狄利克かつ雷かみなり摺すり積せき

在ざい算術さんじゅつ函數かんすう集しゅう上うえ，可か以定義ていぎ一いち種しゅ二元にげん運算うんざん，使つかい得え取ど這種運算うんざん為ため乘法じょうほう，取と普通ふつう函數かんすう加法かほう為ため加法かほう，使つかい得とく算術さんじゅつ函數かんすう集しゅう為ため一いち個こ交換こうかん環たまき。其中一種這樣的運算便是狄利克かつ雷かみなり摺すり積せき。它和一般いっぱん的てき卷まき积有ゆう不ふ少しょう相そう類るい之の處しょ。

對たい於算術じゅつ函數かんすう$f,g$，定義ていぎ其狄利克としかつ雷かみなり摺すり積せき$(f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g({\frac {n}{d}})$。

取と狄利克かつ雷かみなり摺すり積せき為ため運算うんざん，積せき性せい函數かんすう集しゅう是ぜ算術さんじゅつ函數かんすう集しゅう的てき子こ群ぐん。

運算うんざん

• 交換こうかん律りつ$f*g=g*f$
• 結合けつごう律りつ$(f*g)*h=f*(g*h)$
• 分配ぶんぱい律りつ$f*(g+h)=f*g+f*h=(g+h)*f$
• 存在そんざい單位たんい函數かんすうεいぷしろん使つかい得とく$f=f*\epsilon =\epsilon *f$。εいぷしろん(n)的てき值為1若わかn=1，否ひ則そくεいぷしろん(n)=0。
• 對たい於任意にんい算術さんじゅつ函數かんすう$f$，若わか$f(1)$不等ふとう於0，都と有ゆう唯一ゆいいつ的てき逆ぎゃく函數かんすう$f^{-1}$，使つかい得とく$f*f^{-1}=\epsilon$。

$f^{-1}$的てき值如下か：

$f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}$

對たい於$n>1$，$f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d|n,n\neq d}f({\frac {n}{d}})f^{-1}(d)$

默だま比ひ乌斯函数かんすうμみゅー的てき逆ぎゃく函數かんすう為ため（一般いっぱん意義いぎ上じょう的てき）1，即そく對たい於$n\neq 1$，$\sum _{d|n}\mu (d)\times 1=0$。這是默だま比ひ乌斯反はん演えんじ公式こうしき的てき原理げんり。

狄利克かつ雷かみなり摺すり積せき得とく名めい於數學がく家か約やく翰·彼かれ得とく·古こ斯塔夫おっと·勒熱納おさめ·狄利克かつ雷かみなり。1857年ねん约瑟夫おっと·刘维尔曾發表はっぴょう了りょう許多きょた包含ほうがん這個運算うんざん的てき恆等こうとう式しき。將はた它視為ため二元運算這個觀點由埃ほこり里さと克かつ·坦ひろし普ひろし爾なんじ·貝かい爾なんじ和わM.奇き波は拉ひしげ1915年ねん提出ていしゅつ。

導しるべ數すう

若わか定義ていぎ$f$的てき「導しるべ數すう」$f'(n)=f(n)\log(n)$，可か以發現はつげん這個運算うんざん和わ連續れんぞく實み函數かんすう的てき導しるべ數すう有ゆう不ふ少しょう相似そうじ的てき地方ちほう：

• $(f+g)'=f'+g'$
• $(f*g)'=f*g'+f'*g$
• $(f^{-1})'={\frac {-f'}{f*f}}$

級數きゅうすう

對たい於算術じゅつ函數かんすう$f$，定義ていぎ其狄利克かつ雷かみなり級數きゅうすう

$DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$

對たい於一些算術函數的狄利克雷級數，它們的てき積せき，跟那些算術じゅつ函數かんすう的てき狄利克かつ雷かみなり摺すり積せき的てき狄利克かつ雷かみなり級數きゅうすう是ぜ相等そうとう的てき：

$DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,$

這跟卷まき积定理ていり很相似そうじ。

定義ていぎ$f$的てき貝かい爾なんじ級數きゅうすう

$f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.$

也有やゆう類似るいじ的てき關係かんけい：

• ${(f*g)_{p}}(x)=f_{p}(x)\times g_{p}(x)$

參考さんこう

• Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
• http://eom.springer.de/D/d130150.htm （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）