繰くり込こみ

場ばの量子りょうし論ろん
(ファインマン・ダイアグラム)
歴史れきし
背景はいけい 量子力学りょうしりきがく 場ばの理論りろん ゲージ理論りろん ヤン＝ミルズ理論りろん 自発じはつ的てき対称たいしょう性せいの破やぶれ ポアンカレ群ぐん 対称たいしょう性せい 荷電かでん共役きょうやく対称たいしょう性せい 交叉こうさ対称たいしょう性せい パリティ 時間じかん反転はんてん対称たいしょう性せい（T対称たいしょう性せい） 方法ほうほう 量子りょうし異常いじょう（アノマリー） 有効ゆうこう場じょうの理論りろん 真空しんくう期待きたい値ち ファデエフ＝ポポフゴースト ファインマン・ダイアグラム 格子こうしゲージ理論りろん LSZ簡約かんやく公式こうしき 分配ぶんぱい関数かんすう 伝播でんぱ関数かんすう 量子りょうし化か 繰くり込こみ 真空しんくう状態じょうたい ウィックの定理ていり ワイトマンの公理系こうりけい 方程式ほうていしき ディラック方程式ほうていしき クライン–ゴルドン方程式ほうていしき プロカ方程式ほうていしき ホイーラー・ドウィット方程式ほうていしき 標準ひょうじゅん模型もけい 量子りょうし電磁でんじ力学りきがく 量子りょうし色しょく力学りきがく ワインバーグ＝サラム理論りろん ヒッグス機構きこう 未み完成かんせい理論りろん 量子りょうし重力じゅうりょく理論りろん 弦つる理論りろん 超ちょう対称たいしょう性せい テクニカラー 万物ばんぶつの理論りろん 科学かがく者しゃ アドラー • ベーテ • ボゴリューボフ • カラン • キャンドリン • コールマン • ドウィット • ディラック • ダイソン • フェルミ • ファインマン • フィールツ • フレーリッヒ • ゲルマン • ゴールドストーン • グロス • トホーフト • ジャッキーヴ • クライン • ランダウ • 李り政道まさみち • レーマン • マヨラナ • 南部なんぶ • パリージ • ポリャコフ • アブドゥッサラーム • シュウィンガー • スキルム • シュテュッケルベルク • シマンチク • 朝永あさなが • フェルトマン • ワインバーグ • ワイスコフ • ウィルソン • ウィルチェック • ウィッテン • 楊振寧やすし • 湯川ゆかわ • ジマーマン

繰くり込こみ（くりこみ、アメリカ英語えいご：Renormalization イギリス等とう英語えいご及およびフランス語ふらんすご：Renormalisation ）とは、場ばの量子りょうし論ろんで使つかわれる、計算けいさん結果けっかが無限むげん大だいに発散はっさんしてしまうのを防ふせぐ数学すうがく的てきな技法ぎほうであり、同時どうじに場ばの量子りょうし論ろんが満みたすべき最さい重要じゅうような原理げんりのひとつでもある。

くりこみにより、場ばの量子りょうし論ろんを電磁でんじ相互そうご作用さように適用てきようした量子りょうし電磁でんじ力学りきがくが完成かんせいした。場ばの量子りょうし論ろんにくりこみを用もちいる方法ほうほうは、以後いごの量子りょうし色しょく力学りきがくおよびワインバーグ・サラム理論りろんを構築こうちくする際さいの規範きはんとなる。

概要がいよう

「量子りょうし電磁でんじ力学りきがく」、「場ばの量子りょうし論ろん」、および「ゲージ理論りろん」を参照さんしょう

量子力学りょうしりきがくの摂動せつどう論ろんでは相互そうご作用さよう項こうを含ふくまない自由じゆうハミルトニアンの固有こゆう状態じょうたいを初期しょき状態じょうたいにしてその時間じかん発展はってんを求もとめるため、相互そうご作用さようを通つうじて自由じゆうハミルトニアンが保存ほぞんしない中間ちゅうかん状態じょうたいにも遷移せんい可能かのうである（不ふ確定かくてい性せい原理げんり参照さんしょう）。場ばの量子りょうし論ろん (QFT) ではそのような中なか間あいだ状態じょうたいが無限むげんにある。中間なかま状態じょうたいに存在そんざい可能かのうな運動うんどう量りょうを積分せきぶんすると特定とくていの過程かていに関かんして運動うんどう量りょうや質量しつりょう、結合けつごう定数ていすうに関かんする発散はっさんが発生はっせいする。しかし実際じっさいの物理ぶつり現象げんしょうはこのような発散はっさんを示しめさず、量子りょうし補正ほせいに現あらわれる発散はっさんは非ひ物理ぶつり的てきであると理解りかいされるべきである。

簡単かんたんな例れいとしてスカラー4点てん理論りろんの、次元じげん正則せいそく化か法ほうにおける2点てん間あいだ数すうの1-loop補正ほせいは

$\Pi (k^{2},m_{s}^{2})={\frac {i}{16\pi ^{2}}}m_{s}^{2}\left({\frac {2}{\epsilon }}+(1-\gamma )+\log {\frac {m_{s}^{2}}{4\pi \mu ^{2}}}+{\mathcal {O}}(\epsilon )\right)$

と書かける。ここで$k$ はスカラー場じょうの外線がいせん運動うんどう量りょう、$\gamma$ はオイラー定数ていすう、$m_{s}$ はスカラー場じょうの質量しつりょう、 $\epsilon$ は次元じげん正則せいそく化かにおいてdの4次元じげん極限きょくげんで0となる量りょう、ここでは$4-d\equiv \epsilon$ であり、括弧かっこ内ないの末すえ項こうは4次元じげん極限きょくげんで消滅しょうめつする $\epsilon$ の一いち次じ以上いじょうの項こうである。$\mu$ は後述こうじゅつするくりこみスケールであり、粒子りゅうしの散乱さんらんなどを考かんがえる際さいは外線がいせんの運動うんどう量りょう $k$ が相当そうとうする。ここで括弧かっこ内ないの第だい一いち項こうに発散はっさんが現あらわれていることが分わかる。この式しきでは左辺さへんは外線がいせん運動うんどう量りょうの関数かんすうとして書かかれているが右辺うへんは外線がいせん運動うんどう量りょうを含ふくまない関数かんすう系けいとなっている。これはスカラー4点てん理論りろん特有とくゆうの結果けっかであり、一般いっぱんにフェルミオンやベクトル場じょうを含ふくむ理論りろんでは外線がいせん運動うんどう量りょうを含ふくむ項こうが右辺うへんに現あらわれる。右辺うへんに現あらわれる発散はっさんが上記じょうきの非ひ物理ぶつり的てき発散はっさんであり、これらの無限むげん大だいは電子でんしの質量しつりょうや結合けつごう定数ていすうなどの理論りろんのパラメータの再さい定義ていぎによって取とり除のぞくことができる。具体ぐたい的てきには、発散はっさんしているパラメータ（裸はだかのパラメータ）を用もちいて記述きじゅつされている理論りろんからスタートし、裸はだかの理論りろんを物理ぶつり的てきなパラメータに対応たいおうする部分ぶぶん（くりこまれたパラメータ）と非ひ物理ぶつり的てきな発散はっさん部分ぶぶん（counter term）に切きり離はなし、くりこまれた量りょうを用もちいて量子りょうし補正ほせいを計算けいさんした結果けっか現あらわれる発散はっさんとcounter termを相殺そうさいさせるという計算けいさん法ほうが最もっとも簡単かんたんである。例たとえばスカラー4点てん理論りろんにおける二に点てん関数かんすうに関かんしては「裸はだかの」ラグランジアン

${\mathcal {L}}_{B}={\frac {1}{2}}\phi _{B}(\partial _{\mu }^{2}-m_{sB}^{2})\phi _{B}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{B}^{4}$

の裸はだかの質量しつりょうに関かんして

$m_{sB}^{2}={\frac {Z_{m}}{\sqrt {Z_{\phi }}}}m_{sR}^{2}\equiv m_{sR}^{2}+(Z_{m}^{1}-1)m_{sR}^{2}$

と、くりこまれた有限ゆうげんの質量しつりょうパラメータ $m_{sR}^{2}$ を定義ていぎすることで裸はだかの質量しつりょうから発散はっさんを切きり離はなす。$Z_{m},Z_{\phi }$はそれぞれ質量しつりょう、波動はどう関数かんすうに関かんするくりこみ係数けいすうと呼よばれる発散はっさんする係数けいすうである。スカラー4点てん理論りろんでは波動はどう関数かんすうくりこみが存在そんざいしないため通常つうじょう$Z_{\phi }=1$とする。最さい右辺うへんの初はつ項こうがくりこまれた質量しつりょうパラメータ、二に項目こうもくがcounter termとなる。Counter termとくりこまれたパラメータで書かかれた量子りょうし補正ほせいによる発散はっさんの相殺そうさい条件じょうけんの一ひとつとして

$(Z_{m}^{1}-1)={\frac {i}{16\pi ^{2}}}{\frac {2}{\epsilon }}$

というくりこみ条件じょうけんを与あたえることが出来できる（minimal subtraction scheme）。この条件下じょうけんかでは最早もはや量子りょうし補正ほせいから発散はっさん部分ぶぶんが取とり払はらわれていることが分わかる。

また上記じょうきのようにこれは次元じげん正則せいそく化か法ほうによる計算けいさん方法ほうほうであり、量子りょうし補正ほせいにおける発散はっさんを取とり出だす方法ほうほうはこの限かぎりではない。例たとえば運動うんどう量りょうの紫むらさき外がい切断せつだんによる正則せいそく化か法ほうではスカラー場じょうの二に点てん関数かんすうに対たいする補正ほせいは

$\Pi (k^{2},m_{s}^{2})={\frac {i}{16\pi ^{2}}}\left(\Lambda ^{2}+m_{s}^{2}\log {\frac {m_{s}^{2}}{4\pi \Lambda ^{2}}}\right)$

と書かける。ここで$\Lambda$は運動うんどう量りょうの紫むらさき外がい切断せつだん点てんである。理論りろんの紫むらさき外がい切断せつだんが非常ひじょうに高たかい場合ばあいは量子りょうし補正ほせいにおける発散はっさんはいわゆる二に次じ発散はっさん：$\Lambda ^{2}$として現あらわれる。量子りょうし補正ほせいやそこから現あらわれる発散はっさんを扱あつかう場合ばあいには、くりこみ処方しょほう同様どうように正則せいそく化か処方しょほうを計算けいさん目的もくてきに合あわせて選えらぶ必要ひつようがある。(実際じっさいの計算けいさん目的もくてきではなく理論りろんの形式けいしきとしては、紫むらさき外がい切断せつだんは積分せきぶんの範囲はんいを定数ていすうで固定こていするためローレンツ共ども変性へんせいを満みたさないのに対たいし、次元じげん正則せいそく化かはローレンツ共きょう変性へんせいを満みたす利点りてんがある。)

くりこみ可能かのう性せい

ところがあらゆる場ばの理論りろんにくりこみ処方しょほうが有効ゆうこうである訳わけではない。理論りろんの中なかに現あらわれる発散はっさんが有限ゆうげん個こで済すむかどうかという情報じょうほうはくりこみを適用てきようする上じょうで重要じゅうようである。有限ゆうげん個このcounter termで理論りろんのすべての無限むげん大だいを取とり除のぞくことができる理論りろんをくりこみ可能かのうであるという。素粒子そりゅうし標準ひょうじゅん模型もけいにおけるゲージ理論りろん、すなわち量子りょうし電磁でんじ力学りきがく (QED) 、ワインバーグ・サラム理論りろん、量子りょうし色しょく力学りきがく (QCD) は結合けつごう定数ていすうが質量しつりょう次元じげん零れいのゲージ理論りろんであり、くりこみ可能かのうであることが知しられている。（くりこみ可能かのうを数学すうがく的てき帰納きのう法ほうで証明しょうめいするには、まず低てい次つぎで可能かのうであることを実際じっさいに計算けいさんして示しめし、次つぎにｎ次つぎまでくりこみ可能かのうならばｎ＋１次じでも可能かのうである事ことをウォードの恒等こうとう式しきにより示しめす。ウォードの恒等こうとう式しきが成なりたない事ことをゲージ異常いじょう（ゲージ・アノマリ）と呼よぶ。ゲージ異常いじょうがあると単純たんじゅんには、くりこみ不可能ふかのうである。QCDにおいてゲージ異常いじょうをゼロに相殺そうさいするには、クォークのフレーバー数すうが６であることが必要ひつようである(小林こばやし・益えき川がわ)。なお、ゲージ異常いじょうはアティヤ・シンガーの指数しすう定理ていりと関連かんれんしている。また、ウォードの恒等こうとう式しきは、ゲージ理論りろんの種類しゅるいにより、ウォード・高橋たかはし・スラブノフ・テイラーの恒等こうとう式しきに拡張かくちょうされる。）また標準ひょうじゅん模型もけいにおけるHiggs自身じしんの結合けつごう、Higgsとフェルミオンの結合けつごう（湯川ゆかわ結合けつごう）のいずれも質量しつりょう次元じげんを持もたない結合けつごう定数ていすうによる理論りろんであるためくりこみが適用てきようできる。しかし理論りろんの結合けつごう定数ていすうが負まけの質量しつりょう次元じげんを持もつと発散はっさん自体じたいの数かずが、描えがけるファインマンダイアグラムの数かずだけ増ふえる。摂動せつどう論ろんの高次こうじまで考慮こうりょすると、発散はっさん自体じたいが無限むげんに現あらわれ、発散はっさんをパラメータの再さい定義ていぎで吸収きゅうしゅうしきれなくなり、この場合ばあいはくりこみ不可能ふかのうである。ワインバーグ・サラム模型もけいの低ていエネルギー有効ゆうこう理論りろんである4点てんフェルミ結合けつごうなどはこれにあたる。また結合けつごう定数ていすうが正せいの質量しつりょう次元じげんを持もつ理論りろんは上記じょうきの理論りろんに比くらべ発散はっさんが少すくなく現あらわれるためcounter termも少すくなくて済すむ。この場合ばあいは超ちょうくりこみ可能かのうである、という。Higgsの自己じこ結合けつごうなどに現あらわれるスカラーの3点てん結合けつごうなどはこれに当あたるが、特とくに問題もんだいになることがないため単たんにくりこみ可能かのうな理論りろんとして扱あつかわれる。

重力じゅうりょくを記述きじゅつする一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんはゲージ理論りろんであるが、重力じゅうりょく結合けつごう定数ていすうは負まけの質量しつりょう次元じげんを持もっており、くりこみが不可能ふかのうであるので量子りょうし場じょうの理論りろんを適用てきようすると無限むげんの発散はっさんが現あらわれる。そのため重力じゅうりょくの寄与きよが無視むしできなくなる高こうエネルギー領域りょういきにおいては量子りょうし場じょうの理論りろんに代かわる量子りょうし重力じゅうりょく理論りろんが必要ひつようと考かんがえられている。

くりこみスケール

くりこみを用もちいる方法ほうほうでは、有限ゆうげんな（繰くり込こまれた）物理ぶつり定数ていすうと、引ひき去さるべき無限むげん大だいを含ふくんだcounter termで理論りろんを構築こうちくするのは前述ぜんじゅつの通とおりである。ところが発散はっさんの取とり除のぞき方かたは一いち通とおりではなく、条件じょうけんに応おうじて物理ぶつり的てきなパラメータがどの値ねなのかを逐一ちくいち解釈かいしゃくする必要ひつようがある。

距離きょりないしはエネルギーのスケールによって、物理ぶつり定数ていすうに対たいしての輻射ふくしゃ補正ほせいの大おおきさは異ことなる。そのため、くりこみの際さいにどのスケールで観測かんそくされる物理ぶつり定数ていすうの値ねを用もちいるのかについては、一いち通とおりに定さだまらないのである。理論りろんのくりこみを行おこなうに際さいしては、くりこみ条件じょうけんを定さだめるスケールを、基準きじゅんとして一ひとつ選えらぶ必要ひつようがある。そのスケールを、理論りろんのくりこみ点てんまたはくりこみスケールと呼よぶ。

くりこみスケールの値ねはあくまで便宜べんぎ的てきなものであって、低ていエネルギーのくりこみスケールを選えらんだからといって高こうエネルギーの物理ぶつりが説明せつめいできなくなるといった事ことは起おこらない。繰くり込こまれた摂動せつどう論ろんはくりこみスケールに関係かんけいなく、任意にんいのスケールで適用てきよう可能かのうである。これは議論ぎろんするスケールを限定げんていする事ことによって裸はだかの物理ぶつり定数ていすうを有限ゆうげん値ちで定義ていぎする、有効ゆうこう場じょうの理論りろんの処方しょほうとは対照たいしょう的てきである。くりこみ群ぐんの言葉ことばで言いえば、各かくスケールの有効ゆうこう理論りろん同士どうしを結むすびつけるのがくりこみ群ぐんフローであるが、ある一ひとつの繰くり込こまれた理論りろんに対たいしては、全ぜんスケールに渡わたって定義ていぎされた一ひとつのくりこみ群ぐんフローが対応たいおうする。

一方いっぽうで繰くり込こまれた理論りろんにおいても、くりこみスケールを変かえた時ときの物理ぶつり定数ていすうの変化へんかについては、くりこみ群ぐんを用もちいた扱あつかいが可能かのうである。この方法ほうほうにより、結合けつごう定数ていすうのベータ関数かんすうが定義ていぎされる。

歴史れきし

詳細しょうさいは「量子りょうし電磁でんじ力学りきがく#歴史れきし」および「場ばの量子りょうし論ろん#歴史れきし」を参照さんしょう

1930年代ねんだいに量子りょうし電磁でんじ力学りきがくが発展はってんしていく過程かていで、マックス・ボルン、ヴェルナー・ハイゼンベルク、パスクアル・ヨルダンおよびポール・ディラックは摂動せつどう計算けいさんにおいて多おおくの積分せきぶんが発散はっさんすることを発見はっけんした。1930年代ねんだい、発散はっさんを解決かいけつする計算けいさんがいくつかなされたが、当時とうじ、場ばの量子りょうし論ろんは相対そうたい論ろん的てきに不備ふびであるため、正確せいかくな値ねを与あたえなかった。

これを解決かいけつしたのが、1943年ねん朝永あさなが振一郎しんいちろうが創つくった相対そうたい論ろん的てきに共きょう変へんな場ばの量子りょうし論ろん、超ちょう多た時間じかん論ろんである。くりこみは超ちょう多た時間じかん論ろんを基礎きそにして確立かくりつされる。遅おくれること数すう年ねん、ジュリアン・シュウィンガーは朝永あさながと類似るいじの形式けいしき、リチャード・ファインマンは経路けいろ積分せきぶん(1948年ねん)を形成けいせいし、朝永あさなが・シュウィンガー・ファインマンはくりこみ理論りろんを建設けんせつする（フリーマン・ダイソンは3者しゃの同等どうとう性せいを証明しょうめい）。くりこみは、相対そうたい論ろん・場じょうの量子りょうし論ろんと並ならぶ基本きほん原理げんりとされ、朝永あさなが・シュウィンガー・ファインマンの建設けんせつした量子りょうし論ろん的てき電磁気でんじき学がくの基礎きそとなる。量子りょうし電磁でんじ力学りきがくは、以後いごの素粒子そりゅうし論ろんの典型てんけいとして、理論りろん形成けいせいの規範きはんになり、量子りょうし色しょく力学りきがく・ワインバーグ＝サラム理論りろんを導みちびく糸いとになる。この業績ぎょうせきで、朝永あさなが振一郎しんいちろう、ジュリアン・シュウィンガーおよびリチャード・ファインマンはノーベル物理ぶつり学がく賞しょうを受うける。

量子りょうし電磁でんじ力学りきがくの完成かんせいの後のち、くりこみの手法しゅほうは量子りょうし色しょく力学りきがくの構築こうちくへと応用おうようされていく。非ひ可か換かわゲージ理論りろん（1964-1973年ねん）、くりこみ可能かのう性せいの証明しょうめい（1971年ねん）、くりこみ群ぐんによる漸近ぜんきん的てき自由じゆう性せいの記述きじゅつ（1973年ねん）では、くりこみが用もちいられている。

ノーベル賞しょう

• くりこみ - 朝永あさなが振一郎しんいちろう、ジュリアン・シュウィンガー、リチャード・ファインマン
• 非ひ可か換かわゲージのくりこみ可能かのう性せい - ヘーラルト・トホーフト
• くりこみ群ぐんによる漸近ぜんきん自由じゆう性せい - デイビッド・グロス、フランク・ウィルチェック 、H. デビッド・ポリツァー
• 固体こたいくりこみ群ぐん - ケネス・ウィルソン

参考さんこう文献ぶんけん

• Michael E. Peskin; Daniel V. Schroeder (1995) (英語えいご). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0201503975 

関連かんれん項目こうもく

• 場ばの量子りょうし論ろん
• ジュリアン・シュウィンガー
• 朝永あさなが振一郎しんいちろう
• リチャード・P・ファインマン
• くりこみ群ぐん