線せん性せい關係かんけい

在ざい现代学がく术界中ちゅう，線せん性せい關係かんけい一いち詞し存在そんざい2种不同ふどう的てき含义。其一，若わか某ぼう數學すうがく函數かんすう或ある数量すうりょう关系的てき函数かんすう图形呈てい現げん為ため一條直線或線段，那な么这种关系けい就是一いち种線せん性せい的てき關係かんけい。其二そのじ，在ざい代数だいすう学がく和わ数学すうがく分析ぶんせき学がく中ちゅう，如果一种运算同时满足特定的“加か性せい”和かず“齐性”，则称这种运算是ぜ线性的てき。

定てい义

如果稱しょう一いち個こ数学すうがく函數かんすう$L(x)$為ため線せん性的せいてき，可か以是指ゆび：

• 定てい义1：$L(x)$是これ個こ只ただ擁よう有ゆう一いち個こ變數へんすう的てき一いち階かい多項式たこうしき函數かんすう，即そく是ぜ可か以表示ひょうじ為ため$L(x)=kx+b$ 的形まとがた式しき（其中$k,b$為ため常数じょうすう）。
• 定てい义2：$L(x)$具有ぐゆう以下いか兩個りゃんこ性質せいしつ：
  • 可か加か性せい：$L(x+t)=L(x)+L(t)$
  • 一いち次じ齊ひとし次つぎ性せい：$L(mx)=mL(x)$

需要じゅよう注意ちゅうい这2种定义分别描述じゅつ的てき是ぜ2类不同ふどう的てき事物じぶつ。研究けんきゅう高等こうとう数学すうがく的てき数学すうがく家か一般只认定义2（有ゆう例外れいがい，如高等こうとう数学すうがく“线性回かい归”理り论中“线性函数かんすう”概念的がいねんてき定てい义），但ただし初等しょとう数学すうがく和わ许多非ひ数学すうがく学科がっか的てき书籍会かい习惯把わ定じょう义1当とう作さく线性关系的てき概念がいねん（有ゆう的てき没ぼつ有明ありあけ确给出で定てい义，但ただし确是如此理解りかい和わ使用しよう的てき）。这种术语间的细微差さ异如果はて不注意ふちゅうい的てき话，就容易ようい引起混淆こんこう。

定てい义1的てき定てい义动机つくえ是これ把わ函数かんすう图像为直线的数量すうりょう关系称しょう作さく线性的てき关系。从这种几何なん意い义出发，定てい义1本来ほんらい不ふ具有ぐゆう对多元もと函数かんすう进行推广的てき必要ひつよう，因いん为形如$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=k_{1}*x_{1}+k_{2}*x_{2}+...+k_{n}*x_{n}+b$的てき函数かんすう（其中各かく个$k_{i}$和わ$b$均ひとし為ため常数じょうすう）的てき图形根本こんぽん不ふ是ぜ直ちょく线，而是平面へいめん或ある超ちょう平面へいめん，因いん此也就谈不ふ上うえ“线”性せい了りょう。但ただし还是有ゆう这种做法出で现，如有“多元たげん线性方かた程ほど组”的てき叫さけべ法ほう（叫さけべ“多元たげん超ちょう平面へいめん方かた程ほど组”可能かのう更さら合あい适）。

但ただし是ぜ，如果只ただ考慮こうりょ二に維實數すう平面へいめん，則定のりさだ義よし1可か藉由坐すわ標しるべ移うつり軸じく之の後こう而符合ふごう定義ていぎ2的てき型式けいしき。故こ要よう視し定義ていぎ1.為ため線せん性せい，實質じっしつ上じょう需要じゅよう嚴格げんかく的てき限きり制せい條件じょうけん，或ある者もの說せつ，定義ていぎ1其實是ぜ由よし定義ていぎ2在ざい受到某ぼう些條件じょうけん限げん制せい下か所產しょさん生せい的てき變化へんか形式けいしき。

例れい子こ

• 按照定てい义1，一次函数描述的都是不同变量间的线性的数量关系。而高次じ函数かんすう描述的てき都と不ふ是ぜ线性的てき数量すうりょう关系。比ひ如$y_{1}=3x$，$y_{2}={\frac {1}{3}}x$和わ$y_{3}=3x+1$都と属ぞく于这种意义下的てき线性函数かんすう，但ただし$y_{4}=x^{2}$，$y_{5}=x+z$，$y_{6}=x+z+2$和わ$y_{7}=xz$则不是ぜ。（如果将はた这种意い义下的てき“线性”概念がいねん推广到多元たげん函数かんすう，则$y_{6}$也能算さん。事こと实上，“多元たげん线性回かい归”中ちゅう的てき“线性”指ゆび的てき就是这种线性。）
• 而按照あきら定てい义2，若わか以一いち元げん函数かんすう为例，则截距为0的てき一いち次じ函数かんすう（即そく正比例せいひれい函数かんすう）属ぞく于线性せい函数かんすう，但ただし截距不ふ为0的てき一次函数不属于线性函数。又また如$y_{1}=3x$，$y_{2}={\frac {1}{3}}x$和わ$y_{5}=x+z$都と属ぞく于这种意义下的てき线性函数かんすう，但ただし$y_{3}=3x+1$，$y_{4}=x^{2}$，$y_{6}=x+z+2$和わ$y_{7}=xz$都と不ふ是ぜ。

數學すうがく

参まいり见：線せん性せい函數かんすう

在ざい初等しょとう数学すうがく中なか（主要しゅよう是ぜ与あずか方かた程ほど组及一いち次じ函数かんすう有ゆう关的理り论），使用しよう的てき是ぜ定てい义1。

但ただし在ざい高等こうとう数学すうがく（尤ゆう其是纯数学がく）中ちゅう所しょ说的线性一般是用定义2来らい给出定てい义。如对线性相しょう关和わ线性变换的てき定てい义。但ただし初等しょとう数学すうがく中有ちゅうう关“线性”的てき一些习惯术语也然在高等数学沿用，如线性回かい归。

物理ぶつり

在ざい物理ぶつり学がく中ちゅう，线性的てき2种含义都有ゆう出で现。“线性”如果是ぜ源げん于形容けいよう图像的てき形状けいじょう，则其含义按定义1理解りかい。比ひ如线性元もと件けん的てき概念がいねん。一般在需要作图的实验物理ぶつり学がく中ちゅう会かい经常遇ぐう到いた这种含义，尤ゆう其是中学ちゅうがく物理ぶつり。“线性”如果是ぜ涉わたる及数学がく分析ぶんせき学がく（比ひ如说高等こうとう线性代数だいすう（即そく线性泛函分析ぶんせき）或ある微分びぶん方かた程ほど理り论）的てき概念がいねん，则其含义按定义2理解りかい。一般在用到较多高深数学的理り论物理学りがく中ちゅう会かい经常遇ぐう到いた这种含义。

应用

直ちょく线的图像容易ようい分ぶん辨べん。斜はす率りつ和わ截距通常つうじょう也是变量的てき函数かんすう，通つう过测定てい斜はす率りつ和わ截距，可か以推知すいち一些主要变量的数值。对于某ぼう些非直ちょく线的函数かんすう关系，比ひ如$y=k*x^{2}$（假定かてい$k$是ぜ未み知的ちてき常つね系けい数すう），如果要よう验证实验所得しょとく的てき数すう据すえ是ぜ否ひ符合ふごう该非线性关系式しき，直接ちょくせつ描点连线作さく图是难以直ちょく观地判断はんだん出で数すう据すえ与あずか假かり设关系けい式しき的てき接近せっきん程度ていど的てき（画が出来でき是ぜ个抛物ぶつ线）。这时可か以尝试使用しよう变量替がえ换的方法ほうほう，把わ非ひ线性关系转换为线性せい关系，从而便びん于作图，也便于判断はんだん。对等式しき两边同どう时取对数可か得とく$\log {y}=\log {(k*x^{2})}\rightarrow \log {y}=\log {k}+2*\log {x}$，作さく代だい换$y_{1}=\log {y},x_{1}=\log {x},b=\log {k}$，则可得とく$y_{1}=b+2*x_{1}$。这时再さい作さく图，就容易ようい看み出で数すう据すえ和わ假かり设模型がた的てき偏へん离程度ていど，还可以根据すえ截距b估算出さんしゅつ参さん数すうk的てき数すう值。这种将はた非ひ线性关系转换为线性せい关系后きさき再さい作さく图的方法ほうほう只ただ适用于少数すう函数かんすう，但ただし因よし为作图的结果一いち目もく了りょう然しか，所以ゆえん是ぜ一种重要的数据处理方法。

另見

• 非ひ線せん性せい關係かんけい

脚注きゃくちゅう与あずか参考さんこう资料

脚注きゃくちゅう所しょ引资料りょう

• 杜もり杰, 刘启华. 非ひ线性科学かがく的てき回かい顾. 南京なんきん工こう业大学がく学がく报 (中国ちゅうごく社会しゃかい科学かがく院いん官かん方かた网站). 2004年ねん, (02期き). （原始げんし内容ないよう存そん档于2016-08-09） （中ちゅう文ぶん（中国ちゅうごく大だい陆））. 所ところ谓线性せい，是ぜ指ゆび量りょう与あずか量りょう之の间的关系用よう直角ちょっかく坐すわ标系形象けいしょう地ち表示ひょうじ出来でき时是一条いちじょう直ただし线。在ざい数学すうがく上じょう，主要しゅよう通どおり过对算さん子こ的てき描述来らい讨论系けい统的线性与あずか否いな... 线性系けい统中部分ぶぶん之の和かず等ひとし于整体せいたい，描述线性系けい统的方かた程ほど遵从叠加原理げんり，即そく方かた程ほど的てき不同ふどう解かい加か起おこり来らい仍然是ぜ方かた程ほど的てき解かい。 
• 梁りょう灿彬, 秦はた光ひかり戎えびす, 梁はり竹ちく健けん. 电磁学がく. 普通ふつう物理ぶつり学がく教程きょうてい 第だい2版はん. 高等こうとう教育きょういく出版しゅっぱん社しゃ. 2004. ISBN 7-04-013840-9 （中ちゅう文ぶん（中国ちゅうごく大だい陆））. 
• 赵凯华, 陈熙谋. 电磁学がく. 新しん概念がいねん物理ぶつり教程きょうてい 第だい1版はん. 高等こうとう教育きょういく出版しゅっぱん社しゃ. 2003. ISBN 7-04-011693-6 （中ちゅう文ぶん（中国ちゅうごく大だい陆））.