ベータ関数かんすう (物理ぶつり学がく)

場ばの量子りょうし論ろんにおいて、ベータ関数かんすう（ベータかんすう、英えい: beta function）とは、あるエネルギースケールに対たいする結合けつごう定数ていすうの依存いぞん性せいを決定けっていする関数かんすうである。エネルギースケールを $\mu$ 、結合けつごう定数ていすうを $g$ とすると、ベータ関数かんすうは次つぎのように定義ていぎされる。

\beta (g)=\mu \,{\frac {\partial g}{\partial \mu }}

慣用かんよう的てきに、エネルギースケールの変化へんかに伴ともない結合けつごう定数ていすうが変化へんかすることを結合けつごう定数ていすうが走はしる（結合けつごう定数ていすうのrunning）といい、そのような結合けつごう定数ていすうを走はしる結合けつごう定数ていすう（running coupling constant）と呼よぶ。場ばの量子りょうし論ろんにおけるスケール依存いぞん性せいは繰くり込こみ群ぐんによって記述きじゅつされる。

スケール不変ふへん性せい

一般いっぱんに、結合けつごう定数ていすうがある値ねをとりベータ関数かんすうがゼロになるとき、その理論りろんはスケール不変ふへんになる。このときの結合けつごう定数ていすうの値ねは繰くり込こみ群ぐんの固定こてい点てんと呼よばれ、固定こてい点てんにおいてベータ関数かんすうの傾かたむきが負まけの場合ばあいは紫むらさき外がい固定こてい点てん、正せいの場合ばあいは赤あか外がい固定こてい点てんとなる。スケール不変ふへんな場ばの量子りょうし論ろんの全すべては共きょう形かたち不変ふへんであり、そのような理論りろんは共きょう形かたち場じょう理論りろんと呼よばれる。

ベータ関数かんすうの計算けいさん例れい

ベータ関数かんすうは結合けつごう定数ていすうを十分じゅうぶんに小ちいさいと仮定かていすることで摂動せつどう論ろんによって計算けいさんされる。このとき、ベータ関数かんすうは結合けつごう定数ていすうで級数きゅうすう展開てんかいされ、高次こうじの項こうは無視むしされる。この展開てんかいはファインマン・ダイアグラムにおけるループ計算けいさんと対応たいおうしている。

以下いかでは、摂動せつどう論ろんを用もちいたベータ関数かんすうの計算けいさん例れいを挙あげる。

量子りょうし電磁でんじ力学りきがく

量子りょうし電磁でんじ力学りきがく（QED）における1ループベータ関数かんすうは

$\beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}$

あるいは

$\beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}$

となる。ここで、微細びさい構造こうぞう定数ていすうは $\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi }}$ である。

このベータ関数かんすうは常つねに正せいの値ねをとるので、エネルギースケールの増加ぞうかに対たいして結合けつごう定数ていすうは増加ぞうかする。つまり、QEDにおける電磁でんじ相互そうご作用さようは高こうエネルギー側がわで強つよくなり、低ていエネルギー側がわでゼロに近付ちかづく。実際じっさいQEDでは、ある有限ゆうげんのエネルギーにおいて結合けつごうの強つよさは無限むげん大だいに発散はっさんし、このエネルギースケールをランダウ・ポールと呼よぶ。ランダウ・ポールは摂動せつどう論ろんを用もちいた為ために生しょうじた人為じんい的てきな結果けっかであり、この領域りょういきにおいては摂動せつどう論ろんは適用てきようできない。

量子りょうし色しょく力学りきがく

量子りょうし色しょく力学りきがく（QCD）において、クォークのフレーバー数かずを $n_{f}$ とすると1ループベータ関数かんすうは

$\beta (g)=-\left(11-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}$

あるいは

$\beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}$

となる。ここで、 $\alpha _{s}={\frac {g^{2}}{4\pi }}$ である。

このベータ関数かんすうは、 $n_{f}\leq 16$ の範囲はんいにおいては負まけの値ねをとるので、エネルギースケールの増加ぞうかに対たいして結合けつごう定数ていすうは減少げんしょうする。つまり、QCDにおける強つよい相互そうご作用さようは低ていエネルギー側がわで強つよくなり、高こうエネルギー側がわでゼロに近付ちかづく。この現象げんしょうはQCDの漸近ぜんきん的てき自由じゆう性せいとして知しられており、低ていエネルギー側がわでは結合けつごうが強つよくなるため、摂動せつどう論ろんが適用てきようできなくなることを示しめしている。

SU(N)ヤン＝ミルズ理論りろん

より一般いっぱん化かしたゲージ理論りろんとしてSU(N)ヤン＝ミルズ理論りろんのベータ関数かんすうが計算けいさんされている。このとき、QCDはN=3の場合ばあいとして扱あつかわれる。

最低さいてい次じ（1ループ）の結果けっかは1973年ねんにデイビッド・グロスとフランク・ウィルチェック^[1]及および、H. デビッド・ポリツァー^[2]によって導出みちびきだされた。3人にんは、この功績こうせき（漸近ぜんきん的てき自由じゆう性せいの発見はっけん）により2004年ねんのノーベル物理ぶつり学がく賞しょうを受賞じゅしょうした^[3]。また、同どう時期じきにヘーラルト・トホーフトも同おなじ結果けっかを導出みちびきだしていたが、これは論文ろんぶんとして出版しゅっぱんされていない^[4]。

高こう次項じこうについては1974年ねんに2ループ^[5]、1980年ねんに3ループ^[6]、1997年ねんに4ループ^[7]の計算けいさんが為なされている。

3ループまでのベータ関数かんすうの計算けいさん結果けっかを以下いかに示しめす。ただし、繰くり込こみ点てんμみゅー²における結合けつごう定数ていすうαあるふぁ(μみゅー²)についてのベータ関数かんすうβべーたと各項かくこうの係数けいすうβべーた₀,βべーた₁,βべーた₂は

$\beta (\alpha )=\mu ^{2}{\frac {\partial }{\partial \mu ^{2}}}{\frac {\alpha (\mu ^{2})}{4\pi }}=-\left[\beta _{0}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{2}+\beta _{1}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{3}+\beta _{2}\left({\frac {\alpha }{4\pi }}\right)^{4}+\cdots \right]$

と定義ていぎする。3ループ以降いこうの計算けいさん結果けっかは繰くり込こみ条件じょうけんに依存いぞんするが、以下いかではMSスキームによる結果けっかを示しめす。

$\beta _{0}={\frac {11}{3}}C_{A}-{\frac {4}{3}}T_{F}n_{f}$

$\beta _{1}={\frac {34}{3}}C_{A}^{2}-{\frac {20}{3}}C_{A}T_{F}n_{f}-4C_{F}T_{F}n_{f}$

$\beta _{2}={\frac {2857}{54}}C_{A}^{3}-{\frac {1415}{27}}C_{A}^{2}T_{F}n_{f}+{\frac {158}{27}}C_{A}T_{F}^{2}n_{f}^{2}+{\frac {44}{9}}C_{F}T_{F}^{2}n_{f}^{2}-{\frac {205}{9}}C_{F}C_{A}T_{F}n_{f}+2C_{F}^{2}T_{F}n_{f}$

ここで、 $T_{F}$ はフェルミオンの表現ひょうげんにおける生成せいせい子この規格きかく化か定数ていすう、 $C_{F},C_{A}$ はそれぞれフェルミオンとゲージ場じょうの表現ひょうげんにおけるカシミア演算えんざん子こであり、n_fはフェルミオンのフレーバー数すうである。

基本きほん表現ひょうげんとして変換へんかんするフェルミオンを考かんがえると $T_{F}={\frac {1}{2}},C_{F}={\frac {N^{2}-1}{2N}}$ である。ゲージ場じょうは随伴ずいはん表現ひょうげんとして変換へんかんするので $C_{A}=N$ である。

標準ひょうじゅん模型もけい

標準ひょうじゅん模型もけいでは、ゲージ結合けつごう定数ていすう以外いがいに、フェルミオンとヒッグス場じょうの相互そうご作用さよう（湯川ゆかわ相互そうご作用さよう）による結合けつごう定数ていすう、ヒッグス場じょうの自己じこ相互そうご作用さようによる結合けつごう定数ていすうが存在そんざいし、それと対応たいおうするベータ関数かんすうが計算けいさんされている。

脚注きゃくちゅう

参考さんこう文献ぶんけん

論文ろんぶん

D.J. Gross and F. Wilczek (1973). “Ultraviolet behavior of non-abeilan gauge theories”. Physical Review Letters 30 (26): 1343–1346. Bibcode: 1973PhRvL..30.1343G. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343.
H. David Politzer (1973). “Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?”. Physical Review Letters 30 (26): 1346–1349. Bibcode: 1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
G. 't Hooft (1972), report at the Marseille Conference on Yang-Mills Fields (Unpublished).
William E. Caswell (1974). “Asymptotic Behavior of Nonabelian Gauge Theories to Two Loop Order”. Physical Review Letters 33 (4): 244–246. Bibcode: 1974PhRvL..33..244C. doi:10.1103/PhysRevLett.33.244.
D.R.T. Jones (1974). “Two Loop Diagrams in Yang-Mills Theory”. Nucl. Phys. B 75 (3): 531–538. doi:10.1016/0550-3213(74)90093-5.
E. Egorian and O. V. Tarasov (1979). “Two Loop Renormalization Of The Qcd In An Arbitrary Gauge”. Theor. Math. Phys. 41: 863-867.
O.V. Tarasov, A.A. Vladimirov and A.Yu. Zharkov (1980). “The Gell-Mann-Low Function of QCD in the Three Loop Approximation”. Phys. Lett. B 93 (4): 429-432. Bibcode: 1980PhLB...93..429T. doi:10.1016/0370-2693(80)90358-5.
S.A. Larin and J.A.M. Vermaseren (1993). “The Three loop QCD Beta function and anomalous dimensions”. Phys. Lett. B 303 (3–4): 334-336. arXiv:hep-ph/9302208. Bibcode: 1993PhLB..303..334L. doi:10.1016/0370-2693(93)91441-O.
T. van Ritbergena, J.A.M. Vermaseren and S.A. Larin (1997). “The Four loop beta function in quantum chromodynamics”. Phys. Lett. B 400 (3–4): 379–384. arXiv:hep-ph/9701390. Bibcode: 1997PhLB..400..379V. doi:10.1016/S0370-2693(97)00370-5.
M. Czakon (2005). “The Four-loop QCD beta-function and anomalous dimensions”. Nucl. Phys. B 710 (1-2): 485–498. arXiv:hep-ph/0411261. Bibcode: 2004hep.ph...11261C. doi:10.1016/j.nuclphysb.2005.01.012.

参考さんこう文献ぶんけん

Michael E. Peskin; Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 0201503972