ベッケンシュタイン境界きょうかい

物理ぶつり学がくでは、ベッケンシュタイン境界きょうかい（ベッケンシュタインきょうかい、Bekenstein bound）は、エントロピー S、あるいは、情報じょうほう量りょう I の上うえ界かいであり、与あたえられた有限ゆうげんな領域りょういきの空間くうかん内ないには有限ゆうげんなエネルギーしか持もたない、また逆ぎゃくに、与あたえられた量子りょうしレベルへ落おとした物理ぶつり系けいを完全かんぜんに記述きじゅつする情報じょうほうの最大さいだい量りょうがあることを意味いみする。^[1] このことは、物理ぶつり系けいの情報じょうほう量りょう、あるいは系けいを完全かんぜんに記述きじゅつするのに必要ひつような情報じょうほう量りょうは、空間くうかんの大おおきさやエネルギーが有限ゆうげんであれば、有限ゆうげんでなければいけないことを意味いみする。計算けいさん機き科学かがくでは、このことは有限ゆうげんの大おおきさとエネルギーを持もつ物理ぶつり系けいに対たいして最大さいだいの情報じょうほう量りょうプロセス率りつ（ブレマーマンの境界きょうかい（英語えいご版ばん）(Bremermann's limit)）が存在そんざいし、有限ゆうげんの物理ぶつり的てき次元じげんで無限むげんのメモリを持もつチューリングマシンは、物理ぶつり的てきに不可能ふかのうであることを意味いみする。^{[要よう出典しゅってん]}

式しき

T境界きょうかいの普遍ふへん的てきな形式けいしきは、元々もともとは、ヤコブ・ベッケンシュタイン(Jacob Bekenstein)により^[1]^[2]^[3]、不等式ふとうしき

S\leq {\frac {2\pi kRE}{\hbar c}}

として発見はっけんされた。ここに S はエントロピー、k はボルツマン定数ていすう、R は与あたえられた系けいを囲かこむことの可能かのうな球たまの半径はんけい、E はすべての不変ふへん質量しつりょうを含ふくむ全ぜん質量しつりょうエネルギー、ħ はディラック定数ていすう、c は光ひかり速度そくどである。重力じゅうりょくは力ちからとして重要じゅうような役割やくわりを果はたすが、それに対たいし、境界きょうかいの表現ひょうげんはニュートン定数ていすう G を含ふくまないことに注意ちゅういする。

情報じょうほう量りょうの項こうとして境界きょうかいは、

I\leq {\frac {2\pi RE}{\hbar c\ln 2}}

として与あたえられる。ここに I は球っきゅうの中なかの量子りょうし状態じょうたいを意味いみするビットの数かずであらわされる情報じょうほう量りょうである。ln 2 の要素ようそは、情報じょうほう量りょうを量子りょうし状態じょうたいの数かずの2進数しんすうの対数たいすうとして定義ていぎすることから来くる。^[4]質量しつりょうとエネルギーの等価とうか性せいを使つかうと、

I\leq {\frac {2\pi cRm}{\hbar \ln 2}}\approx 2.577\times 10^{43}(m/\mathrm {kg} )(R/\mathrm {m} )

起源きげん

ベッケンシュタインはブラックホールを意味いみする発見はっけん的てき方法ほうほうから境界きょうかいを導出みちびきだした。境界きょうかいを破やぶる、つまり、大おおきすぎるエントロピーを持もつような系けいは、ブラックホールの中なかでエントロピーを下さげることにより熱ねつ力学りきがく第だい二に法則ほうそくを破やぶることは可能かのうかもしれないとベッケンシュタインは論ろんじた。1995年ねんにテオドール・ジェイコブソン（英語えいご版ばん）(Theodore Jacobson)は、アインシュタイン場じょうの方程式ほうていしき（つまり一般いっぱん相対そうたい論ろん）がベッケンシュタイン境界きょうかいと熱ねつ力学りきがくの法則ほうそくが正ただしいことを前提ぜんていとすると導出どうしゅつできることを示しめした。^[5]^[6] しかしながら、熱ねつ力学りきがくの法則ほうそくと一般いっぱん相対そうたい性せいが互たがいに整合せいごう性せいを持もつために、ある境界きょうかいが存在そんざいする必要ひつようがあることを占しめることには数々かずかずの議論ぎろんがあるが、一方いっぽう、境界きょうかいの正確せいかくな定式ていしき化かは、論争ろんそうとなっている。^[2]^[3]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

例れい

ブラックホール

3次元じげんブラックホールのホーキング・ベッケンシュタインのエントロピーは、正確せいかくに境界きょうかい

S={\frac {kA}{4}}

で飽和ほうわすることが起おきる。ここに A はプランク面積めんせき $\hbar G/c^{3}$ の単位たんいでブラックホールの事象じしょうの地平線ちへいせんの 2次元じげん面積めんせきである。

境界きょうかいは密接みっせつに、ブラックホールの熱ねつ力学りきがくやホログラフィック原理げんりや量子りょうし重力じゅうりょくの共きょう変へんエントロピー境界きょうかい(covariant entropy bound)^[16]と関連かんれんしていて、後者こうしゃの予想よそうされている強つよい形かたちから導出どうしゅつすることができる。

人間にんげんの脳のう

平均へいきん的てきな人間にんげんの脳のうは、1.5 kg の重おもさと 1260 cm³ の体積たいせきを持もっている。脳のうが球たまに近似きんじしているとすると、球面きゅうめんの半径はんけいは 6.7 cm となる。

情報じょうほう量的りょうてきなベッケンシュタイン境界きょうかいは $\approx 2.6\times 10^{42}$ ビットとなり、量子りょうしレベルに落おとした平均へいきん的てきな人間にんげんの脳のうを完全かんぜんに再現さいげんするのに必要ひつような最大さいだいの情報じょうほう量りょうを表あらわしている。このことは、人間にんげんの脳のうの状態じょうたいの数かず $O=2^{I}$ が、 $\approx 10^{7.8\times 10^{41}}$ よりも小ちいさいはずであることを意味いみしている。

さらに先さきの文献ぶんけん

J. D. Bekenstein, "Black Holes and the Second Law", Lettere al Nuovo Cimento, Vol. 4, No 15 (August 12, 1972), pp. 737-740, doi:10.1007/BF02757029, Bibcode: 1972NCimL...4..737B . Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, "Black Holes and Entropy", Physical Review D, Vol. 7, No. 8 (April 15, 1973), pp. 2333-2346, doi:10.1103/PhysRevD.7.2333, Bibcode: 1973PhRvD...7.2333B . Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, "Generalized second law of thermodynamics in black-hole physics", Physical Review D, Vol. 9, No. 12 (June 15, 1974), pp. 3292-3300, doi:10.1103/PhysRevD.9.3292, Bibcode: 1974PhRvD...9.3292B . Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, "Statistical black-hole thermodynamics", Physical Review D, Vol. 12, No. 10 (November 15, 1975), pp. 3077-3085, doi:10.1103/PhysRevD.12.3077, Bibcode: 1975PhRvD..12.3077B . Mirror link.
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Jacob D. Bekenstein, "Energy Cost of Information Transfer", Physical Review Letters, Vol. 46, No. 10 (March 9, 1981), pp. 623-626, doi:10.1103/PhysRevLett.46.623, Bibcode: 1981PhRvL..46..623B . Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, "Specific entropy and the sign of the energy", Physical Review D, Vol. 26, No. 4 (August 15, 1982), pp. 950-953, doi:10.1103/PhysRevD.26.950, Bibcode: 1982PhRvD..26..950B .
Jacob D. Bekenstein, "Entropy content and information flow in systems with limited energy", Physical Review D, Vol. 30, No. 8, (October 15, 1984), pp. 1669-1679, doi:10.1103/PhysRevD.30.1669, Bibcode: 1984PhRvD..30.1669B . Mirror link.
Jacob D. Bekenstein, "Communication and energy", Physical Review A, Vol. 37, Issue 9 (May 1988), pp. 3437-3449, doi:10.1103/PhysRevA.37.3437, Bibcode: 1988PhRvA..37.3437B . Mirror link.
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脚注きゃくちゅう

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^ 共きょう変へんエントロピー境界きょうかいとはブゾー(Bousso)のホログラフィック境界きょうかいのこのことを言いっている。

外部がいぶリンク

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[16] 共きょう変へんエントロピー境界きょうかいとはブゾー(Bousso)のホログラフィック境界きょうかいのこのことを言いっている。

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