Jedinični krug
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Unit_circle_angles_color.svg/220px-Unit_circle_angles_color.svg.png)
Jedinični krug je definisan kao krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom (radijusom) i čiji se centar u koordinatnom početku (0,0. Jedinični krug siječe x-osu u tačkama i i y-osu u tačkama i .
Ortogonalna projekcija tačke na x osu je , a na y- osu . Duži i su katete pravouglog trougla čije su dužine x i y.
je horizontalna a vertikalna dužina. Ugao je u standardnom položaju. Na osnovu definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sljedeće jednakosti:
Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravouglog trougla (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavaju jednačinu
Pošto je prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.
Trigonometrijske funkcije
[uredi | uredi izvor]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Einheitskreis_Ani.gif/220px-Einheitskreis_Ani.gif)
Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravouglih trougla mogu se prikazati odnosi između koordinata i uglova na jediničnom krugu. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu biti definisane na jediničnom krugu na sljedeći način. Ako je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ako duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim dijelom x-ose (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada važi:
Jednačina daje poznatu relaciju
sin |
cos |
tg |
cotg | ||
---|---|---|---|---|---|
1. kvadrant | 0–90° | + | + | + | + |
2. kvadrant | 90–180° | + | − | − | − |
3. kvadrant | 180–270° | − | − | + | + |
4. kvadrant | 270–360° | − | + | − | − |
Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:
za svaki cijeli broj k.
Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ako ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = radijana).
Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od . Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrijednost ugla. Ako je tačka A tačka jediničnog kruga onda su njene koordinate
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Rational_parameterization_of_unit_circle.svg/220px-Rational_parameterization_of_unit_circle.svg.png)
Druge tačke su određene koordinatama
Zamjenom dobijamo pitagorine trojke .
Kompleksna ravan
[uredi | uredi izvor]U kompleksnoj ravni jedinični krug predstavljen je skupom
Također pogledajte
[uredi | uredi izvor]Izvori
[uredi | uredi izvor]