渐近线

在ざい解析かいせき几何和わ微分びぶん学がく中ちゅう，曲きょく线的渐近线（英えい语：Asymptote）是ぜ一いち条じょう使し得とく当とう$x$或ある$y$坐すわ标之一或两者趋于无穷大时，曲きょく线与该线之の间的距离接近せっきん零れい的てき线。在ざい射影しゃえい几何和わ相しょう关上下じょうげ文中ぶんちゅう，曲きょく线的渐近线是在ざい无穷大だい点てん处与曲きょく线相切きり的てき线。

渐近线分为三さん种类型がた：水平すいへい、垂直すいちょく和かず倾斜。对于由よし函数かんすう$y=f(x)$的てき图给出で的てき曲きょく线，水平すいへい渐近线是水平すいへい线，函数かんすう的てき图随着ぎ$x$趋于$+\infty$或ある$-\infty$趋近于水平すいへい线。垂直すいちょく渐近线是垂直すいちょく线，函数かんすう在ざい该垂直ちょく线附近きん无限增ぞう长。斜はす渐近线的斜はす率りつ非ひ零れい但ただし有限ゆうげん，因いん此当$x$趋于$+\infty$或ある$-\infty$时，函数かんすう的てき图接近せっきん该斜率りつ。

更さら一般いっぱん地ち说，如果两条曲きょく线之间的距离趋于无穷大だい，则两条じょう曲きょく线之间的距离趋向于零，则一条曲线是另一条曲线的曲线渐近线，尽つき管かん术语“渐近线”本身ほんみ通常つうじょう是ぜ为线性せい渐近线保留ほりゅう的てき。

渐近线传达有关大曲きょく线特性せい的てき信しん息いき，确定函数かんすう的てき渐近线是绘制函数かんすう图的重要じゅうよう步ふ骤。从广义上讲，对功能のう渐近线的研究けんきゅう是ぜ渐近分析ぶんせき主ぬし题的一いち部分ぶぶん。当とう任意にんい曲きょく线上うえ一いち点てん$M$沿曲线无限げん远离原点げんてん时，如果$M$到いた一いち条じょう直ちょく线（或ある另外一いち条じょう曲きょく线）的てき距离无限趋近于零，那な么这条じょう直ちょく线（曲きょく线）称しょう为这条じょう曲きょく线的渐近线。数学すうがく上じょう的てき定てい义则是ぜ：若わか函数かんすう$y=f\left(x\right)$的てき图形收おさむ敛，则渐近きん线为$y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$。

例れい解かい

例れい如，直ちょく线$y={\frac {b}{a}}x$是これ双そう曲きょく线${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$的てき渐近线，因いん为双曲きょく线上的てき点てん$M$到いた直ちょく线$y={\frac {b}{a}}x$的てき距离$MQ<MN$；当とう$MN$无限趋近于0时，$MQ$也无限げん趋近于0。所以ゆえん按照定てい义，直ちょく线$y={\frac {b}{a}}x$是ぜ该双曲きょく线的渐近线。同どう理り，直ちょく线$y=-{\frac {b}{a}}x$也是该双曲きょく线的渐近线。

对于$F\left(x,y\right)=0$来らい说，如果当とう$x\rightarrow a$时，有ゆう$y\rightarrow \pm \infty$（左右さゆう极限不ふ一定いってい相等そうとう），就把$x=a$叫さけべ做$F\left(x,y\right)=0$的てき垂直すいちょく渐近线；如果当とう$x\rightarrow \infty$时，有ゆう$y\rightarrow b$，就把$y=b$叫さけべ做$F\left(x,y\right)=0$的てき水平すいへい渐近线。例れい如，$y=3$是ぜ曲きょく线$xy=3x+2$的てき水平すいへい渐近线。

求法ぐほう

依よ据すえ

求もとめ渐近线，可か以依据すえ以下いか结论：

若わか极限$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$存在そんざい，且极限げん$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$也存在そんざい，那な么曲线$y=f\left(x\right)$具有ぐゆう渐近线$y=ax+b$。

例れい子こ

例れい：求もとむ$y={\frac {x^{2}}{1+x}}$的てき渐近线。

解かい：(1)$x=-1$为其垂直すいちょく渐近线。

(2)$\lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}$，即そく$a=1$；

$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1$，即そく$b=-1$；

所以ゆえん$y=x-1$也是其渐近きん线。