任意にんい精度せいど演算えんざん

任意にんい精度せいど演算えんざん（にんいせいどえんざん）^[1]とは、数値すうちの精度せいどを必要ひつようならいくらでも伸のばしたりできるような演算えんざんシステム（実際じっさい上じょうは利用りよう可能かのうなメモリ容量ようりょうに制限せいげんされるが）による演算えんざんである。

概要がいよう

多倍たばい長ちょう整数せいすう（たばいちょうせいすう）などを内部ないぶ処理しょりに利用りようし、必要ひつような桁数けたすうの浮動ふどう小数点しょうすうてん計算けいさんを行おこなう。固定こてい長ちょうの整数せいすうや一般いっぱん的てきな固定こてい精度せいどの浮動ふどう小数点しょうすうてん方式ほうしきは、ハードウェアで高速こうそくに処理しょりできるのに対たいし、任意にんい精度せいど演算えんざんはソフトウェアで実装じっそうされ、重おもい処理しょりを必要ひつようとする。十じゅう進しんの0.1を2進しんで表現ひょうげんしようとする場合ばあいのように、有限ゆうげんの桁数けたすうでは表現ひょうげんし切きれない場合ばあいもあることから、2進しんでなく十じゅう進しんで処理しょりするものや、有理数ゆうりすう演算えんざんを併用へいようしたりもする。

多倍たばい長ちょう演算えんざん（たばいちょうえんざん）^[2]とも言いうが、プログラミング言語げんごによっては、多倍たばい長ちょう整数せいすう (特とくに区別くべつする場合ばあいは bigint などと言いう) の名前なまえが bignum であることもある。

最近さいきんのプログラミング言語げんごの中なかには、多倍たばい長ちょう整数せいすうを言語げんご仕様しようでサポートしているものもあり、他たの言語げんごでも多倍たばい長ちょう整数せいすうや任意にんい精度せいどの浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうを扱あつかうライブラリが存在そんざいする。任意にんい長ちょうの配列はいれつに格納かくのうするような実装じっそうになっている。

任意にんい精度せいど演算えんざんは、演算えんざん速度そくどが重要じゅうよう視しされない用途ようとや大おおきな数かずについての正確せいかくな演算えんざん結果けっかを必要ひつようとする場合ばあいに使つかわれる。

数式すうしき処理しょりシステムとの違ちがい

数式すうしき処理しょりシステムの記号きごう計算けいさん（代数だいすう処理しょり）では、たとえば a + b という式しきはそういう記号きごうによる式しきのまま表現ひょうげんし、たとえばその3倍ばいは代数だいすう法則ほうそくに従したがい 3a + 3b のように処理しょりするので、任意にんいの計算けいさん可能かのう数すうを無限むげんの精度せいどで「表現ひょうげん」できるが、任意にんい精度せいど演算えんざんとは異ことなったものである。しかし、個々ここの数式すうしき処理しょりシステムの設計せっけい者しゃの考かんがえ次第しだいであるが、数式すうしきからシームレスに、あるいは明確めいかくなアクションを経へて、任意にんい精度せいど演算えんざんや有理数ゆうりすう演算えんざんに繋つなげられるものもある。

用途ようと

典型てんけい的てき用途ようととして数すう百ひゃくから数すう千せん桁けたの整数せいすうの演算えんざんを必要ひつようとする、公開こうかい鍵かぎ暗号あんごうがある。また、人間にんげん中心ちゅうしんのアプリケーションで桁数けたすう制限せいげんやオーバフローが不適切ふてきせつな場合ばあいにも使用しようされる。また、固定こてい精度せいど演算えんざんの結果けっかをチェックするのにも使つかえ、方程式ほうていしきの係数けいすう（例たとえばガウス求もとめ積せきに出でてくる $\pm {\sqrt {1/3}}$ など）の最善さいぜん値ちを決定けっていするのにも使つかえる。

任意にんい精度せいど演算えんざんは、円周えんしゅう率りつなどの基礎きそ的てき数学すうがく定数ていすうを数すう百ひゃく万まん桁けた以上いじょう計算けいさんして求もとめ、その数字すうじ列れつの特性とくせいを解析かいせきするのに使つかったり^[3]、解析かいせき的てき手法しゅほうでは解明かいめいするのが難むずかしい関数かんすう（例たとえば、リーマンゼータ関数かんすう）の正確せいかくな振ふる舞まいを調しらべるのに使つかったりする。また、マンデルブロ集合しゅうごうなどのフラクタル画像がぞうを極きわめて高たかい倍率ばいりつで描えがく場合ばあいにも任意にんい精度せいど演算えんざんが必要ひつようとなる。

任意にんい精度せいど演算えんざんは、固定こてい精度せいど演算えんざんでは避さけられない算術さんじゅつオーバーフローを防ふせぐために使つかうこともある。4桁けたの走行そうこう距離きょり計けいが9999の次つぎは0000に戻もどるように、固定こてい精度せいどの整数せいすう型がたでは、数値すうちが固定こてい精度せいどで表あらわせる範囲はんいを超こえると循環じゅんかんするように最もっとも小ちいさい値ねに戻もどってしまう。「循環じゅんかん」させずに「飽和ほうわ」させる方式ほうしきのプロセッサもあり、演算えんざん結果けっかが表現ひょうげんできない数値すうちになった場合ばあいに、表現ひょうげん可能かのうな最もっとも近ちかい値ねに置換ちかんしてしまう（例たとえば、16ビット符号ふごうなし整数せいすうなら、65535 に 1 を足たしても 65535 のままとなる）。プロセッサによっては例外れいがいを発生はっせいさせることもできる。必要ひつようなら例外れいがいをひきとって、ソフトウェアが任意にんい精度せいど演算えんざんに切きり替かえるということも可能かのうである。

コンピュータの多おおくは整数せいすうとして32ビットや64ビットを使つかうのが通例つうれいで、アプリケーションはオーバーフローを起おこさないよう注意ちゅういしてプログラミングしなければならない。しかし、たとえば配列はいれつのサイズを扱あつかっているのであれば、そのようなバグを踏ふむのはバイトの巨大きょだいな配列はいれつの時ときだけであり、しばしば忘わすれられている。例たとえば、二分にぶん探索たんさくのコードとして大抵たいていの参考さんこう書しょでそのように書かかれており、実際じっさいに世界中せかいじゅうで広ひろく使つかわれていたコードで (L + R) / 2 という式しきで計算けいさんを行おこなっていた。固定こてい長ちょうの場合ばあいこの計算けいさんの結果けっかは L + R がオーバーフローした時ときに正ただしくないものとなる。しかし、もし任意にんい長ちょう整数せいすう計算けいさんであったなら、この式しきのままで問題もんだいないわけである。

LISP、REXX、Python、Perl、Ruby といったプログラミング言語げんごでは、整数せいすう演算えんざんで値ねの範囲はんいが固定こてい長ちょうの範囲はんいを越こえるものを、自動的じどうてきに多倍たばい長ちょう整数せいすうにフォールバックする（オプションの場合ばあいもある）。性能せいのう的てきには不利ふりだが、演算えんざん結果けっかがオーバーフローで不正ふせい（または例外れいがい）になる可能かのう性せいを排除はいじょできる。また、ワードサイズの異ことなる機種きしゅ間あいだでも演算えんざん結果けっかが常つねに同おなじになることを保証ほしょうできる。プログラミング言語げんごで多倍たばい長ちょう整数せいすうをサポートすると、言語げんごを単純たんじゅん化かでき、様々さまざまなデータ型がたを用意よういする必要ひつようがないという利点りてんもある。理論りろん的てきには、最適さいてき化かにおいて数学すうがく的てきな式しき変形へんけいが可能かのうになる、という利点りてんもあるが、実際じっさいとしてはフォールバックによる性能せいのう低下ていかのほうが利きいてくる。

実装じっそう上じょうの問題もんだい

任意にんい精度せいど演算えんざんは、プロセッサのレジスタの大おおきさに合あわせた数値すうち型がたの演算えんざんより大幅おおはばに性能せいのうが劣おとる。固定こてい精度せいど演算えんざんはハードウェアでの実装じっそうが比較的ひかくてき容易よういであるのに対たいして、任意にんい精度せいど演算えんざんはメモリ管理かんりなどソフトウェアで実装じっそうしなければならない部分ぶぶんがある（多倍たばい長ちょうないし任意にんい精度せいどの演算えんざんのハードウェアサポートは過去かこ広ひろくみられる）。整数せいすうの除算じょざんや浮動ふどう小数点しょうすうてん演算えんざんはサポートしていないプロセッサもあるが、ソフトウェアでそれらをサポートするとしても通常つうじょうは1ワードまたは2ワードの数値すうち型がたを使つかい、任意にんい長ちょうの処理しょりは行おこなわない。

一般いっぱんに除算じょざんでは循環じゅんかん小数しょうすうが発生はっせいすることがある。任意にんい精度せいど演算えんざんではどこかで打うち切きるか、循環じゅんかんをなんらかの形かたちで表現ひょうげんするか、有理数ゆうりすう演算えんざんを併用へいようする。

多倍たばい長ちょう整数せいすうであれば任意にんい長ちょうの整数せいすう演算えんざんを、任意にんい精度せいど浮動ふどう小数点しょうすうてんであれば任意にんい精度せいどの浮動ふどう小数点しょうすうてんの処理しょりをおこなう。任意にんい精度せいど数すうの大おおきさは使用しよう可能かのうな記憶きおく装置そうちの容量ようりょうで制限せいげんされるだけでなく、数値すうちを表あらわす配列はいれつのインデックスのサイズでも制限せいげんされる。一般いっぱんにインデックスは固定こてい長ちょうである。

任意にんい精度せいどの数値すうちの演算えんざんを効率こうりつ的てきに行おこなうためのアルゴリズムがいくつも考案こうあんされてきた。特とくに、桁数けたすうを $N$ としたとき、 $N$ が大おおきい場合ばあいの計算けいさん量りょうを最小さいしょうにするようなアルゴリズムが必要ひつようとされる。

加算かさんや減算げんざんの最もっとも単純たんじゅんなアルゴリズムは、単純たんじゅんに桁けたごとに順次じゅんじ加算かさん・減算げんざんしていき、繰くり上あげや繰くり下さげを必要ひつように応おうじて行おこなうものである。この計算けいさん量りょうは $O(N)$ である（ランダウの記号きごう参照さんしょう）。

乗算じょうざんの場合ばあい、最もっとも単純たんじゅんなアルゴリズムは筆算ひっさんの計算けいさん方法ほうほうをそのまま採用さいようする手法しゅほうで $O(N^{2})$ の計算けいさん量りょうである。計算けいさん量りょうが $O(N\log(N)\log(\log(N)))$ の乗算じょうざんアルゴリズムとして、高速こうそくフーリエ変換へんかんに基もとづくショーンハーゲ・ストラッセン法ほう（Schönhage-Strassen-Algorithmus）がある。また、カラツバ法ほうでは $O(n^{\log _{2}3})$ の計算けいさん量りょうである。 $N$ があまり大おおきくない場合ばあい、カラツバ法ほうの方ほうが性能せいのうがよい（前者ぜんしゃの性能せいのうが勝かつのは少すくなくとも1万まん桁けた以上いじょうの場合ばあい）。

例れい

階かい乗じょうの計算けいさんでは、非常ひじょうに素早すばやく非常ひじょうに大おおきな数かずを生成せいせいする。方程式ほうていしきなどでは他たの項こうとの組合くみあわせで出現しゅつげんするので、評価ひょうかの順序じゅんじょを工夫くふうすることで、全体ぜんたいの計算けいさんでは多おおくの場合ばあい（テイラー級数きゅうすうなど）それが問題もんだいになることはない。階かい乗じょうの近似きんじ値ちが必要ひつようなら、スターリングの近似きんじを使つかえばよい。正確せいかくな値ねが必要ひつようなら、整数せいすう型がたの限界げんかいをすぐに超こえることが問題もんだいとなる。浮動ふどう小数点しょうすうてん数すうによる近似きんじであってもその最大さいだい値ちを超こえるのは容易よういで、対策たいさくとして階かい乗じょうの対数たいすうによる計算けいさんに置おき換かえる方法ほうほうが出でてくる。

大おおきな階かい乗じょうの正確せいかくな値ねを求もとめたい場合ばあい、特別とくべつなソフトウェアが必要ひつようとなる。以下いかの擬似ぎじコードは、1、1*2、(1*2)*3、((1*2)*3)*4 と順じゅんに計算けいさんしていく手法しゅほうを使つかったものである。

program Factorial ;
  type natural = range 1..integer.last of integer ;
  type radical = range 2..integer.last of integer ;
  type COLUMNS_TYPE = record
    const MAX_LENGTH : natural = 1000 ; (* 十分じゅうぶんな桁数けたすうを上限じょうげんとする *)
    values : array [1:MAX_LENGTH] of natural ;
    length : natural ;
    radix : radical ;
    end ;
  
  procedure factorial (const n : natural, var columns : COLUMNS_TYPE) ;
    begin
    columns.length := 1 ;
    columns.values [columns.length] := 1 ; (* 最初さいしょは乗法じょうほうの単位たんい元もと 1 を設定せっていする *)
    var carry : integer = 0 ;              (* 下したの位くらいからの桁けた上のぼり *)
    for var ci := 1 to columns.length do   (* 桁けたごとにループ *)
      begin
      const c = columns.values [ci] * n + carry ;  (* この桁けたの数かずとの乗算じょうざんと下したの位くらいからの桁けた上のぼりの和わ *)
      columns.values [ci] := c mod columns.radix ; (* 積せきの下位かい桁けた *)
      carry := c div columns.radix ;               (* 積せきの上位じょうい桁けた、上うえの位いへの桁けた上のぼり *)
      end ;
    while 0 < carry do
      begin
      if COLUMNS_TYPE.MAX_LENGTH <= columns.length then
        raise OverflowError ;
      columns.length := columns.length + 1 ;                       (* 桁けたを増ふやす *)
      columns.values [columns.length] := carry mod columns.radix ; (* 実際じっさいに格納かくのう *)
      carry := carry div columns.radix ;                           (* 次つぎの位いへの桁けた上のぼり *)
      (* n が基数きすうより大おおきければ、もう1桁けた必要ひつようになることがある。 *)
      end
    end ;
  
  procedure writeColumns (var column : COLUMNS_TYPE) ;
    begin
    if 36 < columns.radix then raise OutOfRangeError ;
    const DIGITS : array of character = ['0'..'9','A'..'Z'] ; (* 36進しん法ほうまで対応たいおう可能かのう *)
    for var ci := columns.length downto 1 do
      write (DIGITS [columns.values [ci]]) ; (* 大おおきい桁けたから表示ひょうじ *)
    end ;
  
  begin
  for var n := 1 to 35 do
    begin
    var columns : COLUMNS_TYPE ;
    columns.radix := 10 ; (* 10進しん法ほう *)
    factorial (n, columns) ;
    writeColumns (columns) ; writeln (' = !', n)
    end
  end.

この例れいで、詳細しょうさいを見みてみよう。最もっとも重要じゅうようなのは、大おおきな数かずの表現ひょうげん方法ほうほうの選択せんたくである。この場合ばあい、階かい乗じょうの計算けいさんなので整数せいすうだけでよく、固定こてい小数点しょうすうてん方式ほうしきで事足ことたりる。基数きすうの冪べきは0から始はじまって大おおきくなっていくので、配列はいれつの先頭せんとうが0で、後うしろの方ほうほど基数きすうの冪べきが大おおきくなるという表現ひょうげんが便利べんりである。配列はいれつのインデックスの始点してんや大おおきさの指定してい方法ほうほうは言語げんごによって異ことなるが（0から始はじまる言語げんごと1から始はじまる言語げんごがある）、一般いっぱんに計算けいさんの必要ひつよう条件じょうけんには関係かんけいしないので、ここでは単純たんじゅん化かするために配列はいれつの始点してんを0ではなく1としている。数字すうじ配列はいれつのインデックスがその桁けたの基数きすうの冪べきと対応たいおうするという性質せいしつは、ここでは利用りようしていない。

次つぎに重要じゅうような決定けっていは、基数きすうを10としたことである。この場合ばあい、様々さまざまなことを考慮こうりょしなければならない。一時いちじ変数へんすう c は、1つの桁けたの乗算じょうざん結果けっかと前まえの桁けたの積せきからの繰くり上あがりを加くわえたものを保持ほじしなければならない。基数きすうが10の場合ばあい、16ビット整数せいすうであれば32767まで表現ひょうげんできるので十分じゅうぶんである。ただし、この例れいでは n 自身じしんが10を基数きすうとする配列はいれつになっていないという点てんで若干じゃっかんごまかしている。結果けっかとしてこの例れいは n ＞ 3200 などと設定せっていするとうまく動作どうさできなくなる。これがこの擬似ぎじコードの暗黙あんもくの限界げんかいである。一般いっぱんには n も大おおきな数かずとして配列はいれつで表あらわす必要ひつようがある。また、このようなごまかしをしたせいで、一いち桁けたの乗算じょうざんであっても n 全体ぜんたいをかけているため、繰くり上あがりは次つぎの桁けたで収おさまるとは限かぎらず、さらに次つぎの桁けたにまで持もち越こす場合ばあいが出でてきた。結果けっかを以下いかに示しめす。桁けた位置いちを合あわせるため空白くうはくを書かき加くわえ、さらに注釈ちゅうしゃくも書かき加くわえてある。

                                                 コンピュータでの数値すうち表現ひょうげんの範囲はんい
                                        1 =  1!
                                        2 =  2!
                                        6 =  3!
                                       24 =  4!
                                      120 =  5!   8ビット符号ふごうなし  
                                      720 =  6!
                                     5040 =  7!
                                    40320 =  8!  16ビット符号ふごうなし
                                   362880 =  9!   
                                  3628800 = 10!   
                                 39916800 = 11!   
                                479001600 = 12!  32ビット符号ふごうなし
                               6227020800 = 13!   
                              87178291200 = 14!   
                            1307674368000 = 15!   
                           20922789888000 = 16!   
                          355687428096000 = 17!   
                         6402373705728000 = 18!   
                       121645100408832000 = 19!   
                      2432902008176640000 = 20!  64ビット符号ふごうなし
                     51090942171709440000 = 21!   
                   1124000727777607680000 = 22!   
                  25852016738884976640000 = 23!   
                 620448401733239439360000 = 24!   
               15511210043330985984000000 = 25!   
              403291461126605635584000000 = 26!   
            10888869450418352160768000000 = 27!   
           304888344611713860501504000000 = 28!   
          8841761993739701954543616000000 = 29!   
        265252859812191058636308480000000 = 30!   
       8222838654177922817725562880000000 = 31!
     263130836933693530167218012160000000 = 32!
    8683317618811886495518194401280000000 = 33!
  295232799039604140847618609643520000000 = 34! 128ビット符号ふごうなし
10333147966386144929666651337523200000000 = 35!

もっと実用じつよう的てきなプログラムを書かくなら、コンピュータの計算けいさん能力のうりょくをより効率こうりつよく利用りようするものにすべきである。単純たんじゅんな改良かいりょうとしては基数きすうを100とするか（対応たいおうして出力しゅつりょく部ぶでの変換へんかんが必要ひつようになる）、または各種かくしゅ変数へんすうをより大おおきくして（例たとえば32ビット整数せいすう）さらに基数きすうを大おおきく、例たとえば10,000にする。十じゅう進しん以外いがいの基数きすうから十じゅう進数しんすう出力しゅつりょくへの変換へんかんには多大ただいな計算けいさんを要ようする。とはいうものの、コンピュータの本来ほんらい扱あつかえる整数せいすうの限界げんかいに近ちかい基数きすうを使つかった方ほうが有利ゆうりである。通常つうじょうの整数せいすう型がたであれば、その中身なかみが6であろうと10000であろうと操作そうさに要ようする時間じかんは同おなじであり、大おおきい値ねを格納かくのうした方ほうが配列はいれつ全体ぜんたいとしてより大おおきな数かずを表あらわせる。コンピュータによっては、積せきをその桁けたの値ねと桁けた上のぼり（キャリー）に自動的じどうてきに分わける機能きのうがあり、例れいにある mod と div という操作そうさを必要ひつようとしない。例たとえば IBM 1130 では16ビット整数せいすうの乗算じょうざんの積せきは32ビットで表あらわされ、これを2つの16ビット整数せいすうとして扱あつかうこともできる。その場合ばあい、大おおきな数かずの基数きすうは65536となり、桁けた上のぼりは上位じょうい16ビットで、桁けたは下位かい16ビットということになる。したがって、それらを分わける際さいに mod や div を必要ひつようとしない。

プロセッサには存在そんざいするキャリーフラグなどを扱あつかえない、などといった理由りゆうから、こういったたぐいのプログラミングには高水準こうすいじゅん言語げんごは不適ふてきという面めんがあり、機械きかい語ごによるハックによって格段かくだんに高速こうそくな実装じっそうが実現じつげんできる場合ばあいもある。しかし、数値すうち演算えんざんのコードはデバッグの難むずかしさもあり、そのあたりのトレードオフもある。高水準こうすいじゅん言語げんごのソースレベルでポータブルなライブラリが必要ひつような場合ばあい、C言語げんごでは共用きょうよう体たい、あるいは FORTRAN のEQUIVALENCE文ぶんや PL/1 の OVERLAY文ぶんなどを使つかったトリック的てきな書かき方かたで、いずれも一般いっぱん論ろんとしてはあまり薦すすめられない手法しゅほうとされているものではあるが、実装じっそうが可能かのうな場合ばあいもある。

1つの桁けたの乗算じょうざんにおいて、一時いちじ変数へんすうは (radix - 1)² + carry を保持ほじできなければならず、carry の最大さいだい値ちは (base - 1) である。IBM 1130 の場合ばあい、レジスタが32ビットなので、16ビットの演算えんざんの途中とちゅう結果けっかが16ビットで表あらわせる範囲はんいを超こえても処理しょりを続行ぞっこうできる。高級こうきゅう言語げんごでは、大おおきな数かずの配列はいれつの各かく要素ようそ（つまり桁けた）を16ビット符号ふごう無なし整数せいすうとし、基数きすうを65536としたとき、桁けたの乗算じょうざん結果けっかは 4,294,901,760 を超こえないが、32ビット符号ふごうあり整数せいすうの上限じょうげんは $2^{31}-1=2,147,483,647$ である。高級こうきゅう言語げんごによっては、たとえハードウェアが32ビット符号ふごう無なし整数せいすうの演算えんざんをサポートしていても、32ビット符号ふごう無なし整数せいすう（上限じょうげんは $2^{32}-1=4,294,967,295$ ）をデータ型がたとして使つかえない場合ばあいがある。また、32ビット符号ふごう無なし整数せいすうが使つかえる場合ばあいでも、64ビット符号ふごう無なし整数せいすうではどうだろうか?

同様どうように、配列はいれつのインデックス用よう変数へんすうも16ビットや32ビットという制限せいげんがある。64ビット整数せいすうをインデックス変数へんすうに使つかえるとしても、今度こんどはメモリ容量ようりょうの限界げんかいという問題もんだいがある。さらに大おおきな数かずを表あらわすには、適当てきとうな大おおきさのブロックに分わけ、インデックスとして（ブロック i、桁けた j）のように2つの変数へんすうを使つかう方法ほうほうや、インデックス自体じたいも大おおきな数かずとして桁けたごとの配列はいれつで表あらわす方法ほうほうも考かんがえられる。いずれにしても記憶きおく装置そうち容量ようりょうの限界げんかいは避さけられない。観測かんそく可能かのうな宇宙うちゅうに存在そんざいする全ぜん原子げんし数すうは $10^{80}$ を超こえないと予測よそくされている。

歴史れきし

1959年ねんに発売はつばいされた IBM 1620 は任意にんい精度せいど演算えんざんを実装じっそうした初期しょきの例れいである。1620 は可変かへんワード長ちょうの十じゅう進しんコンピュータであり、メモリの許ゆるす限かぎり任意にんいの桁数けたすうの数値すうちについて計算けいさんが可能かのうだった（浮動ふどう小数点しょうすうてんの場合ばあい、仮数かすうや指数しすうの桁数けたすうには制限せいげんがある）。メモリを最大さいだいに搭載とうさいすると6万まん桁けたの数値すうちを格納かくのうできるが、1620用ようFORTRANコンパイラは桁数けたすうを10桁けたに制限せいげんしていた。1620はトランジスタを使つかっていたが、加算かさん用ようの回路かいろを持もたず、メモリ上じょうのテーブルを使つかって加算かさんを実現じつげんしていた。

IBM 初はつのビジネス用ようコンピュータ IBM 702 は511桁けたまでの任意にんい精度せいどの数値すうちの演算えんざんをハードウェアで実装じっそうしていた。ソフトウェアでの初期しょきの多倍たばい長ちょう整数せいすうの実装じっそうとしては、Maclisp が有名ゆうめいである。1980年代ねんだいになると、VAX のオペレーティングシステムで数字すうじの文字もじ列れつを数値すうちとして計算けいさんする関数かんすう群ぐんが多倍たばい長ちょう整数せいすう機能きのうとして用意よういされるようになった。また、 IBM では REXX が多倍たばい長ちょう整数せいすうをサポートしていた。