ビリアル定理ていり

ビリアル定理ていり（ビリアルていり、英えい: virial theorem）とは、多た粒子りゅうし系けいにおいて、粒子りゅうしが動うごき得える範囲はんいが有限ゆうげんである場合ばあいに、古典こてん力学りきがく、量子力学りょうしりきがく系けいのいずれにおいても成立せいりつする以下いかの関係かんけい式しきのことである。

$\left\langle K\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{N}{\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left\langle {\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}\right\rangle =-{1 \over 2}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle$

N は系けいの粒子りゅうし数すう、K は系けい全体ぜんたいの運動うんどうエネルギー

$K=\sum _{i=1}^{N}{\mathbf {p} _{i}^{2} \over {2m_{i}}}$

で、p_i は粒子りゅうし i の運動うんどう量りょう、r_i は粒子りゅうし i の位置いち座標ざひょう、F_i は粒子りゅうし i に働はたらく力ちから、m_i は粒子りゅうし i の質量しつりょうである。〈·〉 は物理ぶつり量りょうの平均へいきん操作そうさ（ここでは長時間ちょうじかん平均へいきん）を意味いみする。

粒子りゅうし i に働はたらく力ちから F_i が、系けい全体ぜんたいのポテンシャルエネルギー V = V(r₁, ..., r_N) を用もちいて F_i = −∇_ri V(r₁, ..., r_i, ..., r_N) と表あらわせるならば、ビリアル定理ていりは、

$\left\langle K\right\rangle ={1 \over 2}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \nabla _{\mathbf {r} _{i}}V\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle$

という形かたちで表あらわせる。

ポテンシャルエネルギー V が中心ちゅうしん力りょくポテンシャルで、粒子りゅうし間あいだの距離きょりのn + 1乗じょうに比例ひれいする形かたち

$V(\mathbf {r} )=ar^{n+1}\quad (r=|\mathbf {r} |)$

で表あらわせる(ここでべき指数しすうは力ちからの法則ほうそくが$r^{n}$になるように選えらんだ)ならば、

$\left\langle K\right\rangle ={n+1 \over 2}\left\langle V\right\rangle$

となる。中心ちゅうしん力りょくが電磁気でんじき力りょくや重力じゅうりょくの場合ばあいを考かんがえると、n = −2 であるから、

$\left\langle K\right\rangle =-{1 \over 2}\left\langle V\right\rangle$

となる。ビリアル定理ていりから次つぎのことが言いえる。

• 系けい全体ぜんたいの運動うんどうエネルギー K の時間じかん平均へいきんは、系けい全体ぜんたいのポテンシャルエネルギー V の時間じかん平均へいきんの −1/2 に等ひとしい。

また、同等どうとうのこととして、

• 系けい全体ぜんたいのポテンシャルエネルギー V の時間じかん平均へいきんは、系けい全体ぜんたいの全ぜんエネルギーの時間じかん平均へいきんに等ひとしい。

• 系けい全体ぜんたいの運動うんどうエネルギー K の時間じかん平均へいきんと系けい全体ぜんたいの全ぜんエネルギーの時間じかん平均へいきんを加くわえた物ものは 0。

ということが示しめされる。

ビリアルとはラテン語らてんごで「力ちから」という意味いみであり、ビリアル定理ていりの名なはそれに因ちなむ。ビリアル定理ていりにおけるビリアルとは、1870年ねんにルドルフ・クラウジウスが導入どうにゅうした量りょうで、各かく粒子りゅうしの位置いちと運動うんどう量りょうのドット積せきの総和そうわ G = ∑_i r_i · p_i によって定義ていぎされる G を指さす。

証明しょうめい

古典こてん力学りきがく系けいの場合ばあいのビリアル定理ていりの証明しょうめい。ビリアル

$G=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {p} _{i}$

(1)

を時間じかんで微分びぶんすると、

${{dG} \over {dt}}=\sum _{i}{{d\mathbf {r} _{i}} \over {dt}}\cdot \mathbf {p} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot {{d\mathbf {p} _{i}} \over {dt}}=\sum _{i}{\mathbf {p} _{i} \over m_{i}}\cdot \mathbf {p} _{i}+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}=2K+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}$

より以下いかの関係かんけいが得えられる。

${{dG} \over {dt}}=2K+\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}.$

(2)

この式しきの両辺りょうへんを 0 から時間じかん t の範囲はんいで積分せきぶんして t で割わり、t → ∞ の極限きょくげんをとって長時間ちょうじかん平均へいきんする。すると、粒子りゅうしが動うごき得える範囲はんいは有限ゆうげんなのでビリアル G も有限ゆうげんだから、左辺さへんは 0 に収束しゅうそくする。

$\lim _{t\to \infty }{{1 \over t}\int _{0}^{t}{{dG} \over {dt}}}dt=\lim _{t\to \infty }{G(t)-G(0) \over t}=0.$

(3)

したがって、

$0=2\left\langle K\right\rangle +\left\langle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}\right\rangle$

つまり、ビリアル定理ていり

$\left\langle K\right\rangle =-{1 \over 2}\left\langle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}\right\rangle$

(4) ビリアル定理ていり

を得える。 次つぎに、ポテンシャルエネルギー V が中心ちゅうしん力りょくポテンシャルで、粒子りゅうし間あいだの距離きょりの n + 1 乗の (r^{n + 1}) に比例ひれいする形かたち、すなわち、系けいのポテンシャル V が各かく粒子りゅうし対たいの相互そうご作用さようの和わ

$V(\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i<j}a_{ij}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n+1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{ij}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n+1}$

(5)

によって書かき表あらわされる場合ばあい、粒子りゅうし i に働はたらく力ちから F_i は、以下いかのように書かける。

$\mathbf {F} _{i}=-\nabla _{\mathbf {r} _{i}}V=-a_{ij}(n+1)\sum _{j\neq i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n-1}=\sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ij}$

(6)

ここで、

$\mathbf {F} _{ij}=-a_{ij}(n+1)(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{n-1}$

(7)

は、粒子りゅうし j から粒子りゅうし i に働はたらく力ちからである。これを、ビリアル定理ていりの右辺うへんに代入だいにゅうすると、以下いかのようになる。

$-{1 \over 2}\left\langle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}\right\rangle =-{1 \over 2}\left\langle \sum _{i\neq j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ij}\right\rangle .$

(8)

和わは i = 1, ..., N; j = 1, ..., N、i ≠ j の2重じゅうの和やわである。 この和わを i > j と i < j に分わけ、

$\sum _{i\neq j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}=\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}+\sum _{i<j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}$

第だい 2 項こうで添そえ字じの入いれ替かえに対たいする反対称はんたいしょう性せい F_ji = −F_ij に注意ちゅういすると、以下いかの様ような形かたちになる。

$=\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}+\sum _{j<i}\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {F} _{ij}=\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}-\sum _{j<i}\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {F} _{ji}=\sum _{i>j}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\cdot \mathbf {F} _{ji}=-(n+1)V(\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{N}).$

したがって、中心ちゅうしん力りょくポテンシャルに関かんするビリアル定理ていりは以下いかのようになる。

$\left\langle K\right\rangle ={n+1 \over 2}\left\langle V\right\rangle .$

(9)

応用おうよう

ビリアル定理ていりを太陽系たいようけいや銀河ぎんがを始はじめとする、非常ひじょうに複雑ふくざつな物理ぶつり体系たいけい（重力じゅうりょく多た体系たいけい）に適用てきようすることにより、計算けいさん結果けっかを簡素かんそ化かすることができるので非常ひじょうに便利べんりである。

また、ビリアル定理ていりが成なり立たつ場合ばあい、次つぎ式しきから系けいの圧力あつりょくを求もとめることができる。

$P={1 \over {3V}}(2\left\langle K\right\rangle +\sum _{i=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle )$

ここで、P は圧力あつりょく、V は系けいの体積たいせきである。気体きたい分子ぶんし運動うんどう論ろんでは上うえ式しきから圧力あつりょくを求もとめる。

一般いっぱん化か

一般いっぱん化かされたビリアル定理ていりを、超ちょうビリアル定理ていり (hypervirial theorem) と言いう。座標ざひょう r と共役きょうやく運動うんどう量りょう P を考かんがえ、この 2 つの量りょうを変数へんすうとした関数かんすう W(r, P) を考かんがえる。この関数かんすうは、冒頭ぼうとうでの粒子りゅうし系けいと同様どうような境界きょうかい条件じょうけんの基もとで任意にんいに選えらべるとする。ハミルトニアンを H として、ポアソン括弧かっこ（詳細しょうさいはハミルトン力学りきがくを参照さんしょう）の時間じかん平均へいきん、

$\left\langle [W,H]\right\rangle =0$

となるのが古典こてん的てきな超ちょうビリアル定理ていりである。量子力学りょうしりきがくでは、上記じょうき交換こうかん子この基底きてい状態じょうたいにおける期待きたい値ちがゼロとなる。

$\left\langle 0|[W,H]|0\right\rangle =0$

これが量子力学りょうしりきがく的てきな超ちょうビリアル定理ていりである。ここで、W として上記じょうきのビリアルをとる。すなわち、

$W=\mathbf {r} \cdot \mathbf {P}$

とすれば、通常つうじょうのビリアル定理ていりが導みちびかれる。

関連かんれん項目こうもく

• 多た体からだ問題もんだい
• 統計とうけい力学りきがく
• 物性ぶっせい物理ぶつり学がく
• ビリアル応力おうりょく