Pi

Pi

Matematička konstanta $\pi \approx {3.14159...}$ se često koristi u matematici i fizici. πぱい je malo slovo grčkog alfabeta i mjenja se sa pi kada je nedostupno. U euklidskoj planimetriji, πぱい se može definisati kao odnos obima i prečnika kruga, ili kao površina kruga poluprečnika 1 (jediničnog kruga). Većina novijih udžbenika definiše πぱい analitički, koristeći trigonometrijske funkcije, naprimjer kao najmanje pozitivno x za koje je sin(x) = 0, ili kao dva puta najmanje pozitivno x za koje je cos(x) = 0. Sve ove definicije su ekvivalentne.

πぱい je također poznato i kao Arhimedova konstanta (ne treba mješati sa Arhimedovim brojem) i Ludolphov broj.

Numerička vrijednost πぱい zaokružena na 64 decimalna mjesta je:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Osobine

πぱい je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cijela broja. Ovo je dokazao Johann Heinrich Lambert 1761. godine. Zapravo, ovaj broj je transcendentan, što je dokazao Ferdinand von Lindemann 1882. godine. To znači da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, čiji je πぱい korijen.

Važna posljedica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti πぱい koristeći samo konačan broj cijelih brojeva, razlomaka, i nad njima četiri osnovne i operaciju kvadratnog korjenovanja. Ovo dokazuje da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga: nemoguće je konstruisati (koristeći samo lenjir i šestar) kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke (1,0) na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korištenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.

Formule sa πぱい

Geometrija

πぱい; se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se tiču krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti.

Geometrijski oblik	Formula
obim kruga poluprečnika r i prečnikaа d	$O=\pi d=2\pi r\,\!$
Površina kruga poluprečnika r	$P=\pi r^{2}\,\!$
Površina elipse sa poluosama a i b	$P=\pi ab\,\!$
Zapremina kugle poluprečnika r	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!$
Površina vanjskog dijela kugle poluprečnika r	$P=4\pi r^{2}\,\!$
Zapremina valjka visine H i poluprečnika r	$V=\pi r^{2}H\,\!$
Površina vanjskog dijela valjka visine H i poluprečnika r	$P=2(\pi r^{2})+(2\pi r)H=2\pi r(r+H)\,\!$
Zapremina kupe visine H i poluprečnika r	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}H\,\!$
Površina kupe visine H i poluprečnika r	$P=\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+H^{2}}})\,\!$

Također, ugao od 180° (u stepenima) iznosi πぱい; radijana.

Analiza

Dosta formula u analizi sadrži πぱい, uključujući predstavljanja u obliku beskonačnog reda (i beskonačnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.

• François Viète, 1593:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots$

• Leibnizоva formula:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{4}}$

• John Wallis - Valisov proizvod:

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• Integral vjerovatnoće, poznat iz kalkulusa (Također pogledajte i Funkcija greške i Normalna raspodjela):

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

• Bazelski problem, koji je prvi riješio Leonhard Euler (Također pogledajte i Rimanova zeta-funkcija):

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

i, uopšte, $\zeta (2n)$ je racionalni umnožak broja $\pi ^{2n}$ za svako prirodno n.

• Vrijednost Gama-funkcije u tački 1/2:

$\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}$

• Stirlingova aproksimaciona formula:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

• Eulerov identitet (kojeg je Richard Feynman nazvao "najizvanrednijom formulom u matematici"):

$e^{i\pi }+1=0\;$

• Osobina Eulerove φふぁい-funkcije:

$\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}$

• Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi \over 4}$

Kompleksan analiza

• Spcijalan slučaj Eulerove formule za $e^{ix}\,$:

$e^{i\pi }\,\!+1=0$

• Osnovni slučaj teoreme o ostacima:

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i$

Verižni razlomak

πぱい; ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je naprimjer:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}$

Teorija brojeva

Neki rezultati iz "Teorije Brojeva":

Vjerovatnoća da su dva slučajno izabrana cijela broja uzajamno prosta je 6/πぱい;². Vjerovatnoća da je slučajno izabran cijeli broj beskvadratan je 6/πぱい;². U prosjeku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosljed sabiraka je bitan) je πぱい;/4.

Ovde, "vjerovatnoća", "prosjek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrijednosti; tj. posmatra se vjerovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva {1,2, ... N}, a zatim uzima granična vrijednost te vjerovatnoće kada {N→∞} ({N} je "jako veliko").

Dinamički sistemi/Ergodička teorija

U teoriji dinamičkih sistema (Također pogledajte ergodička teorija), za skoro svako realno x₀ u intervalu [0,1],

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}\,,$

gdje su x_i iterirane vrijednosti logističkog preslikavanja za r = 4.

Fizika

U fizici, pojava broja πぱい; u formulama је najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primjer, korištenjem uproščene Plankove konstante $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ može se izbjeći pisanje broja πぱい; eksplicitno u velikom broju formula u Kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bezičnija, a prisustvo faktora 1/2πぱい; u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.

• Heisenbergov princip neodređenosti:

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

• Einsteinova jednačina polja оpšte teorije relativnosti:

$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$

• Kulonov zakon за еlektričnu silu:

$F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$

• Magnetna permeabilnost slobodnog prostora:

$\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm {H/m} \,$

Vjerovatnoća i statistika

U vjerovatnoći i statistici postoji puno raspodjela, čiji analitički izrazi sadrže πぱい;, uključujući:

• Gustina raspodjele vjerovatnoće za normalnu raspodjelu sa matematičkim očekivanjem μみゅー i standardnom devijacijom σしぐま:

$f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}$

• Gustina raspodjele vjerovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodjelu:

$f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}$

Treba primjetiti da se, kako je, $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ za svaku Funkciju gustine raspodjele vjerovatnoće f(x), pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za πぱい;.

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja πぱい zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla dužine L baca na ravan na kojoj su označene dvije paralelne prave na međusobnom rastojanju S (gdje je S>L). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj (n) puta, od kojih se x puta zaustavi tako da siječe jednu od pravih, onda približnu vrijednost broja πぱい možemo dobiti korištenjem formule

$\pi \approx {\frac {2nL}{xS}}$

Računanje broja pi pomoću Heronovog trougla=

Trougao kome su stranice i površina cijeli brojevi zove se Heronov trougao.

Pomoću ovog trougla može se prbližno izračunati broj $\pi$.

Za tu svrhu koristićemo funkciju tangens i njezinu osobinu da za jako male vrijednosti argumenta $x$ vrijedi

$\tan x\approx x$

Trougao pomoću kojeg ga računamo ima stranice $a=13$ , $b=14$ i $c=15$

Heron ga spominje u svom djelu "Metrika". Pomoću Heronove formule

$P={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ za $s={\frac {a+b+c}{2}}$

$P=84$

Koristeći kosinusnu teoremu

$\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}={\frac {3}{5}}$

$cos\beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}={\frac {33}{65}}$

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

i formulu

$\tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {1}{2}}$

$\tan {\frac {\beta }{2}}={\frac {23}{65}}$

$\tan {\frac {\gamma }{2}}={\frac {2}{3}}$

Koristeći formule

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

dobijamo

$\tan({\frac {\alpha +\gamma -2\beta )}{2}}={\frac {7}{524}}$

$\tan({\frac {4\alpha -4\gamma +\beta )}{2}}={\frac {148}{6811}}$

$\tan({\frac {3\gamma +2\beta -4\alpha )}{2}}={\frac {46}{2253}}$

Zbog

$\tan x\approx x$

imamo

${\frac {\alpha +\gamma -2\beta }{2}}\approx 0,013358778$

${\frac {4\alpha -4\gamma +\beta )}{2}}\approx 0,21729555$

${\frac {3\gamma +2\beta -4\alpha )}{2}}\approx 0,020417221$

Ove relacije pomnožimo sa 2, zatim redom sa 37, 27 i 24, a onda saberemo.

$\alpha +\beta +\gamma \approx 3,14197215$

$\pi =3,14159265\,$ je tačna vrijednost

Historija

Simbol "πぱい;" za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar William Jones kada je objavio Novi uvod u matematiku (A New Introduction to Mathematics), mada je isti simbol još ranije korišten da naznači obim kruga. Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonhard Euler. U oba slučaja, 'πぱい;' je prvo slovo riječi πぱい;εριμετρος (perimetros), što znači 'mijeriti okolo' na grčkom jeziku.

Na listi detaljnih opisa velikog hrama Solomona, izgrađenog oko 950 godine pne pojavljuje se $\pi =3$. To nije sasvim tačna vrijednost i nije čak ni tačna za vrijeme u kom je zapisana, jer su u to vrijeme Egipćani i Mesopotamci već znali da $\pi$ ima vrijednost od $25/8=3,125$. Doduše u odbranu Solomonovim zanatlijama treba primjetiti da su pojedini predmeti, koji su opisani, bili takvog oblika da veliki stepen geometrijske preciznosti nije bio moguć, niti neophodan.

U Egiptu postojala je potreba navodnjavanja i organizovane poljoprivredne proizvodnje. Ova potreba bila je veliki podsticaj za razvoj matematike. Iz sačuvanih papirusa saznajemo da su imali razvijene sisteme za računanja i odgovarajuću simboliku. Vješto su baratali sa razlomcima.

Najpoznatiji sačuvani papirus je Rindov papirus iz otprilike 1650. godine pne, pokazuje da su Egipćani prilikom računanja površina i zapremina oblih figura koristili za broj $\pi$.

Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio i autor ovog matematičkog spisa. Ahmes je napisao: Oduzmite $1/9$ prečnika a nad ostatkom konstruišite kvadrat. On će imati istu površinu kao krug.

U Ahmesovom papirusu za $\pi$ izračunata je približna vrijednost $3,1605$. Greška je na drugoj decimali.

U staroindijskom djelu "Salvasutra" data su matematička pravila za koja se znalo u to vrijeme. Tu se nalaze neke interesantne aproksimacije pomoću osnovnih razlomaka, kao što je( u našoj simbolici)

$\pi =4*(1-1/8+1/(8*29)-1/(8*29*6)+1/(8*29*6**))2=3,0888$.

Baudhajan je uzeo $49/16$ kao vrijednost za $\pi$,

Ariabhata , $62832/20000$ što je jednako $3,1416$.

Euclid govorio je za krug da je to linija, t.j. dužina bez širine. On u svom XII dokazu ukazuje na postojanje broja $\pi$ “Odnos kružnog obima i kružnog prečnika isti je kod svih krugova.”

Mi pretpostavljamo da je on znao da je $\pi$ veće od 3 i manje od 4 ali to nije naveo.

Arhimed sa Sirakuze dobio je približno da je $223/71<\pi <22/7$ . Ako uzmemo aritmetičku sredinu njegovih dviju granica dobićemo $3,1418$, greška je $0,0002$.

Arhimed je zasluzan za prve dvije decimale broja $\pi =3,14$,

Pisac sačuvanih komentara “9 knjiga” Liu Hui nasao je pomoću upisanih i opisanih mnogouglova da je $3,141024<\pi <3,142704$

Tsu Ch’ung Chi dao je racionalnu aproksimaciju $355/113$ za $\pi$ koja je tačna do 6 decimalnih mjesta. On je dokazao $3,1415926<\pi <3,1415927$. Ovo je fantastičan rezultat ali nemamo više podataka. Njegova knjiga, koju je napisao njegov sin, je izgubljena.

Claudius Ptolemy dobio je približnu vrijednost za $\pi =3+8/60+30/3600=317/120=3,14167$

Ovu vrijednost objavio je u svom “Velikom zborniku”, jednom od najvećih djela rimskog aleksandrijskog perioda, koji je još poznatiji pod arapiziranim nazivom “Almagest"

AbuJa'far Muhammadibn MusaAl-Khwarizmi ostače zapamčen po tome što je slučajno dao svoje ime algoritmu, dok je riječ ‘aljabar’ koja se javlja kao naslov jedne njegove knjige preteča današnje riječi algebra. U algebri ovog starog arapskog matematičara o izračunavanju obima kruga čitamo: “Najbolji način je da se prečnik pomnoži sa $3{\frac {1}{7}}$. To je najbrži i najlakši način. Alah zna za bolje.”

Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi u julu 1424 godine on je objavio “Raspravu o obimu kruga”, rad u kome je izračunao $2\pi$ do devet decimala u sistemu brojeva čija je osnova 60 (sistemu koji su za zapis brojeva koristili stari Vavilonci, a koji je i do danas opstao u upotrebi pri izražavanju vremena i mjerenju uglova). Ako njegov račun prevedemo na dekadni sistem zapisa brojeva vidimo da je vrijednost $\pi$ bila izražena sa 16 decimalnih mjesta.

François Viète nikad nije bio profesionalni matematičar. Tokom 1592 godine on se bavio problemima tadašnjih tvrdnji da se može izvršiti kvadratura kruga, podjela ugla na tri dela i konstrukcija kocke duplo veće zapremine u odnosu na datu, korišćenjem samo lenjira i šestara. Objavio je knjigu “Supplementum geometriae” (1593), u kojoj se bavi opisom ova tri klasična matematička problema, ali i pokazuje konstrukciju tangente u svakoj tački Arhimedove spirale. U ovoj knjizi, on je izračunao $\pi$ do 10 decimale koristeći poligon sa 6*216 = 393216 stranica. On je predstavio $\pi$ u vidu beskonačnog proizvoda,to je, kako je danas poznato, najranije predstavljanje broja $\pi$kao beskonačnog. Izražen u našoj simbolici ovaj proizvod izgleda ovako:

$2/\ pi=cos(\pi /4)*cos(\pi /8)*cos(\pi /16)*cos(\pi /32)$

Adriaan van Roomen jedan od njegovih najinpresivnijih rezultata bio je izračunavanje broja $\pi$ sa 16 decimalnih mjsta. On je to uradio 1593 godine koristeći 230 -stranicni poligon. Roomen-ovo interesovanje za $\pi$ bilo je direktna posljedica njegovog prijateljstva sa Ludolph van Ceulen-om.

Ludolph van Ceulen postao je slavan zbog njegovog izračunavanja broja $\pi$ sa 35 decimalnih mjesta, do koga je došao koristeći poligon sa 262 stranica. Proveo je veći dio svog života računajući $\pi$ i zato ne čudi istorijski podatak da je 35 decimala broja $\pi$ ugravirano na njegovoj nadgrobnoj ploči u crkvi St. Peter’s Church u Lajdenu. Poznato je da je u Njemačkoj broj $\pi$ dugo zvan Ludolfov broj, upravo njemu u čast.

Wallis-ova formula, kojom je on utvrdio da se broj $\pi$ može približno predstaviti pomoću beskrajnog proizvoda

$2/\pi =(1*3*3*5*5*7*....)/(2*2*4*4*6*6*...)$

Gottfried Wilhelm von Leibniz njegovi engleski prijatelji, pričali su mu o Merkatorovoj kvadraturi hiperbole jedan od ključeva koji je poslužio Njutnu pri pronalasku diferencijalnog računa. Na temelju toga Leibniz je pronašao metodu beskonačnih redova, koju je razvio. Jedan od njegovih pronalazaka je formula

$\pi /4=1-1/3+1/5-1/7+....$

Ova formula nije praktičan način izračunavanja vrijednosti $\pi$ , ali je upadljiva jednostavna veza između $\pi$ i svih neparnih brojeva.

Evo kratke hronologije broja πぱい;:

Vrijeme	Osoba	Vrijednost πぱい; (svjetski rekordi su označeni podebljano)
20. vijek p. n. e.	Babilonci	25/8 = 3.125
20. vijek p. n. e.	Egipatski matematički papirus (Rhindov papirus)	(16/9)2 = 3.160493...
12. vijek p. n. e.	Kinezi	3
sredinom 6. vijeka p. n. e.	1 Kraljevi 7:23	3
434. p. n. e.	Anaksagora je pokušao da kvadrira krug lenjirom i šestarom
3. vijek p. n. e.	Arhimed	223/71 < πぱい; < 22/7 (3.140845... < πぱい; < 3.142857...)
20. p. n. e.	Vitruvije	25/8 = 3.125
130	Čang Hong	√10 = 3.162277...
150	Ptolomej	377/120 = 3.141666...
250	Vang Fau	142/45 = 3.155555...
263	Liu Hui	3.14159
480	Zu Čongži	3.1415926 < πぱい; < 3.1415927
499	Arjabhata	62832/20000 = 3.1416
598	Bramagupta	√10 = 3.162277...
800	Muhamed Al Horezmi	3.1416
12. vijek	Baskara	3.14156
1220	Fibonači	3.141818
1400	Madava	3.14159265359
Svi podaci od 1424. su dati u brojevima tačnih decimalnih mijesta (dm)..
1424	Džamšid Masud Al Kaši	16 dm
1573	Valentus Oto	6 dm
1593	Fransoa Vijet	9 dm
1593	Adrijen van Romen	15 dm
1596	Ludolph van Ceulen	20 dm
1615	Ludolph van Ceulen	32 dm
1621	Vilebrord Snel (Snelije), Ludolphov učenik	35 dm
1665	Isaac Newton	16 dm
1699	Abraham Šarp	71 dm
1700	Seki Kova	10 dm
1706	John Machin	100 dm
1706	William Jones uveo grčko slovo 'πぱい;'
1730	Kamata	25 dm
1719	De Lanji izračunao 127 decimalnih mijesta, ali nisu sva bila tačna	112 dm
1723	Takebe	41 dm
1734	Leonhard Euler usvojio grčko slovo 'πぱい;' i obezbjedio njegovu popularnost;
1739	Macunaga	50 dm
1761	Johann Heinrich Lambert dokazao da је πぱい; iracionalni broj
1775	Euler ukazao na mogućnost da bi πぱい; mogao biti transcendentan
1789	Jurij Vega izračunao 140 decimalnih mijesta, ali nisu sva bila tačna	137 dm
1794	Adrijan-Mari Ležandr pokazao da je i πぱい;2 (pa samim tim i πぱい;) iracionalan, i spominje mogućnost da je πぱい moguće transecedentan.
1841	Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna	152 dm
1844	Zaharija Daze i Štrasnicki	200 dm
1847	Tomas Klauzen	248 dm
1853	Leman	261 dm
1853	Raderford	440 dm
1853	Vilijam Šenks	527 dm
1855	Rihter	500 dm
1874	William Shanks je posvetio 15 godina izračunavanju 707 decimalnih mijesta, ali nisu sva bila tačna (grešku je otkrio D. F. Ferguson 1946. godine)	527 dm
1882	Ferdinand Lindenmann dokazao da je πぱい; transcedentan (Lindeman-Vajerštrasova teorema, koju neki zovu i "najlijepšom teoremom cijele matematike")
1946	D. F. Ferguson koristeći stoni kalkulator	620 dm
1947		710 dm
1947		808 dm
Svi rekordi od 1949. nadalje izračunati su pomoću elektronskih računara.
1949	Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit bili su prvi koji su koristili elektronski računar (ENIAC) da izračunaju πぱい;	2,037 dm
1953	Maler pokazao da πぱい; nije Liuvilov broj
1955	Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit	3,089 dm
1961		100,000 dm
1966		250,000 dm
1967		500,000 dm
1974		1,000,000 dm
1992		2,180,000,000 dm
1995	Jasumasa Kanada	> 6,000,000,000 dm
1997	Kanada i Takahaši	> 51,500,000,000 dm
1999	Kanada i Takahaši	> 206,000,000,000 dm
2002	Kanada i tim	> 1,240,000,000,000 dm
2003	Kanada i tim	> 1,241,100,000,000 dm
April 2004	Kanada i tim	1.3511 bilion cifara ukupno

Numeričke aproksimacije broja πぱい;

Zbog transcedentne prirode broja πぱい;, ne postoje prikladni zatvoreni izrazi za πぱい;. Stoga, numerička izračunavanja moraju koristiti približne vrijednosti (aproksimacije) Broja. Za puno potreba, 3.14 ili 22/7 je dovoljno blizu, iako inženjeri često koriste 3.1416 ili 3.14159 (5, odnosno 6 značajnih cifara) radi veće preciznosti. Aproksimacije 22/7 i 355/113, sa 3 i 7 značajnih brojki, se dobijaju iz jednostavnog razvoja πぱい; u verižni razlomak.

Pored toga, sljedeća numerička formula daje aproksimaciju πぱい; sa 9 ispravnih cifara:

$(63/25)((17+15{\sqrt {5}})/(7+15{\sqrt {5}}))$

Egipatski pisar po imenu Ahmes је izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja πぱい;. Rajndov papirus datira iz egipatskog drugog srednjeg perioda — mada Ahmes tvrdi da je prepisivao papirus iz Srednjeg kraljevstva — i opisuje vrijednost tako da je dobijeni rezultat zapravo 256 podjeljeno sa 81, tj. 3.160.

Kineski matematičar Liu Hui je izračunao πぱい; do 3.141014 (tačno do 3 decimalna mesta) 263. godine i predložio da je 3.14 dobra aproksimacija.

Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za πぱい;. On je napisao: "Dodaj četiri na sto, pomnoži sa osam, a onda dodaj šezdesetdvijehiljade. Rezultat je približno jednak obimu kruga prečnika dvadesethiljada. Ovim pravilom dat je odnos između obima i prečnika." Drugim riječima, (4+100)×8 + 62000 je obim kruga prečnika 20000. Ovo daje vrijednost πぱい; = 62832/20000 = 3.1416, tačnu kada se zaokruži na 4 decimalna mesta.

Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao πぱい; do 3.1415926–3.1415927, i dao dvije aproksimacije: 355/113 i 22/7 (u 5. vijeku).

Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kaš (1350–1439) je izračunao πぱい; do 9 cifara u brojnom sistemu sa osnovom 60, što je ekvivalentno sa 16 decimalnih mesta kao:

2 πぱい; = 6.2831853071795865

Njemački matematičar Ludolph van Ceulen (оkо 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.

Slovenački matematičar Jurij Vega је 1789. izračunao prvih 140 decimala, od kojih je prvih 137 bilo tačno i držao je svjetski rekord 52 —sve do 1841—kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu John Machina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.

Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrijednosti broja πぱい;. Za brza izračunavanja, mogu se koristiti formule poput Machinove:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

zajedno sa Taylorovim razvojem funkcije arctan(x). Ova formula se najlakše provjerava korištenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:

$(5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244i.$

Formule ove vrste su poznate kao formule slične Machinove.

Ekstremno dugački decimalni razvoji broja πぱい; se po pravilu računaju Gauß-Legendreovim algoritmom i Borweinovim algoritmom; Salamin-Brentov algoritam koji potiče iz 1976. godine је također korišten u prošlosti.

Prvih milion cifara brojeva πぱい; i 1/πぱい; su dostupni na Projektu Gutenberg. Trenutni rekord (decembar 2002) ima 1 241 100 000 000 cifara, koje su izračunate u septembru iste godine na 64-čvornom Hitachi superračunaru sa jednim terabajtom radne memorije, koji vrši 2 biliona operacija u sekundi, skoro duplo više od računara korištenog za prethodni rekord (206 milijardi cifara). Korištene su sljedeće formule slične Machinaovoj:

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$ –K. Takano (1982).

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$ –F. C. W. Störmer (1896).

Ove približne vrijednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja πぱい;.

1996. godine David H. Bailey je, zajedno sa Peter Borwein i Simon Plouffe, otkrio novu formulu za πぱい u obliku zbira beskonačnog reda:

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

Ova formula omogućava da se lako izračuna k^ta binarna ili heksadecimalna cifra broja πぱい; bez potrebe za raöunanjem prethodnih k − 1 cifara. Baileyeva Internetska stranica sadrži izvođenje ove formule, kao i njenu implementaciju u raznim programskim jezicima. PiHeks projekat je izračunao 64-bite oko milijarditog bita broja πぱい; (koji je, uzgred, 0).

Ostale formule koje su do sada korištene za izračunavanje približnih vrijednosti πぱい uključuju:

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+...)\right)\right)\right)$ —Newton.

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$ —Srinivasa Ramanujan.

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$ —David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky.

${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}$ —Leonhard Euler.

Na računarima sa Microsoft Windows operativnim sistemom, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja πぱい izračunat na kućnom računaru je 25 000 000 000, za koje je PiFast-u trebalo 17 dana.

Otvorena pitanja

Otvoreno pitanje o ovom broju je da li je πぱい normalan broj — da li se ma koji blok cifara javlja u njegovom decimalnom razvoju upravo onoliko često koliko bi se statistički moglo očekivati ako bi se cifre proizvodile potpuno "nasumično". Ovo mora da bude tačno u bilo kojoj osnovi, a ne samo u dekadnom sistemu (osnovi 10). Sadašnje znanje u ovom smijeru je veoma oskudno; naprimjer, ne zna se čak ni koje se od cifara (0,...,9) pojavljuju beskonačno često u decimalnom razvoju ovog broja.

Bailey and Crandall su pokazali 2000. godine da postojanje gore pomenute Bailey-Borwein-Plouffe formule i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja πぱい i raznih drugih konstanti u osnovi 2 može svesti na izvjesnu razumnu pretpostavku u Teoriji haosa.

Također nije poznato da li su πぱい i e algebarski nezavisni, tj. da li postoji netrivijalna polinomska relacija između ova dva broja sa racionalnim koeficijentima.

John Harrison (1693–1776) je stvorio muzički sistem izveden iz πぱい. Ovaj Lucy tjuning sistem, (zbog jedinstvenih matematičkih osobina broja πぱい) može da oslika sve muzičke intervale, harmonije i harmonike. Ovo sugeriše da bi se korištenjem πぱい mogao dobiti precizniji model za analizu kako muzičkih, tako i drugih harmonika u vibrirajućim sistemima.

Priroda broja πぱい

U ne-euklidskoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od πぱい radijana, a odnos obima kruga i njegovog prečnika može se također razlikovati od πぱい. Ovo ne menja njegovu definiciju, ali utiče na mnoge formule gde se πぱい pojavljuje. Pa tako, posebno, oblik univerzuma ne utiče na πぱい; πぱい nije fizička nego matematička konstanta, definisana nezavisno od ma kakvih fizičkih mjerenja. Razlog zašto se πぱい pojavljuje tako često u fizici je jednostavno zato što je podesan u mnogim fizičkim modelima.

Posmatrajmo, kao primjer, Kulonov zakon:

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{r^{2}}}$.

Ovdje, $4\pi r^{2}\,$ je naprosto površina lopte poluprečnika r. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja r od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne — ili u nekim slučajevima zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao $F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$ čime se uklanja potreba za πぱい.

Spominjanja u fikciji

• Contact (Kontakt) - naučno-fantastično djelo Carl Sagana, a kasnije filmska adaptacija sa Jodie Foster. Sagan razmatra mogućnost potpisa, koji su u decimalni razvoj broja πぱい ugradili stvaraoci univerzuma.
• πぱい (film) - O vezi između brojeva i prirode: otkrivanje takve veze a da niste numerolog.
• Time's Eye (Oko vremena) - Naučna fantastika Arthur C. Clarkea i Stephen Baxtera. U svijetu koji su prestrojile vanzemaljske sile, primjećuje se sferična naprava čiji je odnos obima i prečnika po svim ravnima - tačan cijeli broj 3.

πぱい kultura

Postoji cijelo polje humorističkog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korištenje mnemonika za lakše pamćenje cifara πぱい i zove se pifilologija. Pogledajte Pi mnemonike za primjere na engleskom jeziku.

14. mart (3/14 u SAD) je Pi dan kojeg prosavlja veliki broj ljubitelja ovog broja. 22. jula, proslavlja se Dan aproksimacije broja pi (22/7 je popularna aproksimacija).

Štaviše, mnogi ljudi govore i o "pi satu" (3:14:15 je malo manje od pi sata; 3:08:30 bi bilo najbliže broju πぱい sati poslije podneva ili ponoći u cijelim sekundama).

Još jedan primjer matematičkog humora je slijedeća aproksimacija πぱい: Uzmite broj "1234", zamjenite mjesta prvim dvjema i posljednjim dvjema ciframa, tako da broj postaje "2143". Podjelite taj broj sa "dva-dva" (22, pa je 2143/22 = 97.40909...). Uzmite dvo-kvadratni korijen (četvrti korijen) od ovog broja. Konačan rezultat je izuzetno blizu πぱい: 3.14159265.

Također pogledajte

• Grčko pismo
• Geometrija
• Matematika
• Spisak formula koje sadrže πぱい

Vanjski linkovi

Cifre

• Tekst na "Project Gutenberg" koji sadrži milion cifara Pi
• Arhiv broja Pi

Proračuni

• Izračunavanje Pi: projekat otvorenog koda za izračunavanje Pi
• PiFast: brz program za računanje Pi sa velikim brojem cifara
• PiHeks projekat

Opći

• Historija broja Pi (engl.)
• Dokaz da je Pi iracionalan
• Pifakts - probijeni rekordi
• Formule za Pi
• PlanetMath: Pi

Mnemonici

(Svi mnemonici su na engleskom jeziku.)

• Jedan od popularnijih mnemonika za pamćenje Pi
• ANTREAS P. HATZIPOLAKIS: Pifilologija. Mjesto sa stotinama primjera mnemonika za Pi
• Pamćenje Pi kroz poeziju