょうこう中なか的てき长度单位），5.55·10 ⁵ km。
• 月つき球だま的てき尺寸しゃくすん不ふ超ちょう过地球ちきゅう，太ふとし阳的尺寸しゃくすん不ふ超ちょう过月球だま的てき三さん十じゅう倍ばい。
• 从地球ちきゅう上じょう看み，太ふとし阳的角かく直径ちょっけい大だい于直角かく的てき 1/200（πぱい/400弧こ度ど= 0.45 ° 度ど）。

阿おもね基もと米まい德とく随ずい后きさき得とく出で结论：宇宙うちゅう的てき直径ちょっけい不ふ超ちょう过10 ¹⁴stadia（以现代だい单位计算，约为2光年こうねん），并且需要じゅよう不ふ超ちょう过 10 ⁶³粒つぶ沙子いさご来らい填はま充たかし它。通つう过这些测量りょう，阿おもね基もと米まい德とく思想しそう实验中ちゅう的てき每ごと粒つぶ沙子いさご的てき直径ちょっけい约为 19 微ほろ米こめ（0.019 毫米）。

阿おもね里さと斯塔克かつ斯宇宙うちゅう中ちゅう沙すな粒つぶ数量すうりょう的てき计算

阿おもね基もと米まい德とく声ごえ称たたえ，40颗并排はい放置ほうち的てき罂粟籽相当とう于1个希腊dactyl（古希こき腊度量衡どりょうこう长度单位中ちゅう的てき手指しゅし宽），长度约为19毫米（3/4 英えい寸すん）。由よし于体积是线性尺寸しゃくすん的てき立方りっぽう（“因いん为已经证明あかり球体きゅうたい的てき体からだ积是其直径ちょっけい的てき三さん倍ばい比ひ”），所以ゆえん直径ちょっけい为1 dactly的てき球体きゅうたい将しょう包含ほうがん（使用しよう我わが们当前まえ的てき数字すうじ系けい统) 40³或ある 64,000 颗罂粟あわ种子。

然しか后きさき他た声こえ称しょう（没ぼつ有ゆう证据）每まい颗罂粟あわ籽中可能かのう含有がんゆう万まん粒つぶ沙子いさご。将はた这两个数字すうじ相乘そうじょう，他た提出ていしゅつ了りょう 640,000,000 作さく为直径ちょっけい为1 dactly的てき球体きゅうたい中ちゅう假かり设的沙すな粒つぶ数量すうりょう。

为了便びん于进一いち步ほ计算，他た将しょう6.4亿四舍しゃ五ご入にゅう为10亿，只ただ是ぜ需要じゅよう注意ちゅうい到いた第だい一个数字小于第二个数字，因いん此随后きさき计算出さんしゅつ的てき沙すな粒つぶ数すう将はた超ちょう过实际沙粒つぶ数すう。应顾及文章ぶんしょう的てき价值是ぜ展示てんじ如何いか计算在ざい当とう时被认为不可能ふかのう的てき大数たいすう，而不仅仅是ぜ准じゅん确计算さん宇宙うちゅう中ちゅう沙すな粒つぶ的てき数量すうりょう。

希まれ腊体育たいいく场的长度为 600 希まれ腊英尺じゃく，每まい英えい尺じゃく长 16 个dactyls，因いん此体育たいいく场内有ゆう 9,600 个dactyls。阿おもね基もと米まい德とく将はた这个数字すうじ四舍五入到 10,000（即そく万まん）以简化か计算，并再次じ指出さしで所得しょとく数字すうじ将はた超ちょう过沙粒つぶ的てき实际数量すうりょう。

10,000 的てき立方りっぽう是ぜ一いち万まん亿（10¹²）；将しょう十じゅう亿（dactyl球体きゅうたい中ちゅう的てき沙すな粒つぶ数量すうりょう）乘じょう以万まん亿（体育たいいく场球体たい中ちゅう的てきdactly球体きゅうたい数量すうりょう）得とく到いた 10²¹ ，即そく体育たいいく场球体たい中ちゅう的てき沙すな粒つぶ数量すうりょう

阿おもね基もと米まい德とく估计阿里さと斯塔克かつ宇宙うちゅう的てき直径ちょっけい为 10¹⁴的てき体育たいいく场，因いん此宇宙うちゅう中ちゅう相しょう应地会かい有ゆう (10¹⁴ ) ³ 个体育たいいく场球体たい，即そく10⁴²。10²¹乘の以10⁴²得え到いた10⁶³，即そく阿おもね里さと斯塔宇宙うちゅう中ちゅう沙すな粒つぶ的てき数量すうりょう。

根ね据すえ阿おもね基もと米まい德とく对罂粟あわ种子中ちゅう含有がんゆう万まん（10,000）颗沙粒つぶ的てき估计；在ざい一いち个dactly球体きゅうたい中ちゅう包含ほうがん64,000颗罂粟あわ种子；体育たいいく场的长度为 10,000 dactyl；如果采さい用よう 19 毫米作さく为dactyl的てき宽度，阿おもね基もと米まい德とく典型てんけい沙すな粒つぶ的てき直径ちょっけい将はた为18.3微ほろ米べい，今こん天てん我わが们称之の为一いち粒つぶ淤泥。目前もくぜん，最小さいしょう的てき沙すな粒つぶ直径ちょっけい被ひ定てい义为50微ほろ米こめ。

其他的てき计算

阿おもね基もと米まい德とく在ざい他た的てき研究けんきゅう之の路みち中ちゅう做了一些有趣的实验和计算。一项实验是估计从地球上看到的太阳的角大小。阿おもね基もと米まい德とく的てき方法ほうほう特とく别有趣おもむき，由ゆかり于考虑了眼睛がんせい瞳孔どうこう的てき有限ゆうげん大小だいしょう，因いん此可能かのう是ぜ心理しんり物理ぶつり学がく实验的てき第だい一个已知例子，心理しんり物理ぶつり学がく是ぜ处理人ひと类感知かんち机つくえ制せい的てき心理しんり学がく分ぶん支ささえ，其发展てん通常つうじょう是ぜ归因于赫尔曼·冯·亥い姆霍兹。另一项有趣おもむき的てき计算考こう虑了太ふとし阳视差さ以及观察者しゃ与太よた阳之间的不同ふどう距离，无论从地球ちきゅう中心ちゅうしん或ある日出にっしゅつ时从地球ちきゅう表面ひょうめん观看。这可能かのう是ぜ第だい一个已知的处理太阳视差的计算。

引用いんよう

有ゆう些人，格かく隆たかし王おう，认为沙子いさご的てき数量すうりょう是ぜ无穷无尽的てき；我わが所ところ说的沙子いさご不ふ仅指锡拉库扎和わ西にし西里にしさと岛其他た地方ちほう的てき沙子いさご，还包括ほうかつ每ごと个地区ちく的てき沙子いさご，不ふ管かん是ぜ有人ゆうじん居住きょじゅう的てき还是无人居住きょじゅう的てき。另外，有ゆう些人虽然不ふ认为沙子いさご是ぜ无穷无尽的てき，但ただし却认为没有ゆう任にん何なん一个数字足以超过沙子的数量。很显然しか，持もち这种观点的てき人じん，如果他た们想象ぞう出で一个由沙子组成的、在ざい其他方面ほうめん和地わち球一きゅういち样大的てき物体ぶったい，其中包括ほうかつ所有しょゆう的てき海洋かいよう和わ地球ちきゅう上じょう的てき凹地，其高度ど相当そうとう于最高だか的てき山やま峰ほう，那な么他们就会かい更さら加か不承ぶしょう认有任にん何なん数字すうじ可か以表达出超ちょう过沙子いさご的てき数量すうりょう。 但ただし是ぜ，我わが将はた尝试用よう几何证明来き向こう你们表明ひょうめい，在ざい我わが给宙希まれ波は斯的作品さくひん中ちゅう所しょ给出的てき由よし我わが命名めいめい的てき数字すうじ中ちゅう，有ゆう些数字すうじ不ふ仅超过了以所述じゅつ方式ほうしき填はま满的与あずか地球ちきゅう等とう大だい的てき沙すな粒つぶ的てき数量すうりょう，而且还超过了与あずか宇宙うちゅう等とう大だい的てき沙すな粒つぶ的てき数量すうりょう。

——Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli

扩展阅读

• The Sand-Reckoner, by Gillian Bradshaw. Forge (2000), 348pp, ISBN 0-312-87581-9. 这是一部关于阿基米德的生活和工作的历史小说。

外部がいぶ链接

• Original Greek text （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• The Sand Reckoner (annotated)
• The Sand Reckoner (Arenario) Italian annotated translation, with notes about Archimedes and Greek mathematical notation and unit of measure （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）. Source file of the Arenarius Greek text (for LaTeX).
• Archimedes, The Sand Reckoner, by Ilan Vardi; includes a literal English version of the original Greek text （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）