あみだくじ

あみだくじ（阿弥陀籤あみだくじ）とは、線せんのはしに当あたりはずれなどを書かいて隠かくし、各自かくじが引ひき当あてるくじのこと。現在げんざいは、平行へいこう線せんの間あいだに横線おうせんを入いれ、はしご状じょうにすることが多おおい。

もともとは、人数にんずう分ぶんの線せんを引ひき、一端いったんにそれぞれ異ことなる金額きんがくを書かいて隠かくし、各自かくじが引ひき当あてた金額きんがくを出ださせ、集あつめた金かねで茶菓子ちゃがしなどを買かい、平等びょうどうに分配ぶんぱいする仕組しくみだった。現在げんざいでは、用途ようとは広ひろがっており、何なにかの順番じゅんばんを決きめたり、何なにかでい争いあらそった場合ばあいに○を引ひき当あてた方ほうが勝かちとしたりして、幅広はばひろく利用りようされている。

論理ろんり[編集へんしゅう]

数学すうがく的まとには横線おうせんが何なん本ほんあっても、重複じゅうふくすることはない。このことは数学すうがく的てき帰納きのう法ほうや背理法はいりほうで証明しょうめいできる。

由来ゆらい[編集へんしゅう]

あみだくじは、室町むろまち時代ときよから行おこなわれていたが、現在げんざいのあみだくじと違ちがい、真まん中なかから外そとに向むかって放射線状ほうしゃせんじょうに人数にんずう分ぶんの線せんを書かいて、それを引ひいたものであった。これが阿弥陀如来あみだにょらいの後光ごこうに似にていたことから「『あみだ』くじ」と呼よばれるようになった^{[要よう出典しゅってん]}。

方法ほうほう[編集へんしゅう]

一般いっぱん的てきに行おこなわれている方法ほうほうは以下いかの通とおり。

用意ようい[編集へんしゅう]

紙かみにクジに参加さんかする人数にんずう分ぶんだけ縦たて線せんを平行へいこうに引ひく。
一方いっぽうの線せん端はし（上側うわがわ）には氏名しめいなどを記入きにゅうするための欄らんを空あけておき、もう一方いっぽう（下した側がわ）にはクジの結果けっかをあらかじめ書かいておく。
梯子はしご状じょうに横線おうせんを書かくが、互たがい違ちがいとなり横線おうせんが2つより多おおくの縦たて線せんに触ふれてはならない。
公平こうへい性せいを確認かくにんするため、クジの用意ようい者しゃ以外いがいの参加さんか者しゃも自由じゆうに横線おうせんを書かき加くわえる。この際さい、クジの下線かせん端はしは紙かみを折おるなどして見みえないようにする。
ジャンケンなどで上うえ線せん端はしを選えらぶ順序じゅんじょを決定けっていする。

引ひき方かた[編集へんしゅう]

順序じゅんじょに従したがい、重複じゅうふくしないように任意にんいの線せん端はしを選えらんでゆく。
全員ぜんいんが上うえ線せん端はしを選えらびしるしなどを付つけ終おわった後のち、クジの下線かせん端はしを開ひらく。
各々おのおの、自分じぶんの線せんを下したへ辿たどってゆく。辿たどるルールとしては、必かならず下しも方向ほうこうへ行いく、横線おうせんがあれば必かならず曲まがる、がある。
たどり着ついた場所ばしょに書かいてあることが選えらんだクジの結果けっかとなる。

確かく率りつ[編集へんしゅう]

隣となりの縦たて線せんを結むすぶ横よこ棒ぼうのみを書かくという標準ひょうじゅん的てきなルールでは、横よこ棒ぼうがランダムに書かかれたとしても、あみだくじでそれぞれのくじに当あたる確かく率りつは等ひとしくない。

これは、横よこ棒ぼうが非常ひじょうに少すくないケースを考かんがえればわかりやすい。もし横よこ棒ぼうが1本ほんもなければ、真下ましたのくじが確かく率りつ1 (100%) で当あたる。1本ほんなら、当あたりうるのは真下ましたかその隣となりのみで（それぞれの確かく率りつはくじの本数ほんすうによる）、ほかのくじの確かく率りつは0である。

横よこ棒ぼうによるくじの入いれ替かえは1次元じげんランダムウォークなので、横よこ棒ぼうの数かずが十分じゅうぶんに多おおいと、確かく率りつ分布ぶんぷは正規せいき分布ぶんぷに漸近ぜんきんし、その平均へいきんは真下ました、標準ひょうじゅん偏差へんさは通過つうかする横よこ棒ぼうの本数ほんすうの期待きたい値ちの平方根へいほうこんとなる（ただし、分布ぶんぷの裾野すそのが右みぎか左ひだりの端はしに達たっすると、より複雑ふくざつな挙動きょどうを見みせる）。つまり、真下ましたが最もっとも確かく率りつが高たかく、離はなれるにつれて確かく率りつが低ひくくなる。これは横よこ棒ぼうが増ふえるほど平坦へいたんになるが、決けっして完全かんぜんに平坦へいたんにはならない。

確かく率りつをおおよそ（完全かんぜんにではない）等ひとしくするには、上うえで述のべた標準ひょうじゅん偏差へんさ σしぐま が、くじの本数ほんすうを N として N － 1 程度ていどより大おおきければよい（正確せいかくな計算けいさんをするには適切てきせつな定数ていすう係数けいすうを求もとめる必要ひつようがあるが、ここでは定数ていすう係数けいすうを省略しょうりゃくしておおざっぱな推算すいさんをする）。1本ほんの横よこ棒ぼうに着目ちゃくもくすると N 人中ひとなか2人にんがその横よこ棒ぼうを通過つうかするので、おおよそ必要ひつような横よこ棒ぼうの本数ほんすうを n とすると、

N-1\lesssim \sigma ={\sqrt {\frac {2n}{N}}}\approx {\sqrt {\frac {n}{N}}}

となり（ここでも定数ていすう係数けいすうを省略しょうりゃくした）、これから

n\gtrsim N(N-1)^{2}

となる。くじが5本ほんでも、100本ほん程度ていどは横よこ棒ぼうを引ひかないと、確かく率りつはほぼ等ひとしくはならない。実際じっさいのあみだくじではそんなに多おおくの横よこ棒ぼうを引ひかないので、確かく率りつの不ふ均等きんとうはかなり残のこることになる。

またもうひとつの問題もんだいとして偶奇性せいがある。1人ひとり1本ほんずつの横よこ棒ぼうを書かくなど横よこ棒ぼうの数かずが決きまっているなら、偶数ぐうすう本ほんなら偶置換ちかん、奇数きすう本ほんなら奇き置換ちかんしかおこらない。たとえば、横よこ棒ぼうが奇き数すう本ほんなら、全員ぜんいんが真下ましたのくじを引ひくという結果けっかは決けっして起おこらない。ただし、意味いみが同どうじくじがある（外はずれはどれでも同おなじなど）ケースではこれは問題もんだいとはならない。