有界ゆうかい輸入ゆにゅう有界ゆうかい輸出ゆしゅつ穩定性せい

在ざい信號しんごう處理しょり及控ひかえ制せい理論りろん中なか，有界ゆうかい輸入ゆにゅう有界ゆうかい輸出ゆしゅつ穩定性せい簡稱BIBO穩定性せい，是ぜ一いち種しゅ針はり對たい有ゆう輸入ゆにゅう信號しんごう線せん性せい系統けいとう的てき穩定性せい。BIBO是ぜ「有界ゆうかい輸入ゆにゅう有界ゆうかい輸出ゆしゅつ」（Bounded-Input Bounded-Output）的てき簡稱，若わか系統けいとう有ゆうBIBO穩定性せい，則のり針はり對たい每ごと一いち個こ有界ゆうかい的てき輸入ゆにゅう，系統けいとう的てき輸出ゆしゅつ也都會かい有界ゆうかい，不ふ會かい發散はっさん到いた無限むげん大だい。

對たい於信號しんごう若わか存在そんざい有限ゆうげん的てき定てい值$B>0$使つかい得とく信號しんごう的てき振幅しんぷく不ふ會かい超過ちょうか$B$，則のり此信號ごう為ため有界ゆうかい的てき，也就是ぜ說せつ

$\ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z}$ 針はり對たい離散りさん訊號，或ある

$\ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R}$ 針はり對たい連續れんぞく訊號

線せん性せい非時ひじ變へん系統けいとう時じ域いき分析ぶんせき下か的てき條件じょうけん

連續れんぞく系統けいとう的てき充たかし份及必要ひつよう條件じょうけん

針はり對たい連續れんぞく時間じかん的てき線せん性せい非時ひじ變へん（LTI）系統けいとう，BIBO穩定性せい的てき條件じょうけん是ぜ脈みゃく衝響應おう需為絕對ぜったい可か積分せきぶん，也就是ぜ存在そんざいL¹範はん數すう

$\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty$

離散りさん系統けいとう的てき充たかし份條件じょうけん

針はり對たい離散りさん時間じかん的てき線せん性せい非時ひじ變へん系統けいとう，BIBO穩定性せい的てき條件じょうけん是ぜ脈みゃく衝響應おう需為絕對ぜったい可か積分せきぶん，也就是ぜ存在そんざいL¹範はん數すう

$\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty$

充たかし份條件じょうけん的てき證明しょうめい

假設かせつ離散りさん時間じかん的てき線せん性せい非時ひじ變へん系統けいとう，其脈衝響應おう$\ h[n]$和わ輸入ゆにゅう$\ x[n]$和わ輸出ゆしゅつ$\ y[n]$之これ間あいだ會かい有ゆう以下いか的てき關係かんけい：

$\ y[n]=h[n]*x[n]$

其中$*$為ため卷まき積つもる 則のり依よ卷まき積つもる的てき定義ていぎ：

$\ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$

令れい$\|x\|_{\infty }$為ため$\ |x[n]|$的てき最大さいだい值

$\left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|$

$\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}$（根據こんきょ三角さんかく不等式ふとうしき）

$\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}$

$=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}$

$=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}$

若わか$h[n]$是ぜ絕對ぜったい可か求もとめ和わ，則のり$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty$且

$\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}$

因いん此若$h[n]$是ぜ絕對ぜったい可か求もとめ和わ，且$\left|x[n]\right|$有界ゆうかい，則のり因いん為ため$\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty$，$\left|y[n]\right|$也會有界ゆうかい。

連續れんぞく時間じかん的てき情じょう形がた也可以依類似るいじ的てき方式ほうしき證明しょうめい。

線せん性せい非時ひじ變へん系統けいとう頻しき域いき分析ぶんせき下か的てき條件じょうけん

連續れんぞく時間じかん訊號

對たい於一いち個こ有理ゆうり的てき連續れんぞく時間じかん系統けいとう，穩定性せい的てき條件じょうけん是ぜ拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯轉換てんかん的てき收斂しゅうれん區域くいき包括ほうかつ複數ふくすう平面へいめん的てき虛きょ軸じく。若わか系統けいとう為ため因果いんが系統けいとう，其收斂しゅうれん區域くいき為ため「最大さいだい極點きょくてん」（實み部ぶ為ため最大さいだい值的極點きょくてん）實じつ部垂へだれ直線ちょくせん往右的てき開ひらき集しゅう，定義ていぎ收斂しゅうれん區域くいき的てき極點きょくてん實み部ぶ稱たたえ為ため收斂しゅうれん橫よこ坐すわ標しるべ。因よし此，若わか要よう有ゆうBIBO穩定性せい，系統けいとう的てき所有しょゆう極點きょくてん都と需在S平面へいめん的てき嚴格げんかく左ひだり半平はんぺん面めん（不能ふのう在ざい虛きょ軸じく上じょう）。

可か以將時じ域いき分析ぶんせき下か的てき穩定性せい條件じょうけん擴展到いた頻しき域いき下か：

$\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}$

其中$s=\sigma +j\omega$，且${\mbox{Re}}(s)=\sigma =0$.

因いん此收斂しゅうれん區域くいき必須ひっす包括ほうかつ虛きょ軸じく。

離散りさん時間じかん訊號

對たい於一いち個こ有理ゆうり的てき離散りさん時間じかん系統けいとう，穩定性せい的てき條件じょうけん是ぜZ轉換てんかん的てき收斂しゅうれん區域くいき包括ほうかつ單位たんい圓えん。若わか系統けいとう為ため因果いんが系統けいとう，其收斂しゅうれん區域くいき為ため極點きょくてん絕對ぜったい值中最大さいだい值為半徑はんけい的てき圓周えんしゅう以外いがい的てき開ひらき集しゅう，因いん此，若わか要よう有ゆうBIBO穩定性せい，系統けいとう的てき所有しょゆう極點きょくてん都と需在Z平面へいめん的てき單位たんい圓えん內（不能ふのう在ざい單位たんい圓上えんじょう）。

可か以用類似るいじ的てき方式ほうしき推導穩定性せい準則じゅんそく：

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}$

其中$z=re^{j\omega }$，且$r=|z|=1$

因いん此收斂しゅうれん區域くいき必須ひっす包括ほうかつ單位たんい圓えん。

相關そうかん條目じょうもく

• 线性时不变系统理论
• 有限ゆうげん脉冲响应（FIR）濾波器き
• 無限むげん脈みゃく衝響應おう（IIR）濾波器き
• 奈奎斯特图
• 羅ら斯-霍維茨いばら穩定性せい準則じゅんそく
• 波なみ德とく圖ず
• 相そう位い裕ひろし度たび
• 根ね軌跡きせき法ほう
• 超ちょう穩定性せい

延伸えんしん閱讀

• Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
• John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
• D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
• Proof of the necessary conditions for BIBO stability. （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577