ピタゴラス音律おんりつ

ピタゴラス音律おんりつ（ピタゴラスおんりつ）は、音階おんかいの全すべての音おとと音程おんていを周波数しゅうはすう比ひ3:2の純正じゅんせいな完全かんぜん五ご度どに基もとづいて導出どうしゅつする音律おんりつである。

ピタゴラス音律おんりつは初期しょきルネサンスまでの西洋せいよう音楽おんがくの標準ひょうじゅん的てきな音律おんりつであり、また中国ちゅうごくや日本にっぽんの伝統でんとう音楽おんがくの音律おんりつも同様どうようの原理げんりに基もとづくものである（三さん分ふん損益そんえき法ほう）。

ピタゴラス音律おんりつでは純正じゅんせいな五ご度どと四よん度どの音程おんていが得えられるが、三さん度どと六ろく度どは純正じゅんせいにならない。ルネサンス音楽おんがくにおいて三さん度どと六ろく度どの使用しようが増ふえると、五ご度どを狭せばめることによって三さん度どをより純正じゅんせいに近ちかづける中ちゅう全ぜん音律おんりつが普及ふきゅうした。

方法ほうほう

例れいとしてD（ニ）を起点きてんに、上下じょうげに3回かいずつ、周波数しゅうはすう比ひ3:2の純正じゅんせいな完全かんぜん五ご度どの音程おんていにある音おとを得えることを繰くり返かえすと以下いかのようになる。

F - C - G - D - A - E - B

この7つの音おとは全ぜん音階おんかいを構成こうせいする音おとである。得えられた音おとは実際じっさいには広ひろい音域おんいきに渡わたっているが、オクターヴ関係かんけいにある音おとには同おなじ音おと名めいが与あたえられるため、オクターヴ単位たんいで音おと高だかを移うつして、これらを1オクターヴの範囲はんい内ないに配列はいれつすることでピタゴラス音律おんりつによる全音ぜんおん階かいが得えられる。

この作業さぎょうをさらに拡張かくちょうしようとすると問題もんだいが浮上ふじょうする。同様どうようの作業さぎょうをさらに上下じょうげに3回かいずつ行おこなうと以下いかのようになる。

A♭ - E♭ - B♭ - F - C - G - D - A - E - B - F♯ - C♯ - G♯

12平均へいきん律りつにおいてはA♭とG♯のような異名いみょう同音どうおんは実際じっさいに全まったく同おなじ音おんであるが、このA♭とG♯には約やく23.460セント≒1/4半音はんおんの差さが生しょうじる。この差さをピタゴラスコンマと呼よぶ。

したがって、半音はんおん階かいを構成こうせいするために、A♭を省はぶいてE♭からG♯までの12音おとを用もちいた場合ばあい、G♯からE♭への音程おんていは、3:2の比率ひりつによる純正じゅんせいな完全かんぜん五ご度ど（約やく701.955セント）よりもピタゴラスコンマ1つ分ぶん狭せまい音程おんてい（約やく678.495セント）になる。この音程おんていによる和音わおんは顕著けんちょなうなりを生しょうじるため、狼おおかみの吠ほえ声ごえに例たとえてウルフの五ご度ど(en:Wolf interval)と呼よばれる。

ピタゴラス音律おんりつの五ご度ど圏けん

音おと名めい	Dからの音程おんてい	計算けいさん式しき	比率ひりつ	大おおきさ (セント)	平均へいきん律りつとの差さ (セント)
A♭	減げん五ご度ど	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{6}\times 2^{4}$	${\frac {1024}{729}}$	588.27	-11.73
E♭	短たん二に度ど	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\times 2^{3}$	${\frac {256}{243}}$	90.225	-9.775
B♭	短たん六ろく度ど	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\times 2^{3}$	${\frac {128}{81}}$	792.18	-7.82
F	短たん三さん度ど	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\times 2^{2}$	${\frac {32}{27}}$	294.135	-5.865
C	短たん七なな度ど	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\times 2^{2}$	${\frac {16}{9}}$	996.09	-3.91
G	完全かんぜん四よん度ど	${\frac {2}{3}}\times 2$	${\frac {4}{3}}$	498.045	-1.955
D	一いち度ど	${\frac {1}{1}}$	${\frac {1}{1}}$	0.000	0.000
A	完全かんぜん五ご度ど	${\frac {3}{2}}$	${\frac {3}{2}}$	701.955	1.955
E	長ちょう二に度ど	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\times {\frac {1}{2}}$	${\frac {9}{8}}$	203.91	3.91
B	長ちょう六ろく度ど	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{3}\times {\frac {1}{2}}$	${\frac {27}{16}}$	905.865	5.865
F♯	長ちょう三さん度ど	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	${\frac {81}{64}}$	407.82	7.82
C♯	長ちょう七なな度ど	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{5}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$	${\frac {243}{128}}$	1109.775	9.775
G♯	増ぞう四よん度ど	$\left({\frac {3}{2}}\right)^{6}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}$	${\frac {729}{512}}$	611.73	11.73

上記じょうきの音律おんりつでハ長調ちょうちょうの音階おんかいを構成こうせいすれば以下いかのようになる。

音おと名めい	C		D		E		F		G		A		B		C
比率ひりつ	1/1		9/8		81/64		4/3		3/2		27/16		243/128		2/1
間隔かんかく	－	9/8		9/8		256/243		9/8		9/8		9/8		256/243		－

音程おんていの大おおきさ

Dを起点きてんとしたピタゴラス音律おんりつの各かく音程おんていの周波数しゅうはすう比率ひりつ。音程おんてい名めいは英語えいごの略称りゃくしょう（例れい：完全かんぜん五ご度ど→P5）。純正じゅんせい音程おんていは太字ふとじで記しるし、ウルフの音程おんていは赤あかでハイライトしている。

Dを起点きてんとしたピタゴラス音律おんりつの各かく音程おんていのセント値ちの概数がいすう。音程おんてい名めいは英語えいごの略称りゃくしょう（例れい：完全かんぜん五ご度ど→P5）。純正じゅんせい音程おんていは太字ふとじで記しるし、ウルフの音程おんていは赤あかでハイライトしている。

ピタゴラス音律おんりつでは異名いみょう同音どうおん的てき音程おんていは異ことなる大おおきさを持もつ。表ひょうに上記じょうきの12の音おとからの各かく音程おんていの周波数しゅうはすう比率ひりつとおおよそのセント値ねを示しめす。

その定義ていぎ上じょう、ピタゴラス音律おんりつの11の完全かんぜん五ご度どは比率ひりつ3:2、すなわち約やく701.955セントである。五ご度ど圏けんを閉とじるためには、平均へいきん律りつがそうであるように、12個この完全かんぜん五ご度どの平均へいきん値ちは700セントであることが要求ようきゅうされるため、 残のこる1つは約やく678.495セントになる（ウルフの五ご度ど）。このウルフの五ご度どは異名いみょう同音どうおんによる五ご度どであるため、より正確せいかくには減げん六ろく度どである。

• 9つの短たん三さん度どは約やく294.135セント、3つの増ぞう二に度どは約やく317.595セント、その平均へいきん値ちは300セント。
• 8つの長ちょう三さん度どは約やく407.820セント、4つの減げん四よん度どは約やく384.360セント、その平均へいきん値ちは400セント。
• 7つの全ぜん音階おんかい的てき半音はんおん(短たん二に度ど)は約やく90.225セント、5つの半音はんおん階かい的てき半音はんおん(増ぞう一いち度ど)は約やく113.685セント、その平均へいきん値ちは100セント。

つまりピタゴラス音律おんりつでは、異名いみょう同音どうおん的てき音程おんていにはピタゴラスコンマ1つ分ぶん(約やく23.460セント)の差さが存在そんざいする。

ピタゴラス音律おんりつは純正じゅんせいな長ちょう三さん度どを持もたないが、減げん四よん度どとして生成せいせいされた音程おんていは長ちょう三さん度どの純正じゅんせい音程おんてい(比率ひりつ5:4、約やく386.314セント)と僅差きんさ(約やく1.954セント)になる。これはピタゴラス音律おんりつの長ちょう三さん度どと純正じゅんせいな長ちょう三さん度どの差さであるシントニックコンマ(約やく21.506セント)が、ピタゴラスコンマとごく近ちかいことによる結果けっかである。

参考さんこう文献ぶんけん

• Barbour, J. Murray. "The Persistence of the Pythagorean Tuning System." Scripta Mathematica. 1933, 1:286-304.
• Lindley, Mark. "Pythagorean intonation." The New Grove Dictionary of Music and Musicians. 2nd ed. London: Macmillan, 2001.

関連かんれん項目こうもく

• ピタゴラス
• 音律おんりつ
  • 平均へいきん律りつ
  • 純正じゅんせい律りつ
  • 中ちゅう全ぜん音律おんりつ
  • ピタゴラスコンマ
  • シントニックコンマ
• Xenharmonic音楽おんがく
• 五ご度ど圏けん
• 三さん分ふん損益そんえき法ほう