くりこみ群ぐん

くりこみ群ぐん（くりこみぐん、（英えい: renormalization group）とは、くりこみ変換へんかんにより構成こうせいされる半はん群ぐんである。名前なまえでは「群ぐん」とついているが、実際じっさいは「群ぐん」ではなく「半はん群ぐん」である点てんは注意ちゅういすべきことである。

くりこみ変換へんかん[編集へんしゅう]

「くりこみ変換へんかん」とは、直感ちょっかん的てきに言いうとスケール変換へんかんをして粗あら視し化かすることである。量子りょうし論ろん的てき場ばの理論りろんの理解りかいでは素粒子そりゅうしは半径はんけいを持もたないので任意にんいのスケール変換へんかんに対たいし、元もとのスケールの粒子りゅうし描像に新あらたに量子りょうし補正ほせいを取とり入いれた粒子りゅうしを「変換へんかん後ごのスケールにおける粒子りゅうし」と再さい定義ていぎすることが可能かのうである。つまりスケール変換へんかんに応おうじて質量しつりょうや結合けつごう定数ていすうの異ことなる粒子りゅうし描像に移行いこうすることになる。

理論りろんのパラメータが1つである典型てんけい的てきな場合ばあいを考かんがえる。パラメータ^[1]が $x$ であるとして、スケール変換へんかん

x\longrightarrow x/t\qquad t>0

を考かんがえる。この時とき、 $x$ に依存いぞんする量りょう $g$ ^[2]が

g\longrightarrow G(t,g)

のように変換へんかんされると仮定かていする。したがって、 $\;G(t,g)\;$ の初期しょき条件じょうけんは

G(1,g)=g

で与あたえられる。パラメータ $x$ と $g$ の対たい $(x,g)$ は空間くうかん $M:=(0,\infty )\times \mathbb {R}$ の点てんと考かんがえられるので、写像しゃぞう $(x,g)\longrightarrow (x/t,G(t,g))\;$ は $\;M\;$ の中なかへの写像しゃぞうだと見みなせる。

今いま、変換へんかん $\;(x,g)\longrightarrow (x/t,G(t,g))\;$ を

$R_{t}{\begin{pmatrix}x\\g\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/t\\G(t,g)\end{pmatrix}}$

と書かき、関係かんけい式しき

R_{s}R_{t}=R_{ts}

を満足まんぞくしているものと仮定かていする^[3]。このとき、単位たんい元もとは $R_{1}$ であり、任意にんいの $R_{s},R_{t}$ に対たいして $R_{t}R_{s}=R_{s}R_{t}$ が分わかるので^[4]、集合しゅうごう $\{R_{t}|t>0\}$ は、可か換かわ半はん群ぐんをなすことが分わかる^[5]。この $\{R_{t}|t>0\}$ を「くりこみ変換へんかん」と呼よぶ。

くりこみ群ぐん方程式ほうていしき[編集へんしゅう]

くりこみ群ぐん方程式ほうていしきとは、端はし的てきにいえば、理論りろんのパラメータのスケール変換へんかんに対たいして物理ぶつり量りょうがどのように応答おうとうするかを記述きじゅつする偏へん微分びぶん方程式ほうていしきのことである。

くりこみ変換へんかんの関係かんけい式しきを、 $G(t,g)$ の言葉ことばで書かくと、

G(ts,g)=G(s,G(t,g)),

と表現ひょうげんできる^[6]。これは、関数かんすう等式とうしきとしての「くりこみ群ぐん方程式ほうていしき」である。このままでは扱あつかいにくいので、普通ふつうは $G(t,g)$ の微分びぶん可能かのう性せいを仮定かていし、偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの形かたちに直なおす。そのためには、 $x=st$ とおいて、上うえ式しきの両辺りょうへんを $t$ で微分びぶんして $t=1$ とおけばよい。得えられる式しきは

x{\frac {\partial }{\partial x}}G(x,g)-\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}G(x,g)=0,

である。ただし、 $\beta (g)$ は

\beta (g)=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}G(t,g)\right|_{t=1},

で定義ていぎされる。このような偏へん微分びぶん方程式ほうていしきを、「Gell-Mann=Low型がたのくりこみ群ぐん方程式ほうていしき」という。「Gell-Mann=Low型がたのくりこみ群ぐん方程式ほうていしき」とは異ことなり、非ひ同どう次項じこうを持もつくりこみ群ぐん方程式ほうていしきが現あらわれることもある。そのようなタイプの方程式ほうていしきは、「Callan-Symanzik型がたのくりこみ群ぐん方程式ほうていしき」と呼よばれる^[7]。

得えられた方程式ほうていしきは1階かいの線型せんけい偏へん微分びぶん方程式ほうていしきであるので、特性とくせい方程式ほうていしき

{\frac {dx}{x}}=-{\frac {dg}{\beta (g)}}

を解といて一般いっぱん解かいを求もとめることができ^[8]、それは

\phi (F(g)+\ln x)

で与あたえられる。ただし、 $F(g)$ は、

{\frac {dF(g)}{dg}}={\frac {1}{\beta (g)}}

を満足まんぞくする関数かんすう、 $\phi (z)$ は $z$ の任意にんい関数かんすうである。ここで、初期しょき条件じょうけん

G(1,g)=g

により $\phi (x)$ は $F^{-1}(x)$ であることが分わかるので^[9]、結局けっきょく、

G(x,g)=F^{-1}(F(g)+\ln x)

が解かいである。

関数かんすう $\beta (g)$ は、物理ぶつり量りょうのスケール変換へんかんの応答おうとうを決定けっていする重要じゅうような量りょうで、ベータ関数かんすう^[10]と呼よばれる。ベータ関数かんすうをどうやって求もとめるかは重要じゅうような問題もんだいだが、摂動せつどう計算けいさんによる以外いがい、事実じじつ上じょう、方法ほうほうはない。

場ばの理論りろんで $g$ を頂点ちょうてん関数かんすうなどに選えらび、 $x$ をくりこみ点てん $\mu ^{2}$ に選えらんだ場合ばあい、 $g$ の $x$ 依存いぞん性せいは、いくつかの関数かんすう $f_{i}$ ^[11]を通とおして現あらわれる。よって、このときのくりこみ群ぐん方程式ほうていしきは、

x{\frac {\partial }{\partial x}}G(x,f_{1},\dots ,f_{n})-\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\frac {\partial }{\partial f_{i}}}G(x,f_{1},\dots ,f_{n})=0,

ベータ関数かんすうは

\beta _{i}(f_{1},\dots ,f_{n}):=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{i}\right|_{t=1},

となる。

応おう用例ようれい[編集へんしゅう]

参考さんこう文献ぶんけん[編集へんしゅう]

数学すうがくセミナー増刊ぞうかん数学すうがく・物理ぶつり100の方程式ほうていしき、日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、1989年ねん,ISBN 4-535-70409-0
S. Coleman, "Dilatation" in Aspect of Symmetry, Cambridge University Press, 1985, ISBN 0 521 31827 0
九きゅう後ご汰一郎いちろう、ゲージ場じょうの量子りょうし論ろんⅡ、培風館ばいふうかん、1989年ねん、ISBN 4-563-02424-4

脚注きゃくちゅう[編集へんしゅう]

^ 例たとえば、くりこみ点てん $\mu ^{2}$ や、カットオフ理論りろんでのカットオフ $\Lambda$ 。
^ 例たとえば、グリーン関数かんすうや頂点ちょうてん関数かんすうなど。
^ 物理ぶつり量りょう $g$ がこの関係かんけい式しきを満足まんぞくするかどうかは、モデルや $g$ の選えらび方かたによるので、問題もんだいごとにチェックしなければならない。
^ なぜなら、 $ts=st$ であるから。
^ ブロックスピンやウィルソン流りゅうのくりこみなどから分わかるように、くりこみ変換へんかんは1種しゅの粗そ子こ化か、平均へいきん化かであるので、1度どくりこみ変換へんかんをしてしまうと逆ぎゃく変換へんかんを求もとめることは不可能ふかのうである。これは数学すうがく的てきには逆ぎゃく元もとが存在そんざいしないことと等価とうかであるので、群ぐんにはなりえず、半はん群ぐんどまりになる。
^ 左辺さへんは、一気いっきに $ts$ だけスケール変換へんかんしたことに相当そうとうし、右辺うへんは、先さきに $t$ だけスケール変換へんかんし、続つづけて $s$ 分ぶん変換へんかんしたことに相当そうとうする。
^ 厳密げんみつに言いって「Callan-Symanzik型がた」はくりこみ群ぐん方程式ほうていしきでは「ない」。しかし、くりこみと関係かんけいしているために、くりこみ群ぐん方程式ほうていしきと呼よばれることが多おおい。「Callan-Symanzik型がた」の場合ばあいは、理論りろんの質量しつりょうをスケール変換へんかんしたときの応答おうとうを考かんがえることで得えられる。
^ ただし、関数かんすう $\beta (g)$ は既知きちだと仮定かていする。
^ 逆ぎゃく関数かんすう $F^{-1}(x)$ の存在そんざいは仮定かていする
^ 特殊とくしゅ関数かんすうのベータ関数かんすう $B(p,q)$ とは無関係むかんけい。
^ 波動はどう関数かんすうのくりこみ $Z$ 、質量しつりょうのくりこみ $\delta m$ 、結合けつごう定数ていすうのくりこみ $Z_{3}$ など。

この項目こうもくは、自然しぜん科学かがくに関連かんれんした書かきかけの項目こうもくです。この項目こうもくを加筆かひつ・訂正ていせいなどしてくださる協力きょうりょく者しゃを求もとめています（Portal:自然しぜん科学かがく）。

[1] 例たとえば、くりこみ点てん $\mu ^{2}$ や、カットオフ理論りろんでのカットオフ $\Lambda$ 。

[2] 例たとえば、グリーン関数かんすうや頂点ちょうてん関数かんすうなど。

[3] 物理ぶつり量りょう $g$ がこの関係かんけい式しきを満足まんぞくするかどうかは、モデルや $g$ の選えらび方かたによるので、問題もんだいごとにチェックしなければならない。

[4] なぜなら、 $ts=st$ であるから。

[5] ブロックスピンやウィルソン流りゅうのくりこみなどから分わかるように、くりこみ変換へんかんは1種しゅの粗そ子こ化か、平均へいきん化かであるので、1度どくりこみ変換へんかんをしてしまうと逆ぎゃく変換へんかんを求もとめることは不可能ふかのうである。これは数学すうがく的てきには逆ぎゃく元もとが存在そんざいしないことと等価とうかであるので、群ぐんにはなりえず、半はん群ぐんどまりになる。

[6] 左辺さへんは、一気いっきに $ts$ だけスケール変換へんかんしたことに相当そうとうし、右辺うへんは、先さきに $t$ だけスケール変換へんかんし、続つづけて $s$ 分ぶん変換へんかんしたことに相当そうとうする。

[7] 厳密げんみつに言いって「Callan-Symanzik型がた」はくりこみ群ぐん方程式ほうていしきでは「ない」。しかし、くりこみと関係かんけいしているために、くりこみ群ぐん方程式ほうていしきと呼よばれることが多おおい。「Callan-Symanzik型がた」の場合ばあいは、理論りろんの質量しつりょうをスケール変換へんかんしたときの応答おうとうを考かんがえることで得えられる。

[8] ただし、関数かんすう $\beta (g)$ は既知きちだと仮定かていする。

[9] 逆ぎゃく関数かんすう $F^{-1}(x)$ の存在そんざいは仮定かていする

[10] 特殊とくしゅ関数かんすうのベータ関数かんすう $B(p,q)$ とは無関係むかんけい。

[11] 波動はどう関数かんすうのくりこみ $Z$ 、質量しつりょうのくりこみ $\delta m$ 、結合けつごう定数ていすうのくりこみ $Z_{3}$ など。

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]