構造こうぞう性せい證明しょうめい

構造こうぞう性せい證明しょうめい（英語えいご：Constructive proof）是これ數學すうがく證明しょうめい方法ほうほう的てき一いち種しゅ，通過つうか直接ちょくせつ或ある間接かんせつ構造こうぞう出で具有ぐゆう命題めいだい所しょ要求ようきゅう的てき性質せいしつ的てき實例じつれい來らい完成かんせい證明しょうめい。與あずか構造こうぞう性せい證明しょうめい相對そうたい的てき概念がいねん是ぜ非ひ構造こうぞう性せい證明しょうめい。後者こうしゃ只ただ證明しょうめい滿足まんぞく命題めいだい要求ようきゅう的てき物體ぶったい存在そんざい，而不提供ていきょう具體ぐたい的てき實例じつれい或ある構造こうぞう這樣的てき實例じつれい的てき方法ほうほう。

構造こうぞう性せい證明しょうめい也可以指數學すうがく構成こうせい主義しゅぎ中ちゅう被ひ認可にんか的てき一いち種しゅ更さら強的ごうてき證明しょうめい。數學すうがく構成こうせい主義しゅぎ是ぜ數學すうがく哲學てつがく的てき一いち支ささえ，它認為ため要よう證明しょうめい一いち個こ對象たいしょう的てき存在そんざい，必須ひっす將はた其構造こうぞう出來でき。因よし此，他た們拒絕きょぜつ使用しよう如排中律はいちゅうりつ，無窮むきゅう公理こうり和わ選擇せんたく公理こうり這樣的てき公理こうり。同時どうじ也有やゆう一些用語和以往不同，例れい如或ある的てき語意ごい會かい比ひ基礎きそ數學すうがく中なか的てき更さら強きょう。

數學すうがく構成こうせい主義しゅぎ拒絕きょぜつ使用しよう反證はんしょう法ほう，然しか而爆ばく炸原理げんり在ざい一些數學構成主義的變體中是被接受的，包括ほうかつ直覺ちょっかく主義しゅぎ。

歷史れきし

直ちょく到いた十じゅう九きゅう世紀せいき結束けっそく，所有しょゆう的てき數學すうがく證明しょうめい使用しよう的てき還かえ是ぜ構造こうぞう性せい證明しょうめい。第だい一個使用非構造性方法的是格かく奧おく爾なんじ格かく·康かん托たく爾なんじ的てき無限むげん集合しゅうごう理論りろん，以及對たい實數じっすう的てき形式けいしき化か定義ていぎ.

初はつ次つぎ使用しよう非ひ構造こうぞう性せい證明しょうめい解決かいけつ之の前まえ的てき問題もんだい的てき例れい子こ，被ひ認みとめ為ため是ぜ希まれ爾しか伯はく特とく零れい點てん定理ていり和わ希まれ爾しか伯はく特とく基もと定理ていり。

例れい子こ

非ひ構造こうぞう性せい證明しょうめい

考慮こうりょ對たい質しつ數すう有無うむ窮きゅう個こ的てき證明しょうめい。歐おう幾里いくさと得とく的てき證明しょうめい本身ほんみ是ぜ構造こうぞう性せい的てき，不ふ過か有ゆう一種常用的方法來簡化歐幾里得的證明，它先假設かせつ質しつ數すう的てき數量すうりょう是ぜ有限ゆうげん的てき，那な麼必然ひつぜん會かい有ゆう一いち個こ最大さいだい的てき質しつ數すう，將はた它記為ためn。然しか後こう考慮こうりょn! + 1（n階かい乘じょう加か1），這個數字すうじ要よう麼本身ほんみ是ぜ質しつ數すう，要よう麼是合あい數すう且存在そんざい一いち個こ大だい於n的てき質しつ因子いんし，因いん為ため小しょう於等於n的てき質しつ數すう除じょ它都餘あまり1。通過つうか得とく出で和わ命題めいだい的てき假設かせつ矛盾むじゅん的てき結論けつろん，我わが們並不ふ需要じゅよう指出さしで一いち個こ確定かくてい的てき質しつ數すう，就可以證明しょうめい存在そんざい一いち個こ大だい於n的てき質しつ數すう。

再さい考慮こうりょ證明しょうめい這個命題めいだい：「存在そんざい無理むり數すう$a$和わ$b$，使つかい$a^{b}$是これ有理數ゆうりすう」。這個證明しょうめい可か以被構造こうぞう性せい地ち證明しょうめい，也可以被非ひ構造こうぞう性せい地ち證明しょうめい，我わが們將對比たいひ兩りょう種たね證明しょうめい方式ほうしき。

以下いか證明しょうめい是ぜ1953年ねん由ゆかりDov Jarden提出ていしゅつ的てき，最さい晚ばん從したがえ1970年ねん開始かいし被ひ用作ようさく非ひ構造こうぞう性せい證明しょうめい的てき經けい典例てんれい子こ：

CURIOSA
339. 對たい一個無理數的無理數次方可以是有理數的簡單證明
${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$要よう麼是有理數ゆうりすう，要よう麼是無理むり數すう。如果它是有理數ゆうりすう，那な麼我們的命題めいだい得とく證しょう。如果它是無理むり數すう，$({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=2$，我わが們的命題めいだい得とく證しょう。
     Dov Jarden     Jerusalem

更さら具體ぐたい地ち：

• 我わが們在先さき前まえ已やめ經けい知道ともみち${\sqrt {2}}$是ぜ無理むり數すう，2是ぜ有理數ゆうりすう（請參照さんしょう2的てき算術さんじゅつ平方根へいほうこん的てき無理むり數すう證明しょうめい)。考慮こうりょ數字すうじ$q={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$，它要麼是有理數ゆうりすう，要よう麼是無理むり數すう。
• 如果$q$是ぜ有理數ゆうりすう，那な麼原命題めいだい成立せいりつ，此時$a$和わ$b$都みやこ是ただし${\sqrt {2}}$。
• 如果$q$是ぜ無理むり數すう，那な麼原命題めいだい也成立せいりつ，此時$a$為ため${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$而$b$為ため${\sqrt {2}}$，由ゆかり於：

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})}={\sqrt {2}}^{2}=2$。

這個證明しょうめい是非ぜひ構造こうぞう性せい的てき，因いん為ため它依賴いらい了りょう這樣的てき陳述ちんじゅつ：「q要よう麼是有理數ゆうりすう，要よう麼是無理むり數すう」，這是排中律はいちゅうりつ的てき一いち個こ應用おうよう，而構造こうぞう性せい證明しょうめい里さと排中律はいちゅうりつ是ぜ無效むこう的てき。這個非ひ構造こうぞう性せい證明しょうめい並なみ沒ぼつ有ゆう構造こうぞう一いち個こ實際じっさい的てきa和わb，它只是ぜ考察こうさつ了りょう由よし排中律はいちゅうりつ給きゅう出で的てき兩りょう種たね可能かのう性せい。我わが們並不知ふち道どう這兩種しゅ可能かのう性せい哪個是ぜ真實しんじつ的てき，${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$究竟きゅうきょう是ぜ不ふ是ぜ無理むり數すう。

實際じっさい上じょう根據こんきょ格かく爾なんじ豐德ほうとく-施ほどこせ奈德定理ていり，我わが們可以得知ち${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$是ぜ一いち個こ無理むり數すう，但ただし是ぜ它和這個非ひ構造こうぞう性せい證明しょうめい的てき正確せいかく性せい無關むせき。

構造こうぞう性せい證明しょうめい

對たい上面うわつら的てき例れい子こ，構造こうぞう性せい證明しょうめい會かい給きゅう出で一いち個こ實際じっさい的てき例れい子こ，如：

$a={\sqrt {2}}\,,\quad b=\log _{2}9\,,\quad a^{b}=3\,.$

已やめ知ち2的てき算術さんじゅつ平方根へいほうこん是ぜ無理むり數すう，而3是ぜ有理數ゆうりすう。$\log _{2}9$同樣どうよう是ぜ無理むり數すう，因いん為ため如果他た可か以寫作さく$m \over n$，那な麼根據こんきょ對數たいすう運算うんざん法則ほうそく，9ⁿ會かい等とう於2^m，然しか而前者しゃ是ぜ奇數きすう，後者こうしゃ是ぜ偶數ぐうすう（奇數きすう的てき整數せいすう次じ方かた還かえ是ぜ奇數きすう，偶數ぐうすう的てき整數せいすう次じ方かた還かえ是ぜ偶數ぐうすう）。

參まいり見み

• 直覺ちょっかく主義しゅぎ
• BHK釋義しゃくぎ
• 直覺ちょっかく類型るいけい論ろん
• 經典きょうてん邏輯
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• 柯里-霍華德とく同どう構
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