漸近ぜんきん線せん

在ざい解析かいせき幾何きか和わ微分びぶん學がく中なか，曲線きょくせん的てき漸近ぜんきん線せん（英語えいご：Asymptote）是ぜ一いち條じょう使し得とく當とう$x$或ある$y$坐すわ標しるべ之の一或兩者趨於無窮大時，曲きょく線せん與あずか該線之の間あいだ的てき距離きょり接近せっきん零れい的てき線せん。在ざい射影しゃえい幾何きか和わ相關そうかん上下じょうげ文中ぶんちゅう，曲線きょくせん的てき漸近ぜんきん線せん是ぜ在ざい無窮むきゅう大だい點てん處しょ與あずか曲線きょくせん相しょう切きり的てき線せん。

漸近ぜんきん線分せんぶん為ため三さん種類しゅるい型がた：水平すいへい、垂直すいちょく和わ傾斜けいしゃ。對たい於由函數かんすう$y=f(x)$的まと圖ず給きゅう出で的てき曲線きょくせん，水平すいへい漸近ぜんきん線せん是ぜ水平すいへい線せん，函數かんすう的てき圖ず隨ずい著ちょ$x$趨於$+\infty$或ある$-\infty$趨近於水平すいへい線せん。垂直すいちょく漸近ぜんきん線せん是ぜ垂直すいちょく線せん，函數かんすう在ざい該垂直線ちょくせん附近ふきん無限むげん增長ぞうちょう。斜はす漸近ぜんきん線せん的てき斜はす率りつ非ひ零れい但ただし有限ゆうげん，因いん此當$x$趨於$+\infty$或ある$-\infty$時とき，函數かんすう的てき圖ず接近せっきん該斜率りつ。

更さら一般いっぱん地ち說せつ，如果兩りょう條じょう曲線きょくせん之の間あいだ的てき距離きょり趨於無窮むきゅう大だい，則のり兩りょう條じょう曲線きょくせん之の間あいだ的てき距離きょり趨向すうこう於零，則のり一條曲線是另一條曲線的曲線漸近線，儘管術語じゅつご「漸近ぜんきん線せん」本身ほんみ通常つうじょう是ぜ為ため線せん性せい漸近ぜんきん線せん保留ほりゅう的てき。

漸近ぜんきん線せん傳達でんたつ有ゆう關大かんだい曲線きょくせん特性とくせい的てき信しん息いき，確定かくてい函數かんすう的てき漸近ぜんきん線せん是ぜ繪え製せい函數かんすう圖ず的てき重要じゅうよう步ふ驟。從したがえ廣義こうぎ上うえ講こう，對たい功こう能のう漸近ぜんきん線せん的てき研究けんきゅう是ぜ漸近ぜんきん分析ぶんせき主題しゅだい的てき一いち部分ぶぶん。當とう任意にんい曲線きょくせん上うえ一いち點てん$M$沿曲線せん無限むげん遠とお離はなれ原點げんてん時とき，如果$M$到いた一いち條じょう直線ちょくせん（或ある另外一いち條じょう曲線きょくせん）的てき距離きょり無限むげん趨近於零，那な麼這條じょう直線ちょくせん（曲線きょくせん）稱しょう為ため這條曲線きょくせん的てき漸近ぜんきん線せん。數學すうがく上じょう的てき定義ていぎ則そく是ぜ：若わか函數かんすう$y=f\left(x\right)$的てき圖形ずけい收斂しゅうれん，則のり漸近ぜんきん線せん為ため$y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$。

例れい解かい

例れい如，直線ちょくせん$y={\frac {b}{a}}x$是これ雙曲線そうきょくせん${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$的てき漸近ぜんきん線せん，因いん為ため雙曲線そうきょくせん上じょう的てき點てん$M$到いた直線ちょくせん$y={\frac {b}{a}}x$的てき距離きょり$MQ<MN$；當とう$MN$無限むげん趨近於0時じ，$MQ$也無限げん趨近於0。所以ゆえん按照定義ていぎ，直線ちょくせん$y={\frac {b}{a}}x$是ぜ該雙曲線きょくせん的てき漸近ぜんきん線せん。同どう理り，直線ちょくせん$y=-{\frac {b}{a}}x$也是該雙曲線きょくせん的てき漸近ぜんきん線せん。

對たい於$F\left(x,y\right)=0$來き說せつ，如果當とう$x\rightarrow a$時とき，有ゆう$y\rightarrow \pm \infty$（左右さゆう極限きょくげん不ふ一定いってい相等そうとう），就把$x=a$叫さけべ做$F\left(x,y\right)=0$的てき垂直すいちょく漸近ぜんきん線せん；如果當とう$x\rightarrow \infty$時とき，有ゆう$y\rightarrow b$，就把$y=b$叫さけべ做$F\left(x,y\right)=0$的てき水平すいへい漸近ぜんきん線せん。例れい如，$y=3$是ぜ曲線きょくせん$xy=3x+2$的てき水平すいへい漸近ぜんきん線せん。

求法ぐほう

依據いきょ

求もとめ漸近ぜんきん線せん，可か以依據いきょ以下いか結論けつろん：

若わか極限きょくげん$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$存在そんざい，且極限げん$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$也存在そんざい，那な麼曲線せん$y=f\left(x\right)$具有ぐゆう漸近ぜんきん線せん$y=ax+b$。

例れい子こ

例れい：求もとむ$y={\frac {x^{2}}{1+x}}$的てき漸近ぜんきん線せん。

解かい：(1)$x=-1$為ため其垂直ちょく漸近ぜんきん線せん。

(2)$\lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}$，即そく$a=1$；

$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1$，即そく$b=-1$；

所以ゆえん$y=x-1$也是其漸近ぜんきん線せん。