同調どうちょう

數學すうがく上うえ（特別とくべつ是ぜ代數だいすう拓ひらけ撲なぐ和わ抽象ちゅうしょう代數だいすう），同調どうちょう （homology，在ざい希まれ臘語中なかhomos = 同どう）是ぜ一類いちるい將しょう一いち個こ可か換かわ群ぐん或ある者もの模も的てき序列じょれつ和わ特定とくてい數學すうがく物件ぶっけん（例れい如拓ひらけ撲なぐ空間くうかん或ある者もの群ぐん）聯れん繫起來らい的てき過程かてい。背景はいけい知識ちしき請參看さんかん同調どうちょう論ろん。

對たい於一個特定的拓撲空間，同調どうちょう群ぐん通常つうじょう比ひ同どう倫りん群ぐん要よう容易ようい計算けいさん得とく多た，因いん此通常つうじょう來らい講こう用よう同調どうちょう來らい輔助空間くうかん分類ぶんるい要よう容易ようい處理しょり一いち些。

同調どうちょう群ぐん的てき構造こうぞう

其過程ほど如下：給きゅう定てい物件ぶっけん$X$，首しゅ先さき定義ていぎ鏈複形がた，它包含ほうがん了りょう$X$的てき資し訊。一個鏈複形是一個由群ぐん同どう態たい聯れん繫起來らい的てき可か換かわ群ぐん或ある者もの模も$A_{0},A_{1},A_{2},\dots$的てき序列じょれつ，群ぐん同どう態たい$d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}$滿足まんぞく任にん何なん兩個りゃんこ相しょう連れん的てき同どう態たい的てき複ふく合あい為ため0: $d_{n}\circ d_{n+1}=0$對たい於所有しょゆう$n$成立せいりつ。這意味あじ著ちょ第だい$n+1$個こ映うつ射的しゃてき像ぞう包含ほうがん在ざい第だい$n$個こ映うつ射的しゃてき核かく中なか，我わが們定義ていぎ$X$的てき$n$階かい同調どうちょう群ぐん為ため商しょう群ぐん（商しょう模も）

$H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).$

鏈複形がた稱しょう為ため正せい合ごう的てき，如果（$n+1$）階かい映うつ射的しゃてき像ぞう總そう是ぜ等とう於$n$階かい映うつ射的しゃてき核かく。因よし此$X$的てき同調どうちょう群ぐん是ぜ衡量$X$所ところ關聯かんれん的てき鏈複形がた離はなれ正せい合ごう有ゆう「多た遠とお」的てき障礙しょうがい。

非ひ正式せいしき的てき例れい子こ

非ひ正式せいしき地ち，拓ひらけ撲なぐ空間くうかんX的てき同調どうちょう是ぜX的てき拓ひらけ撲なぐ不ふ變量へんりょう的てき集合しゅうごう，用よう其同調どうちょう群ぐん來らい表示ひょうじ

$H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots$

其中第だい$k$個こ同調どうちょう群ぐん$H_{k}(X)$描繪了りょう$X$中なか的てき$k$維圈 (cycle)，實現じつげん為ため$k+1$維圓盤ばん邊あたり界かい (boundary) 的てき障礙しょうがい。0維同調どうちょう群ぐん刻こく畫が了りょう兩個りゃんこ零れい維圈，也即點てん，實現じつげん成なり一いち維圓盤ばん，也即線せん段だん的てき邊あたり界かい的てき障礙しょうがい，因いん此$H_{0}(X)$刻こく畫が了りょう$X$中なか的てき路ろ徑みち連れん通分つうぶん支ささえ。

圓えん，或ある稱しょう為ため1維球面めん$S^{1}$

一いち維球面きゅうめん $S^{1}$是ぜ一いち個こ圓えん。它有一個連通分支和一個一維圈，但ただし沒ぼっ有ゆう更さら高だか維圈。其對應おう的てき同調どうちょう群ぐん由よし下か式しき給きゅう出で

$H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\neq 0,1\end{cases}}$

其中$\mathbb {Z}$表示ひょうじ整數せいすう加か群ぐん，$0$表示ひょうじ平凡へいぼん群ぐん。$H_{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$表示ひょうじ$S^{1}$的てき一階同調群為由一個元素生成的有限ゆうげん生成せいせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん，其唯一いち的てき生成せいせい元もと表示ひょうじ圓えん中ちゅう包含ほうがん的てき一いち維圈。

2維球面めん$S^{2}$即そく球たま的てき球たま殼から，不ふ包括ほうかつ球だま的てき內部。

二に維球面きゅうめん$S^{2}$有ゆう一いち個こ連れん通分つうぶん支ささえ，零れい個こ一いち維圈，一いち個こ二に維圈（即そく球面きゅうめん），無む更さら高だか維的圈けん，其對應おう的てき同調どうちょう群ぐん為ため

$H_{k}(S^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\0&k\neq 0,2\end{cases}}$

一般いっぱん地ち，對たい$n$維球面めん$S^{n}$，其同調どうちょう群ぐん為ため

$H_{k}(S^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}$

實じつ心しん圓盤えんばん，即そく2維球$B^{2}$

二に維實心こころ球たま$B^{2}$有ゆう一個路徑連通分支，但ただし與あずか圓えん不同ふどう的てき是ぜ，$B^{2}$沒ぼつ有ゆう一維或更高維的圈，其對應おう的てき同調どうちょう群ぐん除じょ了りょう零れい階かい同調どうちょう群ぐん$H_{0}(B^{2})\cong \mathbb {Z}$以外いがい，其餘階かい的てき同調どうちょう群ぐん均ひとし為ため平凡へいぼん群ぐん。

環たまき面めん$T=S^{1}\times S^{1}$

環たまき面めん被ひ定義ていぎ為ため兩個りゃんこ圓えん$T^{2}=S^{1}\times S^{1}$的てき笛ふえ卡兒積せき。環たまき面めん有ゆう一個路徑連通分支，兩個りゃんこ獨立どくりつ的てき一いち維圈（在ざい圖ず中ちゅう以紅圈けん和わ藍あい圈けん分別ふんべつ標しめぎ出いずる），以及一いち個こ二に維圈（環たまき面めん的てき內部）。其對應おう的てき同調どうちょう群ぐん為ため

$H_{k}(T^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 3\end{cases}}$

兩個りゃんこ獨立どくりつ的てき一いち維圈組成そせい了りょう一いち組くみ有限ゆうげん生成せいせい阿おもね貝かい爾なんじ群ぐん的てき獨立どくりつ生成せいせい元もと，表示ひょうじ為ため笛ふえ卡兒積せき群ぐん$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

例れい子こ

引入同調どうちょう的てき概念がいねん可か以用單體たんたい複ふく形がた$X$的てき單純たんじゅん同調どうちょう：設しつらえ$C_{n}$為ため$X$中なか的てき$n$維可定てい向こう單體たんたい生成せいせい的てき自由じゆう交換こうかん群ぐん或ある者もの模も，映うつ射い$\partial _{n}:C_{n}\rightarrow C_{n+1}$映うつ射い稱たたえ為ため邊あたり際ぎわ映うつ射い (boundary map)，它將$n$維單體たんたい

$\sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X$

映うつ射い為ため如下交錯こうさく和わ

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |_{[e_{0},\ldots ,e_{i-1},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]}.$

，其中$\sigma |_{[e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}]}$表示ひょうじ$\sigma$限きり制せい在ざい$e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}$對應たいおう的てき面めん (face)上じょう。如果我わが們將模も取と在ざい一いち個こ域いき上じょう，則のり$X$的てき$n$階かい同調どうちょう的てき維數就是$X$中なか$n$維圈的てき個數こすう。

仿照單純たんじゅん同調どうちょう群ぐん，可か以定義ていぎ任にん何なに拓ひらけ撲なぐ空間くうかん$X$的てき奇異きい同調どうちょう群ぐん。我わが們定義ていぎ$X$的まと餘あまり調ちょう的てき鏈複形がた中ちゅう的てき空間くうかん為ため$A_{n}$為ため自由じゆう交換こうかん群ぐん（或ある者もの自由じゆう模も），其生成せいせい元もと為ため所有しょゆう從したがえ$n$為ため單體たんたい到いた$X$的てき連續れんぞく函數かんすう。同どう態たい$d_{n}$從したがえ單體たんたい的てき邊あたり際さい映うつ射い得え到いた。

同調どうちょう代數だいすう中なか，同調どうちょう用よう於定義ていぎ導みちびけ來らい函はこ子こ，例れい如，Tor函はこ子こ。這裡，我わが們可以從某ぼう個こ可か加か協きょう變へん函はこ子こ$F$和かず某ぼう個こ模も$X$開始かいし。$X$的てき鏈複形がた定義ていぎ如下：首くび先さき找到一いち個こ自由じゆう模も$F_{1}$和わ一いち個こ滿みつる同どう態たい$p_{1}:F_{1}\rightarrow X$。然しか後こう找到一いち個こ自由じゆう模も$F_{2}$和わ一いち個こ滿みつる同どう態たい$p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})$。以該方式ほうしき繼續けいぞく，得とく到いた一いち個こ自由じゆう模も$F_{n}$和かず同どう態たい$p_{n}$的てき序列じょれつ。將はた函はこ子こ$F$應用おうよう於這個こ序列じょれつ，得とく到いた一いち個こ鏈複形がた；這個複ふく形がた的てき同調どうちょう$H_{n}$僅依賴いらい於$F$和わ$X$，並なみ且按定義ていぎ就是$F$作用さよう於$X$的てきn階かい導しるべ來らい函はこ子こ。

同調どうちょう函はこ子こ

鏈複形がた構成こうせい一いち個こ範疇はんちゅう：從したがえ鏈複形がた$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$到いた鏈複形がた$(e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})$的てき態たい射しゃ是ぜ一いち個こ同どう態たい的てき序列じょれつ$(f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n})$，滿足まんぞく$f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}$對たい於所有しょゆう$n$成立せいりつ。$n$階かい同調どうちょう $H_{n}$可か以視為ため一個從鏈複形的範疇到可換群（或ある者もの模も）的てき範疇はんちゅう的てき協きょう變へん函はこ子こ。

若わか鏈複形がた以協變へん的てき方式ほうしき依賴いらい於物件ぶっけん$X$（也就是ぜ任にん何なん態たい射しゃ$X\rightarrow Y$誘導ゆうどう出で一いち個こ從したがえ$X$的てき鏈複形がた到いた$Y$的てき鏈複形がた的てき態たい射しゃ），則のり$H_{n}$是ぜ從したがえ$X$所屬しょぞく的てき範疇はんちゅう到いた可か換かわ群ぐん（或ある模かたぎ）的てき範疇はんちゅう的てき函はこ子こ。

同どう調和ちょうわ餘よ調ちょう的てき唯ただ一區別是餘調中的鏈複形以逆變方式依賴於$X$，因いん此其同調どうちょう群ぐん（在ざい這個情況じょうきょう下か稱しょう為ため餘あまり調ちょう群ぐん並なみ記き為ため$H^{n}$）構成こうせい從したがえ$X$所屬しょぞく的てき範疇はんちゅう到いた可か換かわ群ぐん或ある者もの模も的てき範疇はんちゅう的てき逆ぎゃく變へん函はこ子こ。

性質せいしつ

若わか$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$是ぜ鏈複形がた，滿足まんぞく出で有限ゆうげん個こ$A_{n}$外そと所有しょゆう項こう都と是ぜ零れい，而非零れい的てき都と是ぜ有限ゆうげん生成せいせい可か換かわ群ぐん（或ある者もの有限ゆうげん維向量りょう空間くうかん），則のり可か以定義ていぎ歐おう拉ひしげ示しめせ性せい數すう

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})$

（可か換かわ群ぐん採用さいよう階かい而向量りょう空間くうかん的てき情況じょうきょう採用さいよう哈默爾なんじ維數）。事實じじつ上じょう在ざい同調どうちょう水平すいへい上じょう也可以計算けいさん歐おう拉ひしげ示しめせ性せい數すう:

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})$

特別とくべつ地ち，在ざい代數だいすう拓ひらけ撲なぐ中なか，歐おう拉ひしげ示しめせ性せい數すう$\chi$是ぜ拓ひらけ撲なぐ空間くうかん的てき重要じゅうよう不ふ變量へんりょう。

此外，每まい個こ鏈複形がた的てき短たん正せい合ごう序列じょれつ

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$

誘導ゆうどう一いち個こ同調どうちょう群ぐん的てき長正ながまさ合ごう序列じょれつ

$\cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,$

這個長正ながまさ合ごう序列じょれつ中ちゅう的てき所有しょゆう映うつ射い由よし鏈複形がた間あいだ的てき映うつ射い導出どうしゅつ，除じょ了りょう映うつ射い$H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)$之これ外がい。後者こうしゃ稱しょう為ため連接れんせつ同どう態たい，由ゆかり蛇へび引理給きゅう出で。

參看さんかん

• 奇異きい同調どうちょう
• 餘よ調ちょう
• 同調どうちょう論ろん
• 同調どうちょう代數だいすう

參考さんこう文獻ぶんけん

• Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始げんし內容存そん檔於2018-05-15）.  有ゆう仔細しさい討論とうろん單複たんぷく形がた、流りゅう形がた的てき同調どうちょう論ろん、奇異きい同調どうちょう等とう。
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (編へん). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398. 
• Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.