旅行りょこう推销员问题

  「TSP」重定しげさだ向むかい至いたる此。关于其他用法ようほう，请见「TSP (消しょう歧义)」。

旅行りょこう商しょう问题（英語えいご：Travelling salesman problem，縮寫しゅくしゃ：TSP）是これ组合优化中なか的てき一いち个NP困こま难问题，在ざい运筹学がく和わ理り论计算さん机つくえ科学かがく中ちゅう非常ひじょう重要じゅうよう。问题内容ないよう为“给定一系列城市和每對城市之间的距离，求もとめ解かい访问每ごと座ざ城市じょうし一次并回到起始城市的最短回路。”

旅行りょこう商しょう问题的てき解かい

TSP是ぜ旅行りょこう购买者しゃ问题与あずか车辆路ろ径みち问题的てき一种特殊情况。

作さく为计算复杂性せい理り论中ちゅう一个典型的判定性问题，TSP的てき一个版本是给定一个图和长度 L，要求ようきゅう回答かいとう图中是ぜ否ひ存在そんざい比ひ L 短たん的てき回路かいろ（英えい语：circuit或あるtour）。该问题被划分为NP完全かんぜん问题。已やめ知ちTSP算法さんぽう最さい坏情况下的てき时间复杂度ど随ずい着ぎ城市じょうし数量すうりょう的てき增ぞう多た而成超ちょう多た项式（可能かのう是ぜ指数しすう）级别增ぞう长。

问题在ざい1930年ねん首くび次じ被ひ形式けいしき化か，為ため最さい佳けい化か中ちゅう被ひ研究けんきゅう得とく最さい深入ふかいり的てき问题之の一いち，许多优化方法ほうほう都と奉たてまつ其为基もと准じゅん。尽つき管かん问题在ざい计算上じょう很困难，但ただし已やめ经有了りょう大量たいりょう的てき启发式しき和かず精きよし确方法ほう，因いん此可以完全ぜん求もとめ解かい城市じょうし数量すうりょう上じょう万まん的てき实例，并且甚至能のう在ざい误差1%范围内ない估计上じょう百ひゃく万个城市的问题。

甚至纯粹形式けいしき的てきTSP都と有ゆう若干じゃっかん应用，如企くわだて划、物流ぶつりゅう、芯しん片へん制せい造づくり。稍やや作さく修おさむ改あらため，就是DNA测序等とう许多领域的てき一いち个子问题。在ざい这些应用中ちゅう，“城市じょうし”的てき概念がいねん用よう来らい表示ひょうじ客きゃく户、焊接点てん或あるDNA片へん段だん，而“距离”的てき概念がいねん表示ひょうじ旅行りょこう时间或ある成本なりもと或あるDNA片へん段之だんし间的相似そうじ性せい度量どりょう。TSP还被應用おうよう在天ざいてん文学ぶんがく中ちゅう，减少在ざい不同ふどう光源こうげん之の间转动望远镜的てき时间。在ざい许多应用場景じょうけい中ちゅう（如资源げん或ある时间窗まど口こう有限ゆうげん等とう等とう），可能かのう会かい需要じゅよう加入かにゅう额外的てき约束條件じょうけん。

描述

作さく为图论问题

四个城市的对称旅行商问题

可か以用无向加か权图来らい对TSP建けん模も，则城市し是ぜ图的顶点，道路どうろ是ぜ图的边，道路どうろ的てき距离就是该边的てき长度。它是起点きてん和わ终点都と在ざい一いち个特定とくてい顶点，访问每ごと个顶点てん恰好かっこう一いち次じ的てき最小さいしょう化か问题。通常つうじょう，该模型がた是ぜ一いち个完全かんぜん圖ず（即そく每まい对顶点てん由よし一いち条じょう边连接せっ）。如果两个城市じょうし之の间不存在そんざい路ろ径みち，則のり增加ぞうか一条非常长的边就可以完成图，而不影かげ响计算さん最さい优回路ろ。

非ひ对称和わ对称

在ざい对称TSP问题中なか，两座城市じょうし之の间来回かい的てき距离是ぜ相等そうとう的てき，形成けいせい一いち个无向图。这种对称性せい将はた解かい的てき数量すうりょう减少了りょう一半いっぱん。在ざい非ひ对称TSP问题中なか，可能かのう不ふ是ぜ双そう向むこう的てき路ろ径みち都と存在そんざい，或ある是ぜ来らい回かい的てき距离不同ふどう，形成けいせい了りょう有向ゆうこう图。交通こうつう事故じこ、单行道どう和かず出いずる发与到いた达某些城市し机つくえ票ひょう价格不ふ同等どうとう都と是ぜ打破だは这种对称性せい的てき例れい子こ。

相あい关问题

• 图论中なか的てき一个等价形式是：给定一いち个加か权完全ぜん图（顶点表示ひょうじ城市じょうし，边表示ひょうじ道路どうろ，权重就会是ぜ道路どうろ的てき成本なりもと或ある距离）, 求もとめ一いち权值最小さいしょう的てき哈密尔顿回路かいろ。

• 返かえし回かい到いた起おこり始はじめ城市じょうし的てき要求ようきゅう不ふ会かい改あらため变问题的计算复杂度ど，见哈密頓ひたぶる路ろ徑みち問題もんだい。

• 另一个相关问题是瓶びん颈旅行商ぎょうしょう问题（bottleneck TSP）：求もとむ加か权图中ちゅう权重最大さいだい的てき边最小さいしょう的てき哈密尔顿回路かいろ。问题在ざい运输和物あえもの流りゅう之の外そで都と有ゆう相当そうとう广泛的てき实际意い义。一个典型的例子是在印刷いんさつ电路板ばん制せい造づくり中ちゅう：规划打だ孔あな机つくえ在ざいPCB版ばん上じょう钻孔的てき路ろ线。在ざい机つくえ械加工かこう或ある钻孔应用中ちゅう，“城市じょうし”是ぜ需要じゅよう加工かこう的てき部分ぶぶん或ある需要じゅよう钻的（不同ふどう大小だいしょう）的てき孔あな，而“旅行りょこう成本なりもと”包括ほうかつ更さら换机具ぐ所用しょよう的てき时间（单机作さく业排序じょ问题）。

• 旅行りょこう推銷員いん问题，处理“国家こっか”中有ちゅうう（一个或多个）“城市じょうし”，而旅行商ぎょうしょう需要じゅよう在ざい每まい个“国家こっか”访问恰好かっこう一座いちざ“城市じょうし”。其中一种应用是在求解裁切たちき问题时，想そう要よう最小さいしょう化か刀かたな具ぐ改あらため变次数すう中ちゅう。另一种应用よう与あずか半はん导体制せい造づくり业中的てき打だ孔あな有ゆう关，见美國びくに專せん利り第だい7,054,798号ごう。令れい人じん惊喜的てき是ぜ，Behzad与あずかModarres证明了りょう广义旅行りょこう商しょう问题可か以转化か为相同どう城市じょうし数量すうりょう的てき标准旅行りょこう商しょう问题 ，只ただ是ぜ要よう改あらため变距离矩のり阵。

• 优先顺序旅行りょこう推销员问题处理り城市じょうし之の间存在そんざい访问次序じじょ的てき问题。

• 旅行りょこう购买者しゃ问题涉わたる及购买一系列产品的购买者。他た可か以在若干じゃっかん城市じょうし购买这些产品，但ただし价格会かい有ゆう不同ふどう，也不是ぜ所有しょゆう城市じょうし都と有ゆう售相同どう的てき商品しょうひん。目め标是在ざい城市じょうし的てき子こ集中しゅうちゅう间找到一いち条じょう路ろ径みち，使つかい得とく总成本ほん（旅行りょこう成本なりもと + 购买成本なりもと）最小さいしょう，并且能のう够买到所有しょゆう需求的てき商品しょうひん。

整数せいすう线性规划形式けいしき

单钻头的运动可か以看成なり是ぜ典型てんけい的てきTSP问题。TSP可か以用整数せいすう线性规划来らい形式けいしき化か。 用よう数字すうじ 0, ..., n 标记这些城市じょうし（打だ孔あな位置いち），并定义：

$x_{ij}={\begin{cases}1&{\text{the path goes from city }}i{\text{ to city }}j\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

对于 i = 0, ..., n，令れい $u_{i}$ 为一人工じんこう变量，最さい后きさき把わ $c_{ij}$ 作さく为从城市じょうし i 到いた j 的てき距离。那な么TSP可か以写成なり下面かめん的てき整数せいすう线性规划问题：

${\begin{aligned}\min &\sum _{i=0}^{n}\sum _{j\neq i,j=0}^{n}c_{ij}x_{ij}&&\\&0\leq x_{ij}\leq 1&&i,j=0,\cdots ,n\\&u_{i}\in \mathbf {Z} &&i=0,\cdots ,n\\&\sum _{i=0,i\neq j}^{n}x_{ij}=1&&j=0,\cdots ,n\\&\sum _{j=0,j\neq i}^{n}x_{ij}=1&&i=0,\cdots ,n\\&u_{i}-u_{j}+nx_{ij}\leq n-1&&1\leq i\neq j\leq n\end{aligned}}$

第だい一组等式要求每个城市都能另一个城市前来，而第二组等式要求每个城市都能出发。最さい后きさき的てき约束迫はさま使し覆くつがえ盖所有城あるき市し的てき路ろ径みち只ただ有ゆう一いち条じょう，而不是ぜ两条或ある者もの多た条じょう分散ぶんさん的てき路ろ径みち在ざい一起覆盖的。要よう证明这一いち点てん，下面かめん会かい去さ证 (1)每まい个可行ぎょう解かい包含ほうがん只ただ有ゆう一条封闭城市序列，以及(2)对于每ごと条じょう覆くつがえ盖所有城あるき市し的てき单独路ろ径みち，虚きょ拟变量りょう $u_{i}$ 有ゆう值可以满足あし限げん制式せいしき。

证明可か行ぎょう解かい中ちゅう的てき每まい个子回路かいろ经过0号ごう城市じょうし（注意ちゅうい到いた等式とうしき保ほ证了只ただ有ゆう一条这样的路径），就能证明所有しょゆう可か行ぎょう解かい只ただ包含ほうがん一个封闭城市序列。对于若わか我わが们对所有しょゆう $x_{ij}=1$ 对应的てき不等式ふとうしき求もとめ和わ的てき话，对 k 步ふ不ふ经过0号ごう城市じょうし的てき任にん何なん子し回路かいろ，我わが们得到いた：

$nk\leq (n-1)k,$

这构成なり矛盾むじゅん。

必须证明对每个覆盖所有城あるき市し的てき单独回路かいろ，虚きょ拟变量りょう $u_{i}$ 有ゆう值可以满足あし约束。

为了不ふ失しつ一般いっぱん性せい，定てい义起始点してん为0号ごう城市じょうし。如果在ざい第だい t 步ふ访问城市じょうし i 后きさき (i, t = 1, 2, ..., n) 选取 $u_{i}=t$。则

$u_{i}-u_{j}\leq n-1,$

由よし于 $u_{i}$ 不ふ大だい于 n 而 $u_{j}$ 不ふ小しょう于1；因いん此，每まい当とう $x_{ij}=0$ 时满足あし约束。对于 $x_{ij}=1$，我わが们有：

$u_{i}-u_{j}+nx_{ij}=(t)-(t+1)+n=n-1,$

满足约束。

参まいり见

• 加か拿大旅行りょこう者しゃ问题
• 邮递员问题
• 柯尼斯堡七なな桥问题
• 车辆路ろ径みち问题

参考さんこう文献ぶんけん

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外部がいぶ链接

• Traveling Salesman Problem （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） at University of Waterloo
• TSPLIB at the University of Heidelberg
• Traveling Salesman Problem （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） by Jon McLoone at the Wolfram Demonstrations Project
• Traveling Salesman movie (on IMDB) （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• MAOS-TSP （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） JAVA TSP Solver