曲きょく率りつ形式けいしき

微分びぶん几何中なか，曲きょく率りつ形式けいしき（curvature form）描述了りょう主しゅ丛上うえ的てき联络的てき曲きょく率りつ。它可以看作さく是ぜ黎はじむ曼几何なに中なか的てき曲きょく率りつ张量的てき替がえ代だい或ある是ぜ推广。

定てい义

令れい G 为一个李り群ぐん，记 G 的てき李り代数だいすう为 $g$ 。设 $E\to B$ 为一个主あるじ G-丛。令れい $\omega$ 表示ひょうじ E 上うえ一いち个埃ほこり雷かみなり斯曼联络（它是一いち个E上うえ的てき g-值 1-形式けいしき）。

那な么曲きょく率りつ形式けいしき就是 E 上うえ的てき g-值 2-形式けいしき，定てい义为

\Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=D\omega .

这里 $d$ 表示ひょうじ标准外そと导数， $[*,*]$ 是これ李り括くく号ごう，而 D 表示ひょうじ外そと共ども变导数すう。或ある者もの说

\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+[\omega (X),\omega (Y)].

向むかい量りょう丛上的てき曲きょく率りつ形式けいしき

若わか $E\to B$ 是ぜ一いち个纤维丛，其结构群ぐん为 G，我わが们可以在相伴しょうばん的まと主ぬし G-丛上重じゅう复同样的定てい义。

若わか $E\to B$ 是ぜ一个向量丛则我们可以把 $\omega$ 看み作さく是ぜ 1-形式けいしき的てき矩のり阵，则上面めん的てき公式こうしき取と如下形式けいしき：

\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,

其中 $\wedge$ 是これ楔くさび积。更さら准じゅん确地讲，若わか $\omega _{j}^{i}$ 和わ $\Omega _{j}^{i}$ 分ぶん别代表だいひょう $\omega$ 和わ $\Omega$ 的てき分量ぶんりょう（所以ゆえん每ごと个 $\omega _{j}^{i}$ 是ぜ一いち个通常つうじょう的てき 1-形式けいしき而每个 $\Omega _{j}^{i}$ 是ぜ一いち个普通どおり的てき2-形式けいしき），则

\Omega _{j}^{i}=d\omega _{j}^{i}+\sum _{k}\omega _{k}^{i}\wedge \omega _{j}^{k}.

例れい如，黎はじむ曼流形がた的てき切きり丛，我わが们有 $O(n)$ 作さく为结构群而 $\Omega _{}^{}$ 是ぜ在ざい $o(n)$ 中ちゅう取と值的 2-形式けいしき（给定标准正せい交基，可か以视为反对称矩のり阵）。在ざい这种情じょう况， $\Omega _{}^{}$ 是これ曲きょく率りつ张量的てき一种替换表述，也就是ぜ在ざい曲きょく率りつ张量的てき标准表示ひょうじ中ちゅう，我わが们有