數學上(特別是代數拓撲和抽象代數),同調 (homology,在希臘語中homos = 同)是一類將一個可換群或者模的序列和特定數學物件(例如拓撲空間或者群)聯繫起來的過程。背景知識請參看同調論。
對於一個特定的拓撲空間,同調群通常比同倫群要容易計算得多,因此通常來講用同調來輔助空間分類要容易處理一些。
其過程如下:給定物件
,首先定義鏈複形,它包含了
的資訊。一個鏈複形是一個由群同態聯繫起來的可換群或者模
的序列,群同態
滿足任何兩個相連的同態的複合為0:
對於所有
成立。這意味著第
個映射的像包含在第
個映射的核中,我們定義
的
階同調群為商群(商模)
![{\displaystyle H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690fe23cb46ada9ee96d644f5f2297f1000ff110)
鏈複形稱為正合的,如果(
)階映射的像總是等於
階映射的核。因此
的同調群是衡量
所關聯的鏈複形離正合有「多遠」的障礙。
非正式地,拓撲空間X的同調是X的拓撲不變量的集合,用其同調群來表示
![{\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b76f4b48143ee1854f924d4ab322b0c8be4ba9d)
其中第
個同調群
描繪了
中的
維圈 (cycle),實現為
維圓盤邊界 (boundary) 的障礙。0維同調群刻畫了兩個零維圈,也即點,實現成一維圓盤,也即線段的邊界的障礙,因此
刻畫了
中的路徑連通分支。[1]
圓,或稱為1維球面
一維球面
是一個圓。它有一個連通分支和一個一維圈,但沒有更高維圈。其對應的同調群由下式給出
![{\displaystyle H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\neq 0,1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad77bc242ef7a3f171702673d114645cb921d2f)
其中
表示整數加群,
表示平凡群。
表示
的一階同調群為由一個元素生成的有限生成阿貝爾群,其唯一的生成元表示圓中包含的一維圈。[2]
2維球面
即球的球殼,不包括球的內部。
二維球面
有一個連通分支,零個一維圈,一個二維圈(即球面),無更高維的圈,其對應的同調群為[2]
![{\displaystyle H_{k}(S^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\0&k\neq 0,2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aaacd679a63eaecb011c78ff9b1700dd6bf2302)
一般地,對
維球面
,其同調群為
![{\displaystyle H_{k}(S^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94a48f11e05dcb133804d337ec55a861dc3bd01)
實心圓盤,即2維球
二維實心球
有一個路徑連通分支,但與圓不同的是,
沒有一維或更高維的圈,其對應的同調群除了零階同調群
以外,其餘階的同調群均為平凡群。
環面
環面被定義為兩個圓
的笛卡兒積。環面有一個路徑連通分支,兩個獨立的一維圈(在圖中以紅圈和藍圈分別標出),以及一個二維圈(環面的內部)。其對應的同調群為[3]
![{\displaystyle H_{k}(T^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 3\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a05d400ce5840f36ebf9ef5dd3a6c22ba5cbb5)
兩個獨立的一維圈組成了一組有限生成阿貝爾群的獨立生成元,表示為笛卡兒積群
.
引入同調的概念可以用單體複形
的單純同調:設
為
中的
維可定向單體生成的自由交換群或者模,映射
映射稱為邊際映射 (boundary map),它將
維單體
![{\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5eea288dea6adaa341bc193a83ff0f4999caa0f)
映射為如下交錯和
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |_{[e_{0},\ldots ,e_{i-1},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e11e774fc98437f3bac36b14dafdd97e62f45a7)
,其中
表示
限制在
對應的面 (face)上。如果我們將模取在一個域上,則
的
階同調的維數就是
中
維圈的個數。
仿照單純同調群,可以定義任何拓撲空間
的奇異同調群。我們定義
的餘調的鏈複形中的空間為
為自由交換群(或者自由模),其生成元為所有從
為單體到
的連續函數。同態
從單體的邊際映射得到。
同調代數中,同調用於定義導來函子,例如,Tor函子。這裡,我們可以從某個可加協變函子
和某個模
開始。
的鏈複形定義如下:首先找到一個自由模
和一個滿同態
。然後找到一個自由模
和一個滿同態
。以該方式繼續,得到一個自由模
和同態
的序列。將函子
應用於這個序列,得到一個鏈複形;這個複形的同調
僅依賴於
和
,並且按定義就是
作用於
的n階導來函子。
鏈複形構成一個範疇:從鏈複形
到鏈複形
的態射是一個同態的序列
,滿足
對於所有
成立。
階同調
可以視為一個從鏈複形的範疇到可換群(或者模)的範疇的協變函子。
若鏈複形以協變的方式依賴於物件
(也就是任何態射
誘導出一個從
的鏈複形到
的鏈複形的態射),則
是從
所屬的範疇到可換群(或模)的範疇的函子。
同調和餘調的唯一區別是餘調中的鏈複形以逆變方式依賴於
,因此其同調群(在這個情況下稱為餘調群並記為
)構成從
所屬的範疇到可換群或者模的範疇的逆變函子。
若
是鏈複形,滿足出有限個
外所有項都是零,而非零的都是有限生成可換群(或者有限維向量空間),則可以定義歐拉示性數
![{\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c8b1059371225b383d7a1e3769fc6d38bb715b)
(可換群採用階而向量空間的情況採用哈默爾維數)。事實上在同調水平上也可以計算歐拉示性數:
![{\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecbb2b9c5be33fde8a5ebbb65bbb598f79cddd87)
特別地,在代數拓撲中,歐拉示性數
是拓撲空間的重要不變量。
此外,每個鏈複形的短正合序列
![{\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cece4b06c269d1d7f461dc26ba155a5e5a1146)
誘導一個同調群的長正合序列
![{\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c160d279c78001d47f537afd8e51aef6255bdc56)
這個長正合序列中的所有映射由鏈複形間的映射導出,除了映射
之外。後者稱為連接同態,由蛇引理給出。