バリア関数かんすう

数学すうがくの一いち分野ぶんやである、制約せいやく付つき最適さいてき化か問題もんだいにおけるバリア関数かんすう（バリアかんすう、英えい: Barrier function、障壁しょうへき関数かんすう、しょうへきかんすう）とは、ある点てんが実行じっこう可能かのう領域りょういきの境界きょうかいに近付ちかづくにつれて、その点てんでの値ねが無限むげん大だいへと近付ちかづくような連続れんぞく関数かんすうのことを言いう（Nocedal and Wright 1999）。制約せいやく違反いはんに対たいする罰則ばっそく項こうとして用もちいられる。最もっとも一般いっぱん的てきな二に種類しゅるいのバリア関数かんすうは、逆ぎゃくバリア関数かんすうと対数たいすうバリア関数かんすうである。対数たいすうバリア関数かんすうは、主しゅ双対そうつい内ない点てん法ほうとの関連かんれんで、再ふたたび興味きょうみを集あつめるものとなった。

関数かんすう f(x) を最適さいてき化かするとき、ある定数ていすう $b$ に対たいして代かわりに関数かんすう $f(x)+g(x,b)$ を最適さいてき化かすることによって、変数へんすう $x$ をつねに $b$ よりも厳密げんみつに小しょうとすることができる。ここで、$g(x,b)$ はバリア関数かんすうである。

対数たいすうバリア関数かんすう

対数たいすうバリア関数かんすう $g(x,b)$ は、$x<b$ の場合ばあい $-\log(b-x)$ で、それ以外いがいの場合ばあいでは $\infty$ となる関数かんすうとして定義ていぎされる（但ただし 1 次元じげんの場合ばあい。より高たかい次元じげんの場合ばあいは下記かき参照さんしょう）。この定義ていぎは本質ほんしつ的てきには、$t$ が 0 に向むかうにつれて $log(t)$ が 負まけの無限むげん大だいへと発散はっさんする事実じじつに由来ゆらいする。

この定義ていぎは $x$ の極きょく値ち（この場合ばあい、値ねは $b$ より小ちいさい）がより少すくないものを好このむように最適さいてき化かされ、一方いっぽうで極きょく値ちから離はなれた関数かんすうに対たいしてはあまり影響えいきょうを与あたえないような、関数かんすうへの勾配こうばいを導入どうにゅうするものである。

対数たいすうバリア関数かんすうは、最適さいてき化かされる関数かんすうに依存いぞんして、計算けいさん的てきに高こう価値かちでない逆ぎゃくバリア関数かんすうよりも、好このまれるものであるかも知しれない。

高こう次元じげん

高こう次元じげんへの拡張かくちょうは、各かく次元じげんが独立どくりつである限かぎり、簡単かんたんなものである。$b_{i}$ よりも厳密げんみつに小ちいさいように制限せいげんされた各かく変数へんすう $a_{i}$ に対たいして、$-\log(b_{i}-x_{i})$ を足たせばよい。

形式けいしき的てき定義ていぎ

次つぎを最小さいしょう化かせよ:$\mathbf {c} ^{T}x$

次つぎを仮定かていする: $\mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m$

次つぎの、厳密げんみつな実行じっこう可能かのう領域りょういきを仮定かていする:$\{\mathbf {x} |Ax<b\}\neq 0$

次つぎの対数たいすうバリア関数かんすうを定義ていぎする $\Phi (x)={\begin{cases}\sum _{i=1}^{m}-\log(b_{i}-a_{i}^{T}x)&{\text{for }}Ax<b\\+\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}$

参考さんこう文献ぶんけん

• Nocedal, Jorge; and Stephen Wright (1999). Numerical Optimization. New York, NY: Springer. ISBN 0-387-98793-2 
• 寒かん野の善博よしひろ 著ちょ、駒木こまき文ぶん保ほ 編へん『最適さいてき化か手法しゅほう入門にゅうもん』講談社こうだんしゃ、2019年ねん。ISBN 978-4-06-517008-3。 
• lecture on barrier method.