卷まき积

卷まき积、互相关和わ自じ相あい关的てき图示比ひ较。运算涉わたる及函数すう$f$，并假定かてい$f$的てき高度こうど是ぜ1.0，在ざい5个不同点どうてん上じょう的てき值，用もちい在ざい每まい个点下面かめん的てき阴影面めん积来指示しじ。$f$的てき对称性せい是ぜ卷まき积$g*f$和かず互相关$f\star g$在ざい这个例れい子中こなか相しょう同どう的てき原因げんいん。

在ざい泛函分析ぶんせき中なか，捲めく積せき（convolution），或ある译为疊たたみ積せき、褶積或ある旋積，是ぜ透過とうか两个函数かんすう$f$和わ$g$生成せいせい第だい三个函数的一种数学算さん子こ，表徵ひょうちょう函数かんすう$f$与あずか经过翻こぼし转和平わへい移うつり的てき$g$的てき乘じょう積せき函數かんすう所しょ圍かこえ成なり的てき曲きょく邊べ梯形ていけい的てき面積めんせき。如果将しょう参加さんか卷まき积的一个函数看作区く间的てき指示しじ函数かんすう，卷かん积还可か以被看み作さく是ぜ“滑すべり動どう平均へいきん”的てき推廣。

定てい义

卷まき积是数学すうがく分析ぶんせき中ちゅう一种重要的运算。设：$f(t)$和わ$g(t)$是これ实数$\mathbb {R}$上うえ的てき两个可か积函数すう，定てい义二者しゃ的てき卷まき积$(f*g)(t)$为如下か特定とくてい形式けいしき的てき积分变换：

$(f*g)(t)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$

$(f*g)(t)$仍为可か积函数すう，并且有ゆう着ぎ：

$(f*g)(t)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau =(g*f)(t)$

函数かんすう$f$和わ$g$，如果只ただ支ささえ撑在ざい$[0,\infty ]$之これ上じょう，则积分界ぶんかい限げん可か以截断せつだん为：

$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad$对于$\ f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R}$

对于两个得とく出で复数值的多元たげん实变函数かんすう，可か以定义二者的卷积为如下形式的多重たじゅう积分：

${\begin{aligned}(f*g)(t_{1},t_{2},\cdots ,t_{n})&\triangleq \int \int \cdots \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\tau _{1},\tau _{2},\cdots ,\tau _{n})g(t_{1}-\tau _{1},t_{2}-\tau _{2},\cdots ,t_{n}-\tau _{n},)\,d\tau _{1}d\tau _{2}\cdots d\tau _{n}\\&\triangleq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\tau )g(t-\tau )\,d^{n}\tau \end{aligned}}$

卷まき积有一个通用的工程上的符号约定：

$f(t)*g(t)\triangleq \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)}$

它必须被谨慎解かい释以避免混淆こんこう。例れい如：$f(t)*g(t-t_{0})$等とう价于$(f*g)(t-t_{0})$，而$f(t-t_{0})*g(t-t_{0})$却实际上等とう价于$(f*g)(t-2t_{0})$。

历史

卷まき积运算さん的てき最早もはや使用しよう出で现在达朗贝尔于1754年ねん出版しゅっぱん的てき《宇宙うちゅう体系たいけい的てき几个要点ようてん研究けんきゅう》中ちゅう对泰たい勒定理ていり的てき推导之の中なか。还有西にし尔维斯特·拉ひしげ克かつ鲁瓦，将はた${\textstyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}$类型的てき表ひょう达式，用もちい在ざい他た的てき1797年ねん–1800年ねん出版しゅっぱん的てき著作ちょさく《微ほろ分与ぶんよ级数论文》中ちゅう。此后不ふ久ひさ，卷かん积运算出さんしゅつ现在皮かわ埃ほこり尔-西にし蒙こうむ·拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯、约瑟夫おっと·傅でん里さと叶かのう和わ西にし梅うめ翁おう·泊はく松まつ等ひとし人的じんてき著作ちょさく中ちゅう。这个运算以前いぜん有ゆう时叫做“Faltung”（德とく语中的てき折おり叠）、合成ごうせい乘じょう积、叠加积分或ある卡森积分。

“卷まき积”这个术语早はや在ざい1903年ねん就出现了，然しか而其定てい义在早期そうき使用しよう中ちゅう是ぜ相当そうとう生せい僻へき的てき，直ちょく到いた1950年代ねんだい或ある1960年代ねんだい之の前ぜん都と未み曾广泛使用しよう。

简介

如果$f$和わ$g$都みやこ是ただし在ざいL^p 空そら间$L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$内的ないてき勒贝格かく可か积函数すう，则二者しゃ的てき卷まき积存在そんざい，并且在ざい这种情じょう况下$f*g$也是可か积的。这是托たく內利定理ていり的てき结论。对于在ざい$L^{1}$中なか的てき函数かんすう在ざい离散卷まき积下，或ある更さら一般的对于在任何群的上的卷积，这也是ぜ成立せいりつ的てき。同どう样的，如果$f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$而$g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$，这里的てき$1\leq p\leq \infty$，则$f*g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$，并且其L^p 范数间有着ぎ不等式ふとうしき：

$\|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}$

在ざい$p=1$的てき特殊とくしゅ情じょう况下，这显示しめせ出で$L^{1}$是ぜ在ざい卷まき积下的てき巴ともえ拿赫代数だいすう（并且如果$f$和わ$g$几乎处处非ひ负则两边间等式しき成立せいりつ）。

卷まき积与傅でん里さと叶かのう变换有ゆう着ぎ密みつ切きり的てき关系。例れい如两函数かんすう的てき傅でん里さと叶かのう变换的てき乘じょう积等于它们卷积后的てき傅でん里さと叶かのう变换，利用りよう此一性質せいしつ，能のう簡化傅でん里さと叶かのう分析ぶんせき中ちゅう的てき许多问题。

由よし卷まき积得到いた的てき函数かんすう$f*g$，一般いっぱん要よう比ひ$f$和わ$g$都みやこ光ひかり滑すべり。特とく别当$g$为具有ぐゆう紧支集しゅう的てき光ひかり滑すべり函数かんすう，$f$为局部ぶ可か积时，它们的てき卷まき积$f*g$也是光こう滑すべり函数かんすう。利用りよう这一性せい质，对于任意にんい的てき可か积函数すう$f$，都と可か以简单地构造出で一いち列れつ逼近于$f$的てき光ひかり滑すべり函はこ数列すうれつ$f_{s}$，这种方法ほうほう称しょう为函数すう的てき光ひかり滑すべり化か或ある正せい则化。

函数かんすう$f(t)$和わ$g(t)$的てき互相关$(f\star g)(\tau )$，等とう价于$f(-\tau )$的てき共きょう轭复数すう${\overline {f(-\tau )}}$与あずか$g(\tau )$的てき卷まき积：

$(f\star g)(\tau )\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt={\overline {f(-\tau )}}*g(\tau )$

这里的てき$\tau$叫さけべ做移位い（displacement）或ある滞とどこお后きさき（lag）。

对于單位たんい脈みゃく衝函数かんすう$\delta (t)$和かず某ぼう个函数すう$h(t)$，二者得到的捲積就是$h(t)$本身ほんみ，此$h(t)$被ひ稱しょう為ため衝激響ひびき應おう：

$(\delta *h)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\tau )h(t-\tau )\,d\tau =h(t)$

在ざい连续时间线性非ひ时变系けい统中なか，输出信号しんごう$y(t)$被ひ描述为输入いれ信号しんごう$x(t)$与あずか冲激响应$h(t)$的てき卷まき积：

$y(t)=(x*h)(t)\ \triangleq \ \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau$

两个独立どくりつ的てき随ずい机つくえ变量$U$和わ$V$，每まい个都有ゆう一いち个概がい率りつ密度みつど函数かんすう，二者之和的概率密度，是ぜ它们单独的てき密度みつど函数かんすう的てき卷まき积：

$f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)$

图解

已やめ知ち右みぎ侧第一行图中两个函数$f(t)$和わ$g(t)$。 首くび先さき將はた兩個りゃんこ函數かんすう都と用よう约束变量$\tau$來らい表示ひょうじ，并将$g(\tau )$翻こぼし转至纵轴另一侧，从而得え到いた右みぎ侧第二に行ぎょう图中$f(\tau )$和わ$g(-\tau )$。 向こう函数かんすう$g(-\tau )$增加ぞうか一个时间偏移量$t$，得え到いた函数かんすう$g(-(\tau -t))=g(t-\tau )$。$t$不ふ是ぜ常数じょうすう而是自由じゆう变量，当とう$t$取と不ふ同どう值时，$g(t-\tau )$能のう沿着$\tau$轴“滑すべり动”。如果$t$是正ぜせい值，则$g(t-\tau )$等とう于$g(-\tau )$沿着$\tau$轴向右みぎ（朝ちょう向むこう$+\infty$）滑すべり动数量すうりょう$t$。如果$t$是ぜ负值，则$g(t-\tau )$等とう价于$g(-\tau )$向こう左ひだり（朝ちょう向むこう$-\infty$）滑すべり动数量すうりょう$|t|$。 讓ゆずる$t$從したがえ$-\infty$变化至いたり$+\infty$，当とう兩個りゃんこ函數かんすう交會時じ，計算けいさん交會範圍はんい中ちゅう兩個りゃんこ函はこ數すう乘じょう積せき的てき積分せきぶん值。換かわ句く話はなし說せつ，在ざい时间$t$，计算函数かんすう$f(\tau )$经过权重函数かんすう$g(t-\tau )$施ほどこせ以权重じゅう后きさき其下的てき面めん积。右みぎ侧第三さん、第だい四よん和わ第だい五ご行ぎょう图中，分ふん别是$t=0$、$t=2.5$和わ$t=5.5$时的情じょう况，从$t>1$时开始はじめ有ゆう交会，例れい如在第だい四よん行ぎょう图中，$\tau =0$则$g(t-\tau )=g(2.5)$，$\tau =1.5$则$g(t-\tau )=g(1)$，对于$\tau \notin [0,1.5]$有ゆう着ぎ$f(\tau )g(t-\tau )=0$。 最後さいご得え到いた的てき波形はけい（未み包含ほうがん在ざい此圖中ちゅう）就是$f$和わ$g$的てき捲めく積せき。
两个矩形くけい脈みゃく衝波的てき捲めく積せき。其中函数かんすう$g$首くび先さき对$\tau =0$反射はんしゃ，接せっ著ちょ平ひらめ移うつ$t$，成なり為ため$g(t-\tau )$。那な么重叠部份的面めん积就相当そうとう于$t$处的卷まき积，其中橫よこ坐すわ標しるべ代表だいひょう待まち变量$\tau$以及新しん函數かんすう$f\ast g$的てき自じ變量へんりょう$t$。
矩形くけい脈みゃく衝波和わ指數しすう衰おとろえ減げん脈みゃく衝波的てき捲めく積せき（後者こうしゃ可能かのう出現しゅつげん於RC電路でんろ中なか），同樣どうよう地ち重疊ちょうじょう部ぶ份面積めんせき就相當とう於$t$處しょ的てき捲めく積せき。注意ちゅうい到いた因いん為ため$g$是ぜ對稱たいしょう的てき，所以ゆえん在ざい這兩張はり圖ず中ちゅう，反射はんしゃ並なみ不ふ會かい改變かいへん它的形狀けいじょう。

周期しゅうき卷まき积

主しゅ条目じょうもく：圆周卷まき积

矩形くけい脉冲波は和わ指数しすう衰おとろえ减脉冲波は的てき周期しゅうき卷まき积

两个$T$周期しゅうき的てき函数かんすう$h_{_{T}}(t)$和わ$x_{_{T}}(t)$的てき“周期しゅうき卷まき积”定てい义为：

$\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}h_{_{T}}(\tau )x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau$

这里的てき$t_{0}$是ぜ任意にんい参さん数すう。

任にん何なに可か积分函数かんすう$s(t)$，都と可か以通过求函数かんすう$s(t)$的てき所有しょゆう整数せいすう倍ばい$P$的てき平ひら移うつり的てき总和，从而制作せいさく出で具有ぐゆう周期しゅうき$P$的てき周期しゅうき函数かんすう $s_{_{P}}(t)$，这叫做周期しゅうき求もとめ和わ：

$s_{_{P}}(t)\triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t+mP)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),\quad m\in \mathbb {Z}$

对于无周期き函数かんすう$h$与あずか$x$，其周期き$T$的てき周期しゅうき求もとめ和わ分ぶん别是$h_{_{T}}(t)$与あずか$x_{_{T}}(t)$，$h$与あずか$x$的てき周期しゅうき卷まき积，可か以定义为$h(t)$与あずか$x_{_{T}}(t)$的てき常つね规卷积，或ある$x(t)$与あずか$h_{_{T}}(t)$的てき常つね规卷积，二に者しゃ都と等とう价于$h_{_{T}}(t)$与あずか$x_{_{T}}(t)$的てき周期しゅうき积分：

$(h*x_{_{T}})(t)\ \triangleq \ \ \int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau \ =\ \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}h_{_{T}}(\tau )x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau$

$(h*x_{_{T}})(t)=(x*h_{_{T}})(t)$

圆周卷まき积是ぜ周期しゅうき卷まき积的特殊とくしゅ情じょう况，其中函数かんすう$h$和わ$x$二者的非零部份，都と限定げんてい在ざい区く间$[0,T]$之これ内ない，此时的てき周期しゅうき求もとめ和わ称しょう为“周期しゅうき延のべ拓たく”。$h*x_{_{T}}$中ちゅう函数かんすう$x_{_{T}}$可か以通过取非ひ负余よ数すう的てき模かたぎ除じょ运算表ひょう达为“圆周函数かんすう”：

$x_{_{T}}(t)=x(t_{\mathrm {mod} \ T}),\quad t\in \mathbb {R}$

而积分ぶん的てき界かい限げん可か以缩简至函数かんすう$h$的てき长度范围$[0,T]$：

$(h*x_{_{T}})(t)=\int _{0}^{T}h(\tau )x((t-\tau )_{\mathrm {mod} \ T})\ d\tau$

离散卷まき积

离散卷まき积示意い图

对于定てい义在整數せいすう$\mathbb {Z}$上うえ且得出で复数值的函数かんすう$f[n]$和わ$g[n]$，离散卷まき积定义为：

$(f*g)[n]\ \ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }{f[m]g[n-m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m]$

這裡一樣把函數定義域以外的值當成零，所以ゆえん可か以擴展てん函數かんすう到いた所有しょゆう整數せいすう上じょう（如果本來ほんらい不ふ是ぜ的てき話ばなし）。两个有限ゆうげん序列じょれつ的てき卷まき积的定てい义，是これ将はた这些序列じょれつ扩展成なり在ざい整数せいすう集合しゅうごう上じょう有限ゆうげん支ささえ撑的函数かんすう。在ざい这些序列じょれつ是ぜ两个多た项式的まと系けい数すう之の时，这两个多项式的てき普通ふつう乘じょう积的系けい数すう，就是这两个序列じょれつ的てき卷まき积。这叫做序列じょれつ系けい数すう的てき柯西乘じょう积。

當とう$g[n]$的てき支ささえ撐集為ため有限ゆうげん長ちょう度ど的てき$\{-M,-M+1,\dots ,M-1,M\}$之これ时，上うえ式しき會かい變成へんせい有限ゆうげん求もとめ和わ：

$(f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m]$

多た维离散卷まき积

主しゅ条目じょうもく：多た维离散卷まき积

用よう离散二に维卷积对图像进行锐化处理的てき动画

类似于一维情况，使用しよう星ほし号ごう表示ひょうじ卷まき积，而维度ど体からだ现在星ほし号ごう的てき数量すうりょう上じょう，$M$维卷积就写うつし为$M$个星号ごう。下面かめん是ぜ$M$维信号ごう的てき卷まき积的表示法ひょうじほう：

$y(n_{1},n_{2},...,n_{_{M}})=h(n_{1},n_{2},...,n_{_{M}})*{\overset {M}{\cdots }}*x(n_{1},n_{2},...,n_{_{M}})$

对于离散值的信号しんごう，这个卷まき积可以直接ちょくせつ如下这样计算：

$\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{k_{2}=-\infty }^{\infty }...\sum _{k_{_{M}}=-\infty }^{\infty }h(k_{1},k_{2},...,k_{_{M}})x(n_{1}-k_{1},n_{2}-k_{2},...,n_{_{M}}-k_{_{M}})$

结果的てき离散多た维卷积所支ささえ撑的输出区域くいき，基き于两个输入信にゅうしん号ごう所しょ支ささえ撑的大だい小和おわ区域くいき来らい决定。

在ざい两个二维信号之间的卷积的可视化

离散周期しゅうき卷まき积

对比离散无周期き卷まき积（左ひだり列れつ）与あずか离散圆周卷まき积（右みぎ列れつ）

对于离散序列じょれつ和わ一いち个参数すう$N$，无周期き函数かんすう$h$和わ$x$的てき“周期しゅうき卷まき积”是ぜ为：

$(h*x_{_{N}})[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\underbrace {x_{_{N}}[n-m]} _{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-m-kN]}\ =\ \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h}[m-kN]\right)x_{_{N}}[n-m]$

这个函数かんすう有ゆう周期しゅうき$N$，它有最多さいた$N$个唯一いち性的せいてき值。$h$和わ$x$的てき非ひ零れい范围都と是ぜ$[0,N-1]$的てき特殊とくしゅ情じょう况叫做圆周卷まき积：

$(h*x_{_{N}})[n]=\sum _{m=0}^{N-1}h[m]x_{_{N}}[n-m]=\sum _{m=0}^{N-1}h[m]x[(n-m)_{\bmod {N}}]$

离散圆周卷まき积可简约为矩のり阵乘法ほう，这里的てき积分变换的てき核かく函数かんすう是ぜ循环矩のり阵:

${\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\\vdots \\y_{_{N-1}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{0}&h_{_{N-1}}&\cdots &h_{1}\\h_{1}&h_{0}&\cdots &h_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{_{N-1}}&h_{_{N-2}}&\cdots &h_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{_{N-1}}\end{bmatrix}}$

圆周卷まき积最经常出で现的快速かいそく傅でん里さと叶かのう变换的てき实现算法さんぽう比ひ如雷かみなり德とく演算えんざん法ほう之これ中ちゅう。

性せい质

代数だいすう

主しゅ条目じょうもく：卷まき积代数すう

各かく种卷积算子こ都と满足下か列れつ性せい质：

交换律りつ

$f*g=g*f\,$

结合律りつ

$f*(g*h)=(f*g)*h\,$

分配ぶんぱい律りつ

$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)\,$

数すう乘じょう结合律りつ

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,$

其中$a$为任意にんい实数（或ある复数）。

复数共ども轭

${\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}$

微ほろ分有ぶんゆう关

$(f*g)'=f'*g=f*g'$

积分有ぶんゆう关

如果${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau }$，并且${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau }$，则有：

$(F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau$

积分

如果$f$和わ$g$是ぜ可か积分函数かんすう，则它们在整せい个空间上的てき卷まき积的积分，简单的てき就是它们积分的てき乘じょう积：

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}(f*g)(t)\,d^{n}t=\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)\,d^{n}t\right)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(t)\,d^{n}t\right)$

这是富とみ比ひ尼あま定理ていり的てき结果。如果$f$和わ$g$只ただ被ひ假定かてい为非负可测度函数かんすう，根ね据すえ托たく内ない利り定理ていり，这也是ぜ成立せいりつ的てき。

微分びぶん

在ざい一元いちげん函数かんすう情じょう况下，$f$和わ$g$的てき卷まき积的导数有ゆう着ぎ：

${\frac {d}{dt}}(f*g)={\frac {df}{dt}}*g=f*{\frac {dg}{dt}}$

这里的てき${\frac {d}{dt}}$是これ微分びぶん算さん子こ。更さら一般いっぱん的てき说，在ざい多元たげん函数かんすう的てき情じょう况下，对偏へん导数也有やゆう类似的てき公式こうしき：

${\frac {\partial }{\partial t_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial t_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial t_{i}}}$

这就有ゆう了りょう一个特殊结论，卷かん积可以看作さく“光ひかり滑すべり”运算：$f$和わ$g$的てき卷まき积可微分びぶん的てき次数じすう，是ぜ$f$和わ$g$的てき总数。

这些恒等こうとう式しき成立せいりつ的てき严格条件じょうけん，为$f$和わ$g$是ぜ绝对可か积分的てき，并且至いたり少しょう二者之一有绝对可积分（$L^{1}$）弱じゃく导数，这是Young卷まき积不等式とうしき的てき结论。

在ざい离散情じょう况下，差分さぶん算さん子こ$\Delta [f](n)=f(n+1)-f(n)$满足类似的てき关系：

$\Delta (f*g)=(\Delta f)*g=f*(\Delta g)$

卷まき积定理ていり

主しゅ条目じょうもく：卷まき积定理ていり

卷まき积定理ていり指出さしで，在ざい适当的てき条件下じょうけんか，两个函数かんすう（或ある信号しんごう）的てき卷まき积的傅でん里さと叶かのう变换，是ぜ它们的てき傅でん里さと叶かのう变换的てき逐点乘じょう积。更さら一般いっぱん的てき说，在ざい一いち个域（比ひ如时域）中ちゅう的てき卷まき积等于在其他域いき（比ひ如频域）逐点乘法じょうほう。

设两个函数すう$g(x)$和わ$h(x)$，分ふん别具有ぐゆう傅でん里さと叶かのう变换$G(s)$和わ$H(s)$：

${\begin{aligned}G(s)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i2\pi sx}\,dx,\quad s\in \mathbb {R} \\H(s)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }h(x)e^{-i2\pi sx}\,dx,\quad s\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

这里的てき${\mathcal {F}}$算さん子こ指示しじ傅でん里さと叶かのう变换。

卷まき积定理ていり声ごえ称しょう：

${\mathcal {F}}\{g*h\}(s)=G(s)H(s),\quad s\in \mathbb {R}$

${\mathcal {F}}\{g\cdot h\}(s)=G(s)*H(s),\quad s\in \mathbb {R}$

应用逆ぎゃく傅でん里さと叶かのう变换${\mathcal {F}}^{-1}$产生推论：

$(g*h)(s)={\mathcal {F}}^{-1}\{G\cdot H\},\quad s\in \mathbb {R}$

$(g\cdot h)(s)={\mathcal {F}}^{-1}\{G*H\},\quad s\in \mathbb {R}$

这里的てき算さん符ふ$\,\cdot \,$指示しじ逐点乘法じょうほう。

这一定理ていり对拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯变换、双そう边拉普ひろし拉ひしげ斯变换、Z变换、梅林うめばやし变换和わHartley变换等ひとし各かく种傅里さと叶かのう变换的てき变体同どう样成立せいりつ。在ざい调和分析ぶんせき中ちゅう还可以推广到在ざい局部きょくぶ紧致的てき阿おもね贝尔群ぐん上うえ定じょう义的傅でん里さと叶かのう变换。

周期しゅうき卷まき积

对于周期しゅうき为$P$的てき函数かんすう$g_{_{P}}(x)$和わ$h_{_{P}}(x)$，可か以被表ひょう达为二に者しゃ的てき周期しゅうき求もとめ和わ：

${\begin{aligned}g_{_{P}}(x)\ &\triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g(x-mP),\quad m\in \mathbb {Z} \\h_{_{P}}(x)\ &\triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h(x-mP),\quad m\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$

它们的てき傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう为：

${\begin{aligned}G[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}g_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \\H[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{h_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$

这里的てき${\mathcal {F}}$算さん子こ指示しじ傅でん里さと叶かのう级数积分。

逐点乘じょう积$g_{_{P}}(x)\cdot h_{_{P}}(x)$的てき周期しゅうき也是$P$，它的傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう为：

${\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\cdot h_{_{P}}\}[k]=(G*H)[k]$

周期しゅうき卷まき积$(g_{_{P}}*h)(x)$的てき周期しゅうき也是$P$，周期しゅうき卷まき积的卷まき积定理ていり为：

${\mathcal {F}}\{g_{_{P}}*h\}[k]=\ P\cdot G[k]\ H[k]$

离散卷まき积

对于作さく为两个连续函数すう采さい样的てき序列じょれつ$g[n]$和わ$h[n]$，它们具有ぐゆう离散时间傅でん里さと叶かのう变换$G(s)$和わ$H(s)$：

${\begin{aligned}G(s)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]\cdot e^{-i2\pi sn}\;,\quad s\in \mathbb {R} \\H(s)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot e^{-i2\pi sn}\;,\quad s\in \mathbb {R} \end{aligned}}$

这里的てき${\mathcal {F}}$算さん子こ指示しじ离散时间傅でん里さと叶かのう变换（DTFT）。

离散卷まき积的卷まき积定理ていり为：

${\mathcal {F}}\{g*h\}(s)=\ G(s)H(s)$

离散周期しゅうき卷まき积

对于周期しゅうき为$N$的てき序列じょれつ$g_{_{N}}[n]$和わ$h_{_{N}}[n]$：

${\begin{aligned}g_{_{N}}[n]\ &\triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g[n-mN],\quad m,n\in \mathbb {Z} \\h_{_{N}}[n]\ &\triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],\quad m,n\in \mathbb {Z} \end{aligned}}$

相あい较于离散时间傅でん里さと叶かのう变换$G(s)$和わ$H(s)$的てき周期しゅうき是ぜ$1$，它们是ぜ按间隔へだた$1/N$采さい样$G(s)$和わ$H(s)$，并在$N$个采样上进行了りょう逆ぎゃく离散傅でん里さと叶かのう变换（DFT^-1或あるIDFT）的てき结果。

离散周期しゅうき卷まき积$(g_{_{N}}*h)[n]$的てき周期しゅうき也是$N$。离散周期しゅうき卷まき积定理ていり为：

${\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}[k]=\ \underbrace {{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}[k]} _{G(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}[k]} _{H(k/N)},\quad k,n\in \mathbb {Z}$

这里的てき${\mathcal {F}}$算さん子こ指示しじ长度$N$的てき离散傅でん里さと叶かのう变换（DFT）。

它有着ぎ推论：

$(g_{_{N}}*h)[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}\}$

对于其非零れい时段小しょう于等于$N$的てき$g$和わ$h$，离散圆周卷まき积的卷まき积定理ていり为：

$(g_{_{N}}*h)[n]=\ {\mathcal {F}}^{-1}\{{\mathcal {F}}\{g\}\cdot {\mathcal {F}}\{h\}\}$

推广

卷まき积的概念がいねん还可以推广到数列すうれつ、测度以及广义函数かんすう上うえ去さ。函数かんすう$f,g$是ぜ定義ていぎ在ざい$\mathbb {R} ^{n}$上うえ的てき可か測はか函數かんすう（measurable function），$f$与あずか$g$存在そんざい卷まき积并记作$f*g$。如果函數かんすう不ふ是ぜ定義ていぎ在ざい$\mathbb {R} ^{n}$上うえ，可か以把函數かんすう定義ていぎ域いき以外いがい的てき值都規定きてい成なり零れい，這樣就變成へんせい一いち個こ定義ていぎ在ざい$\mathbb {R} ^{n}$上うえ的てき函數かんすう。

若わかG是ぜ有ゆう某ぼうm 测度的てき群ぐん（例れい如豪ごう斯多夫おっと空そら间上うえ哈尔测度下した局部きょくぶ紧致的てき拓つぶせ扑群），对于G上うえm-勒贝格かく可か积的てき实数或ある复数函数かんすうf和わg，可か定てい义它们的卷まき积：

$(f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(xy^{-1})\,dm(y)\,$

对于这些群ぐん上じょう定てい义的卷まき积同样可以给出で诸如卷まき积定理ていり等とう性せい质，但ただし是ぜ这需要よう对这些群的てき表示ひょうじ理り论以及调和分析ぶんせき的てき彼かれ得とく-外そと尔定理ていり。

离散卷まき積つもる的てき計算けいさん方法ほうほう

計算けいさん卷まき積つもる$f[n]*g[n]$有ゆう三種さんしゅ主要しゅよう的てき方法ほうほう，分別ふんべつ為ため

1. 直接ちょくせつ計算けいさん（Direct Method）
2. 快速かいそく傅でん立葉たてば轉換てんかん（FFT）
3. 分段ぶんだん卷まき積つもる（sectioned convolution）

方法ほうほう1是ぜ直接ちょくせつ利用りよう定義ていぎ來らい計算けいさん卷まき積つもる，而方法ほう2和わ3都と是ぜ用よう到いた了りょうFFT來らい快速かいそく計算けいさん卷まき積せき。也有やゆう不ふ需要じゅよう用よう到いたFFT的てき作法さほう，如使用しよう數かず論ろん轉換てんかん。

方法ほうほう1：直接ちょくせつ計算けいさん

• 作法さほう：利用りよう卷まき積つもる的てき定義ていぎ

$y[n]=f[n]*g[n]=\sum _{m=0}^{M-1}f[n-m]g[m]$

• 若わか$f[n]$和わ$g[n]$皆みな為ため實數じっすう信號しんごう，則のり需要じゅよう$MN$個こ乘法じょうほう。

• 若わか$f[n]$和わ$g[n]$皆みな為ため更さら一般いっぱん性せい的てき複數ふくすう信號しんごう，不ふ使用しよう複數ふくすう乘法じょうほう的てき快速かいそく演算えんざん法ほう，會かい需要じゅよう$4MN$個こ乘法じょうほう;但ただし若わか使用しよう複數ふくすう乘法じょうほう的てき快速かいそく演算えんざん法ほう，則のり可か簡化至いたり$3MN$個こ乘法じょうほう。

因いん此，使用しよう定義ていぎ直接ちょくせつ計算けいさん卷まき積つもる的てき複雜ふくざつ度ど為ため$O(MN)$。

方法ほうほう2：快速かいそく傅でん立葉たてば轉換てんかん

• 概念がいねん：由よし於兩個りゃんこ離散りさん信號しんごう在ざい時じ域いき（time domain）做卷積せき相當そうとう於這兩個りゃんこ信號しんごう的てき離散りさん傅でん立葉たてば轉換てんかん在ざい頻しき域いき（frequency domain）做相乘そうじょう：

$y[n]=f[n]*g[n]\leftrightarrow Y[f]=F[f]G[f]$

，可か以看出で在ざい頻しき域いき的てき計算けいさん較簡單かんたん。

• 作法さほう：因いん此這個こ方法ほうほう即そく是ぜ先さき將はた信號しんごう從したがえ時じ域いき轉成てんせい頻しき域いき：

$F[f]=DFT_{P}(f[n]),G[f]=DFT_{P}(g[n])$

，於是

$Y[f]=DFT_{P}(f[n])DFT_{P}(g[n])$

，最後さいご再さい將はた頻しき域いき信號しんごう轉回てんかい時じ域いき，就完成かんせい了りょう卷まき積つもる的てき計算けいさん：

$y[n]=IDFT_{P}{DFT_{P}(f[n])DFT_{P}(g[n])}$

總そう共きょう做了2次じDFT和わ1次じIDFT。

• 特別とくべつ注意ちゅういDFT和わIDFT的てき點數てんすう$P$要よう滿足まんぞく$P\geq M+N-1$。

• 由よし於DFT有ゆう快速かいそく演算えんざん法ほうFFT，所以ゆえん運算うんざん量りょう為ため$O(P\log _{2}P)$

• 假設かせつ$P$點てんDFT的てき乘法じょうほう量りょう為ため$a$，$f[n]$和わ$g[n]$為ため一般いっぱん性せい的てき複數ふくすう信號しんごう，並なみ使用しよう複數ふくすう乘法じょうほう的てき快速かいそく演算えんざん法ほう，則のり共ども需要じゅよう$3a+3P$個こ乘法じょうほう。

方法ほうほう3：分段ぶんだん卷まき積つもる

• 概念がいねん：將しょう$f[n]$切きり成なり好こう幾いく段だん（section），每まい一段いちだん分別ふんべつ和わ$g[n]$做卷積せき後ご，再さい將しょう結果けっか相しょう加か。

• 作法さほう：先さき將しょう$f[n]$切きり成なり每ごと段だん長ちょう度ど為ため$L$的いくわ區く段だん（$L>M$），假設かせつ共ども切きり成なりS段だん：

$f[n](n=0,1,...,N-1)\to f_{1}[n],f_{2}[n],f_{3}[n],...,f_{S}[n](S=\left\lceil {\frac {N}{L}}\right\rceil )$

Section 1: $f_{1}[n]=f[n],n=0,1,...,L-1$

Section 2: $f_{2}[n]=f[n+L],n=0,1,...,L-1$

$\vdots$

Section r: $f_{r}[n]=f[n+(r-1)L],n=0,1,...,L-1$

$\vdots$

Section S: $f_{S}[n]=f[n+(S-1)L],n=0,1,...,L-1$

，$f[n]$為ため各個かっこsection的てき和わ

$f[n]=\sum _{r=1}^{S}f_{r}[n+(r-1)L]$。

因いん此，

$y[n]=f[n]*g[n]=\sum _{r=1}^{S}\sum _{m=0}^{M-1}f_{r}[n+(r-1)L-m]g[m]$，

每まい一小段作卷積則是採用方法2，先さき將しょう時じ域いき信號しんごう轉うたて到いた頻しき域いき相乘そうじょう，再さい轉回てんかい時じ域いき：

$y[n]=IDFT(\sum _{r=1}^{S}\sum _{m=0}^{M-1}DFT_{P}(f_{r}[n+(r-1)L-m])DFT_{P}(g[m])),P\geq M+L-1$。

• 總そう共きょう只ただ需要じゅよう做$P$點てんFFT $2S+1$次つぎ，因よし為ため$g[n]$只ただ需要じゅよう做一いち次じFFT。

• 假設かせつ$P$點てんDFT的てき乘法じょうほう量りょう為ため$a$，$f[n]$和わ$g[n]$為ため一般いっぱん性せい的てき複數ふくすう信號しんごう，並なみ使用しよう複數ふくすう乘法じょうほう的てき快速かいそく演算えんざん法ほう，則のり共ども需要じゅよう$(2S+1)a+3SP$個こ乘法じょうほう。

• 運算うんざん量りょう：${\frac {N}{L}}3(L+M-1)[\log _{2}(L+M-1)+1]$

• 運算うんざん複雜ふくざつ度ど：$O(N)$，和わ$N$呈てい線せん性せい，較方法ほう2小しょう。
• 分ぶん為ため Overlap-Add 和わ Overlap-Save 兩りょう種たね方法ほうほう。

分段ぶんだん卷まき積つもる: Overlap-Add

欲よく做$x[n]*h[n]$的てき分段ぶんだん卷まき積分せきぶん，$x[n]$ 長なが度たび為ため $N$，$h[n]$ 長なが度たび為ため $M$,

Step 1: 將しょう$x[n]$每まい $L$ 分ぶん成なり一いち段だん

Step 2: 再さい每まい段だん $L$ 點てん後ご面めん添加てんか $M-1$ 個こ零れい，變成へんせい長ちょう度たび $L+M-1$

Step 3: 把わ $h[n]$ 添加てんか $L-1$個こ零れい，變成へんせい長ちょう度たび $L+M-1$的てき $h'[n]$

Step 4: 把わ每ごと個こ $x[n]$ 的てき小しょう段だん和わ $h'[n]$ 做快速そく卷まき積つもる，也就是ぜ$IDFT_{L+M-1}\{{DFT_{L+M-1}(x[n])DFT_{L+M-1}(h'[n])}\}$，每まい小しょう段だん會得えとく到いた長なが度たび $L+M-1$ 的てき時じ域いき訊號

Step 5: 放置ほうち第だい $i$ 個こ小しょう段だん的てき起おこり點在てんざい位置いち $L\times i$ 上うえ, $i=0,1,...,\lceil {\frac {N}{L}}\rceil -1$

Step 6: 會かい發現はつげん在ざい每まい一段いちだん的てき後ご面めん $M-1$ 點てん有ゆう重疊ちょうじょう，將はた所有しょゆう點てん都と相しょう加か起おこり來らい，顧名思おもえ義よし Overlap-Add，最後さいご得え到いた結果けっか

舉例來らい說せつ:

$x[n]=[1,2,3,4,5,-1,-2,-3,-4,-5,1,2,3,4,5]$, 長なが度たび $N=15$

$h[n]=[1,2,3]$, 長なが度たび $M=3$

令れい $L=5$

• 
  x[n]和わh[n]

令れい $L=5$ 切きり成なり三さん段だん，分別ふんべつ為ため $x_{0}[n],x_{1}[n],x_{2}[n]$, 每まい段だん填はま $M-1$ 個こ零れい，並なみ將しょう $h[n]$ 填はま零れい至いたり長ちょう度たび $L+M-1$

• 
  分段ぶんだんx[n]

將はた每まい一いち段だん做$IDFT_{L+M-1}\{{DFT_{L+M-1}(x[n])DFT_{L+M-1}(h'[n])}\}$

• 
  分段ぶんだん運算うんざん結果けっか

若わか將しょう每ごと小しょう段だん擺在一いち起おこり，可か以注意ちゅうい到いた第だい一段いちだん的てき範圍はんい是ぜ $0\thicksim 6$ ，第だい二に段だん的てき範圍はんい是ぜ $5\thicksim 11$，第だい三さん段だん的てき範圍はんい是ぜ $10\thicksim 16$，三段的範圍是有重疊的

• 
  合併がっぺい分段ぶんだん運算うんざん結果けっか

最後さいご將しょう三小段加在一起，並なみ將はた結果けっか和わ未み分段ぶんだん的てき卷まき積つもる做比較ひかく，上うえ圖ず是ぜ分段ぶんだん的てき結果けっか，下圖したず是ぜ沒ぼつ有ゆう分段ぶんだん並なみ利用りよう快速かいそく卷まき積つもる所しょ算出さんしゅつ的てき結果けっか，驗けん證しょう兩者りょうしゃ運算うんざん結果けっか相しょう同どう。

• 
  結果けっか比較ひかく圖ず

分段ぶんだん卷まき積つもる: Overlap-Save

欲よく做$x[n]*h[n]$的てき分段ぶんだん卷まき積分せきぶん，$x[n]$ 長なが度たび為ため $N$，$h[n]$ 長なが度たび為ため $M$,

Step 1: 將しょう $x[n]$ 前面ぜんめん填はま $M-1$ 個こ零れい

Step 2: 第だい一いち段だん $i=0$, 從したがえ新しん的てき $x[n]$ 中なか $L\times i-(M-1)\times i$ 取と到いた $L\times (i+1)-(M-1)\times i-1$ 總そう共とも $L$ 點てん當とう做一いち段だん，因いん此每小しょう段だん會かい重複じゅうふく取と到いた前ぜん一いち小しょう段だん的てき $M-1$ 點てん，取と到いた新しん的てき一段いちだん全ぜん為ため零れい為ため止とめ

Step 3: 把わ $h[n]$ 添加てんか $L-M$ 個こ零れい，變成へんせい長ちょう度たび $L$ 的てき $h'[n]$

Step 4: 把わ每ごと個こ $x[n]$ 的てき小しょう段だん和わ $h'[n]$ 做快速そく卷まき積つもる，也就是ぜ$IDFT_{L}\{{DFT_{L}(x[n])DFT_{L}(h'[n])}\}$，每まい小しょう段だん會得えとく到いた長なが度たび $L$ 的てき時じ域いき訊號

Step 5: 對たい於每個こ $i$ 小しょう段だん，只ただ會かい保留ほりゅう末まつ端はし的てき $L-(M-1)$ 點てん，因いん此得名めい Overlap-Save

Step 6: 將はた所有しょゆう保留ほりゅう的てき點てん合ごう再さい一いち起おこり，得とく到いた最後さいご結果けっか

舉例來らい說せつ:

$x[n]=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]$, 長なが度たび $N=15$

$h[n]=[1,2,3]$, 長なが度たび $M=3$

令れい $L=7$

• 
  x[n]和わh[n]

將はた $x[n]$ 前面ぜんめん填はま $M-1$ 個こ零れい以後いご，按照 Step 2 的てき方式ほうしき分段ぶんだん，可か以看到いた每まい一段いちだん都と重複じゅうふく上じょう一段いちだん的てき $M-1$ 點てん

• 
  分段ぶんだんx[n]

再さい將しょう每ごと一いち段だん做 $IDFT_{L}\{{DFT_{L}(x[n])DFT_{L}(h'[n])}\}$以後いご可か以得到いた

• 
  分段ぶんだん運算うんざん結果けっか

保留ほりゅう每ごと一いち段だん末まつ端はし的てき $L-(M-1)$ 點てん，擺在一いち起おこり以後いご，可か以注意ちゅうい到いた第だい一段いちだん的てき範圍はんい是ぜ $0\thicksim 4$ ，第だい二に段だん的てき範圍はんい是ぜ $5\thicksim 9$，第だい三さん段だん的てき範圍はんい是ぜ $10\thicksim 14$，第だい四よん段だん的てき範圍はんい是ぜ $15\thicksim 16$，四段的範圍是沒有重疊的

• 
  合併がっぺい分段ぶんだん運算うんざん結果けっか

將はた結果けっか和わ未み分段ぶんだん的てき卷まき積つもる做比較ひかく，下圖したず是ぜ分段ぶんだん的てき結果けっか，上うえ圖ず是ぜ沒ぼつ有ゆう分段ぶんだん並なみ利用りよう快速かいそく卷まき積つもる所しょ算出さんしゅつ的てき結果けっか，驗けん證しょう兩者りょうしゃ運算うんざん結果けっか相しょう同どう。

• 
  結果けっか比較ひかく圖ず

至いたり於為什麼いんも要よう把わ前面ぜんめん $M-1$ 丟掉?

以下いか以一いち例れい子來こらい闡述:

$x[n]=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]$, 長なが度たび $L=10$，

$h[n]=[1,2,3,4,5]$, 長なが度たび $M=5$,

第だい一いち條じょう藍あい線せん代表だいひょう $y$ 軸じく，而兩條じょう藍あい線せん之の間あいだ代表だいひょう長ちょう度たび $L$，是ぜ在ざい做快速そく摺すり積せき時じ的てき週しゅう期き

• 
  x[n]和わh[n]

當とう在ざい做快速そく摺すり積せき時じ$IDFT_{L}\{{DFT_{L}(x[n])DFT_{L}(h'[n])}\}$，是これ把わ訊號視し為ため週しゅう期き $L$，在ざい時じ域いき上じょう為ため循環じゅんかん摺すり積分せきぶん,

而在一いち開始かいし前まえ $M-1$ 點てん所得しょとく到いた的てき值，是ぜ $h[0],h[6],h[7],h[8],h[9]$ 和わ $x[0],x[6],x[7],x[8],x[9]$ 內積的てき值，

然しか而 $h[6],h[7],h[8],h[9]$ 這 $M-1$ 個こ值應該要為ため零れい，以往いおう在ざい做快速そく摺すり積せき時長ときなが度ど為ため $L+M-1$ 時どき不ふ會かい遇ぐう到いた這些問題もんだい，

而今天てん因いん為ため在ざい做快速そく摺すり積せき時長ときなが度ど為ため $L$ 才ざい會かい把わ這 $M-1$ 點てん算ざん進しん來らい，因いん此我們要丟棄這 $M-1$ 點てん內積的てき結果けっか

• 
  循環じゅんかん摺すり積せき

為ため了りょう要よう丟棄這 $M-1$ 點てん內積的てき結果けっか，位い移うつり $h[-n]$ $M-1$ 點てん，並なみ把わ位い移うつり以後いご內積合あい的てき值才算ざん有效ゆうこう。

• 
  位い移うつり以後いご內積

應用おうよう時機じき

以上いじょう三種方法皆可用來計算卷積，其差別さべつ在ざい於所需總體そうたい乘法じょうほう量りょう不同ふどう。基もと於運算うんざん量りょう以及效率こうりつ的てき考量こうりょう，在ざい計算けいさん卷まき積つもる時じ，通常つうじょう會かい選擇せんたく所しょ需總體そうたい乘法じょうほう量りょう較少的てき方法ほうほう。

以下いか根據こんきょ$f[n]$和わ$g[n]$的まと長ちょう度ど（$N,M$）分ぶん成なり5類るい，並列へいれつ出で適合てきごう使用しよう的てき方法ほうほう：

1. $M$為ため一いち非常ひじょう小しょう的てき整數せいすう - 直接ちょくせつ計算けいさん
2. $M\ll N$ - 分段ぶんだん卷まき积
3. $M\approx N$ - 快速かいそく傅でん里さと叶かのう变换
4. $M\gg N$ - 分段ぶんだん卷まき积
5. $N$為ため一いち非常ひじょう小しょう的てき整數せいすう - 直接ちょくせつ計算けいさん

基本きほん上じょう，以上いじょう只ただ是ぜ粗略そりゃく的てき分類ぶんるい。在ざい實際じっさい應用おうよう時じ，最さい好こう還かえ是ぜ算出さんしゅつ三種方法所需的總乘法量，再さい選擇せんたく其中最さい有效ゆうこう率りつ的てき方法ほうほう來らい計算けいさん卷まき積せき。

例れい子こ

Q1：當とう$N=2000,M=17$，適合てきごう用よう哪種方法ほうほう計算けいさん卷まき積つもる?

Ans：

方法ほうほう1：所しょ需乘法量ほうりょう為ため$3MN=102000$

方法ほうほう2：$P\geq M+N-1=2016$，而2016點てん的てきDFT最少さいしょう乘法じょうほう數すう$a=12728$，所以ゆえん總そう乘法じょうほう量りょう為ため$3(a+P)=44232$

方法ほうほう3：

若わか切きり成なり8塊かたまり（$S=8$），則のり$L=250,P\geq M+L-1=266$。選せん$P=288$，則のり總そう乘法じょうほう量りょう為ため$(2S+1)a+3SP=26632$，比ひ方法ほうほう1和わ2少しょう了りょう很多。

但ただし是ぜ若わか要よう找到最少さいしょう的てき乘法じょうほう量りょう，必須ひっす依よ照あきら以下いか步ふ驟

(1)先さき找出$L$:解かい$L$ : ${\frac {\partial {{\frac {N}{L}}3(L+M-1)[\log _{2}(L+M-1)+1]}}{\partial L}}=0$

(2)由ゆかり$P\geq L+M-1$算出さんしゅつ點數てんすう在ざい$P$附近ふきん的てきDFT所しょ需最少さいしょう的てき乘法じょうほう量りょう，選擇せんたくDFT的てき點數てんすう

(3)最後さいご由ゆかり$L=P+1-M$算出さんしゅつ$L_{opt}$

因いん此，

(1)由よし運算うんざん量りょう對たい$L$的てき偏へん微分びぶん為ため0而求出で$L=85$

(2)$P\geq L+M-1=101$，所以ゆえん選擇せんたく101點てんDFT附近ふきん點てん數すう乘じょう法量ほうりょう最少さいしょう的てき點數てんすう$P=96$或ある$P=120$。

(3-1)當とう$P=96\to a=280,L=P+1-M=80\to S=25$，總そう乘法じょうほう量りょう為ため$(2S+1)a+3SP=21480$。

(3-2)當とう$P=120\to a=380,L=P+1-M=104\to S=20$，總そう乘法じょうほう量りょう為ため$(2S+1)a+3SP=22780$。

由よし此可知かち，切きり成なり20塊かたまり會かい有ゆう較好的てき效率こうりつ，而所需總乘法じょうほう量りょう為ため21480。

• 因いん此，當とう$N=2000,M=17$，所しょ需總乘法じょうほう量りょう：分段ぶんだん卷まき積つもる<快速かいそく傅でん立葉たてば轉換てんかん<直接ちょくせつ計算けいさん。故こ，此時選擇せんたく使用しよう分段ぶんだん卷まき積つもる來らい計算けいさん卷まき積つもる最さい適合てきごう。

Q2：當とう$N=1024,M=3$，適合てきごう用よう哪種方法ほうほう計算けいさん卷まき積つもる?

Ans：

方法ほうほう1：所しょ需乘法量ほうりょう為ため$3MN=9216$

方法ほうほう2：$P\geq M+N-1=1026$，選擇せんたく1026點てんDFT附近ふきん點てん數すう乘じょう法量ほうりょう最少さいしょう的てき點數てんすう，$\to P=1152,a=7088$。

因いん此，所しょ需乘法量ほうりょう為ため$3(a+P)=24342$

方法ほうほう3：

(1)由よし運算うんざん量りょう對たい$L$的てき偏へん微分びぶん為ため0而求出で$L=5$

(2)$P\geq L+M-1=7$，所以ゆえん選擇せんたく7點てんDFT附近ふきん點てん數すう乘じょう法量ほうりょう最少さいしょう的てき點數てんすう$P=8$或ある$P=6$或ある$P=4$。

(3-1)當とう$P=8\to a=4,L=P+1-M=6\to S=171$，總そう乘法じょうほう量りょう為ため$(2S+1)a+3SP=5476$。

(3-2)當とう$P=6\to a=4,L=P+1-M=4\to S=256$，總そう乘法じょうほう量りょう為ため$(2S+1)a+3SP=6660$。

(3-3)當とう$P=4\to a=0,L=P+1-M=2\to S=512$，總そう乘法じょうほう量りょう為ため$(2S+1)a+3SP=6144$。

由よし此可知かち，切きり成なり171塊かたまり會かい有ゆう較好的てき效率こうりつ，而所需總乘法じょうほう量りょう為ため5476。

• 因いん此，當とう$N=1024,M=3$，所しょ需總乘法じょうほう量りょう：分段ぶんだん卷まき積つもる<直接ちょくせつ計算けいさん<快速かいそく傅でん立葉たてば轉換てんかん。故こ，此時選擇せんたく使用しよう分段ぶんだん卷まき積つもる來らい計算けいさん卷まき積つもる最さい適合てきごう。
• 雖然當とう$M$是これ個こ很小的てき正せい整數せいすう時じ，大だい致上適合てきごう使用しよう直接ちょくせつ計算けいさん。但ただし實際じっさい上じょう還かえ是ぜ將しょう3個こ方法ほうほう所しょ需的乘法じょうほう量りょう都と算出さんしゅつ來らい，才能さいのう知道ともみち用よう哪種方法ほうほう可か以達到いた最高さいこう的てき效率こうりつ。

Q3：當とう$N=1024,M=600$，適合てきごう用よう哪種方法ほうほう計算けいさん卷まき積つもる?

Ans：

方法ほうほう1：所しょ需乘法量ほうりょう為ため$3MN=1843200$

方法ほうほう2：$P\geq M+N-1=1623$，選擇せんたく1026點てんDFT附近ふきん點てん數すう乘じょう法量ほうりょう最少さいしょう的てき點數てんすう，$\to P=2016,a=12728$。

因いん此，所しょ需乘法量ほうりょう為ため$3(a+P)=44232$

方法ほうほう3：

(1)由よし運算うんざん量りょう對たい$L$的てき偏へん微分びぶん為ため0而求出で$L=1024$

(2)$P\geq L+M-1=1623$，所以ゆえん選擇せんたく1623點てんDFT附近ふきん點てん數すう乘じょう法量ほうりょう最少さいしょう的てき點數てんすう$P=2016$。

(3)當とう$P=2016\to a=12728,L=P+1-M=1417\to S=1$，總そう乘法じょうほう量りょう為ため$(2S+1)a+3SP=44232$。

由よし此可知かち，此時切きり成なり一いち段だん，就跟方法ほうほう2一いち樣よう，所しょ需總乘法じょうほう量りょう為ため44232。

• 因いん此，當とう$N=1024,M=600$，所しょ需總乘法じょうほう量りょう：快速かいそく傅でん立葉たてば轉換てんかん = 分段ぶんだん卷まき積つもる<直接ちょくせつ計算けいさん。故こ，此時選擇せんたく使用しよう分段ぶんだん卷まき積つもる來らい計算けいさん卷まき積つもる最さい適合てきごう。

应用

高こう斯模糊もこ可か被ひ用もちい来らい从半はん色いろ调印刷いんさつ品ひん复原出光いでみつ滑すべり灰はい度ど数字すうじ图像。

卷まき积在科学かがく、工程こうてい和わ数学すうがく上うえ都と有ゆう很多应用：

• 代数だいすう中なか，整数せいすう乘法じょうほう和わ多た项式乘法じょうほう都と是ぜ卷まき积。
• 卷まき积神经网络应用了りょう多重たじゅう级联的てき卷まき积核心かくしん，它被用よう于机つくえ器き视觉和わ人工じんこう智能ちのう，尽つき管かん在ざい多数たすう情じょう况下实际上うえ用よう的てき是ぜ互相关而非卷まき积。
• 在ざい非ひ人工じんこう智能ちのう的てき图像处理中なか，用作ようさく图像模糊もこ、锐化、边缘检测。
• 统计学がく中なか，加か权的滑すべり动平均へいきん是ぜ一いち种卷积。
• 概がい率りつ论中なか，两个统计独立どくりつ变量X与あずかY的てき和わ的てき概がい率りつ密度みつど函数かんすう是ぜX与あずかY的てき概がい率りつ密度みつど函数かんすう的てき卷まき积。
• 声こえ学がく中なか，回かい声ごえ可か以用源げん声ごえ与あずか一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
• 电子工程こうてい与あずか信号しんごう处理中なか，任にん一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系けい统的冲激响应）做卷积获得とく。
• 物理ぶつり学がく中なか，任にん何なん一个线性系统（符合ふごう叠加原理げんり）都と存在そんざい卷まき积。

参まいり见

• 反はん卷まき积
• 自じ相あい关函数すう
• 傅でん里さと叶かのう变换

延伸えんしん阅读

• Bracewell, R., The Fourier Transform and Its Applications 2nd, McGraw–Hill, 1986, ISBN 0-07-116043-4 .
• Damelin, S.; Miller, W., The Mathematics of Signal Processing, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-1107601048 
• Diggle, P. J., A kernel method for smoothing point process data, Journal of the Royal Statistical Society, Series C, 1985, 34 (2): 138–147, JSTOR 2347366, S2CID 116746157, doi:10.2307/2347366 
• Dominguez-Torres, Alejandro (Nov 2, 2010). "Origin and history of convolution". 41 pgs. http://www.slideshare.net/Alexdfar/origin-adn-history-of-convolution （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）. Cranfield, Bedford MK43 OAL, UK. Retrieved Mar 13, 2013.
• Ghasemi, S. Hooman; Nowak, Andrzej S., Reliability Index for Non-normal Distributions of Limit State Functions, Structural Engineering and Mechanics, 2017, 62 (3): 365–372, doi:10.12989/sem.2017.62.3.365 
• Grinshpan, A. Z., An inequality for multiple convolutions with respect to Dirichlet probability measure, Advances in Applied Mathematics, 2017, 82 (1): 102–119, doi:10.1016/j.aam.2016.08.001  
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A., Abstract harmonic analysis. Vol. I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 115 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1979, ISBN 978-3-540-09434-0, MR 0551496 .
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A., Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1970, MR 0262773 .
• Hörmander, L., The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft. 256, Springer, 1983, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035, doi:10.1007/978-3-642-96750-4 .
• Kassel, Christian, Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics 155, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 978-0-387-94370-1, MR 1321145, doi:10.1007/978-1-4612-0783-2  含有がんゆう內容需登入にゅう查看的てき頁ぺーじ面めん (link).
• Knuth, Donald, Seminumerical Algorithms 3rd., Reading, Massachusetts: Addison–Wesley, 1997, ISBN 0-201-89684-2 .
• Template:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness, New York-London: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers: xv+361, 1975, ISBN 0-12-585002-6, MR 0493420 
• Rudin, Walter, Fourier analysis on groups, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics 12, New York–London: Interscience Publishers, 1962, ISBN 0-471-52364-X, MR 0152834 .
• Template:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971, ISBN 0-691-08078-X  含有がんゆう內容需登入にゅう查看的てき頁ぺーじ面めん (link).
• Sobolev, V.I., Convolution of functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Strichartz, R., A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, 1994, ISBN 0-8493-8273-4 .
• Titchmarsh, E, Introduction to the theory of Fourier integrals 2nd, New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co., 19481986, ISBN 978-0-8284-0324-5 .
• Template:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Uludag, A. M., On possible deterioration of smoothness under the operation of convolution, J. Math. Anal. Appl., 1998, 227 (2): 335–358, doi:10.1006/jmaa.1998.6091  
• von zur Gathen, J.; Gerhard, J ., Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-82646-2 .
• Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. Discrete-time signal processing 2nd. Upper Saddle River,N.J.: Prentice Hall. 1999: 548, 571. ISBN 0-13-754920-2.  含有がんゆう內容需登入にゅう查看的てき頁ぺーじ面めん (link)
• McGillem, Clare D.; Cooper, George R. Continuous and Discrete Signal and System Analysis 2. Holt, Rinehart and Winston. 1984. ISBN 0-03-061703-0. 

外部がいぶ链接

• Earliest Uses: The entry on Convolution has some historical information. （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Convolution, on The Data Analysis BriefBook
• http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Visual convolution Java Applet
• http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Visual convolution Java Applet for discrete-time functions
• https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution discret-convolution online calculator
• https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Convolution demo and visualization in javascript
• https://phiresky.github.io/convolution-demo/ （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Another convolution demo in javascript
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 7 is on 2-D convolution., by Alan Peters
• * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
• Convolution Kernel Mask Operation Interactive tutorial （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Convolution （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） at MathWorld
• Freeverb3 Impulse Response Processor （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）: Opensource zero latency impulse response processor with VST plugins
• Stanford University CS 178 interactive Flash demo （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） showing how spatial convolution works.
• A video lecture on the subject of convolution （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） given by Salman Khan
• Example of FFT convolution for pattern-recognition (image processing) （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Intuitive Guide to Convolution （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） A blogpost about an intuitive interpretation of convolution.