3次元 じげん 曲面 きょくめん 複雑 ふくざつ 有機 ゆうき 的 てき 形状 けいじょう 制御 せいぎょ 点 てん 曲面 きょくめん 方向 ほうこう 位置 いち 支配 しはい 最下 さいか 部 ぶ 四角形 しかっけい 曲面 きょくめん 平面 へいめん 上 じょう 投影 とうえい NURBS曲線 きょくせん 例 れい Animated version NURBS はNon-Uniform Rational B-Spline （非 ひ 一 いち 様 よう 有理 ゆうり 略 りゃく 曲線 きょくせん 曲面 きょくめん 生成 せいせい コンピュータグラフィックス で一般 いっぱん 的 てき 採用 さいよう 数学 すうがく 的 てき 柔軟 じゅうなん 性 せい 正確 せいかく 性 せい モデリング 用 よう 形状 けいじょう 解析 かいせき 的 てき 用途 ようと 向 む
NURBSは1950年代 ねんだい に船体 せんたい 航空機 こうくうき 自動車 じどうしゃ 外 そと 表面 ひょうめん 形状 けいじょう 使 つか 自由 じゆう 曲面 きょくめん 数学 すうがく 的 てき 正確 せいかく 表現 ひょうげん 必要 ひつよう 開発 かいはつ 必要 ひつよう 応 おう 完璧 かんぺき 同一 どういつ 形状 けいじょう 再 さい 生成 せいせい 仕組 しく 以前 いぜん 曲面 きょくめん 表現 ひょうげん デザイナー によって形作 かたちづく 物理 ぶつり 的 てき 模型 もけい 用 もち 他 ほか
この開発 かいはつ パイオニア は、共 とも 出身 しゅっしん ルノー のエンジニアピエール・ベジェ とシトロエン のポール・デ・カスティリョ （英語 えいご 版 ばん 同時 どうじ 開発 かいはつ 進 すす 互 たが 知 し 一般 いっぱん 的 てき 間 あいだ スプライン曲線 きょくせん のひとつであるベジェ曲線 きょくせん として知 し 彼 かれ 自分 じぶん 研究 けんきゅう 出版 しゅっぱん 彼 かれ 開発 かいはつ パラメトリック曲面 きょくめん を評価 ひょうか 知 し 1960年代 ねんだい にNURBSはベジェ曲線 きょくせん 一般 いっぱん 化 か 名 な 通 とお 非 ひ 一 いち 様 よう 有理 ゆうり 対 たい 曲線 きょくせん 一様 いちよう 非有理 ひゆうり 一様 いちよう 非有理 ひゆうり 呼 よ
当初 とうしょ 利用 りよう 自動車 じどうしゃ 内 うち 用 もち プロプライエタリ のCAD きゃど 限定 げんてい 後 ご 標準 ひょうじゅん 的 てき 採用 さいよう 1989年 ねん にSilicon Graphics のワークステーション 上 うえ 初 はじ インタラクティブ なNURBSのレンダリングが可能 かのう 1993年 ねん にはCAS Berlinというベルリン工科 こうか 大学 だいがく と共 きょう 働 はたらけ 関係 かんけい 小 ちい スタートアップ 企業 きぎょう 名 な パーソナルコンピュータ 上 うえ 動作 どうさ 開発 かいはつ 技術 ぎじゅつ 採用 さいよう 専用 せんよう 企業 きぎょう 購入 こうにゅう
モーターヨットのモデリング NURBSはCAD きゃど CAM 、CAE で一般 いっぱん 的 てき 用 もち IGES 、STEP 、ACIS （英語 えいご 版 ばん PHIGS など数々 かずかず 世界 せかい 標準 ひょうじゅん 採用 さいよう 採用 さいよう Maya やCinema 4D が有名 ゆうめい
NURBSはコンピュータプログラムにとって都合 つごう 人間 にんげん 編集 へんしゅう 向 む 曲線 きょくせん 布 ぬの 縦糸 たていと 横糸 よこいと 使 つか 曲面 きょくめん 形状 けいじょう 制御 せいぎょ 点 てん 定義 ていぎ 制御 せいぎょ 点 てん 編集 へんしゅう 移動 いどう 曲面 きょくめん 形状 けいじょう 変化 へんか 曲面 きょくめん 特 とく 単純 たんじゅん 幾何 きか 形状 けいじょう 表現 ひょうげん 強 つよ 俗 ぞく 有機 ゆうき 的 てき 曲面 きょくめん 呼 よ サブディビジョンサーフェス が向 む 実際 じっさい 業界 ぎょうかい 業界 ぎょうかい 普及 ふきゅう 全体 ぜんたい 柔 やわ 生物 せいぶつ 的 てき 無類 むるい 強 つよ 誇 ほこ 数学 すうがく 的 てき 尖 とが 角 かく 形状 けいじょう 表現 ひょうげん CAD きゃど 利用 りよう 数学 すうがく 的 てき 正確 せいかく 性 せい 強 つよ 柔 やわ 形状 けいじょう 強 つよ 併 あわ 持 も 新 あたら T-スプライン である。これらはNURBSの2分 ぶん 制御 せいぎょ 点数 てんすう 柔 やわ 形状 けいじょう 表現 ひょうげん
一般 いっぱん 的 てき 言 い 曲線 きょくせん 曲面 きょくめん 編集 へんしゅう 極 きわ 直観 ちょっかん 的 てき 予想 よそう 裏切 うらぎ 曲線 きょくせん 要素 ようそ 制御 せいぎょ 点 てん 編集 へんしゅう 高度 こうど スプラインモデリング のような階層 かいそう 状 じょう 制御 せいぎょ 行 おこな 曲面 きょくめん 四角 しかく 布 ぬの 数 すう 辺 へん 曲線 きょくせん 定義 ていぎ 曲面 きょくめん 生成 せいせい 任 まか 方法 ほうほう 本来 ほんらい 無数 むすう 制御 せいぎょ 点 てん 必要 ひつよう 複雑 ふくざつ 形状 けいじょう 少 すく 制御 せいぎょ 点 てん 表現 ひょうげん 数 すう 本 ほん 滑 なめ 表 あらわ
例 たと 船体 せんたい 表面 ひょうめん 仮定 かてい 大抵 たいてい 場合 ばあい 曲面 きょくめん 枚 まい 表 あらわ 一 いち 枚 まい 伸縮 しんしゅく 自在 じざい 布 ぬの 包 つつ 相当 そうとう 無理 むり 不可能 ふかのう 性質 せいしつ 上 じょう 避 さ 呼 よ 何 なん 枚 まい 曲面 きょくめん 継 つ 接 は 船体 せんたい 滑 なめ 場合 ばあい 継 つ 接 は 跡 あと 残 のこ 複数 ふくすう 曲面 きょくめん 滑 なめ 一 いち 枚 まい 曲面 きょくめん 溶 と 込 こ 数学 すうがく 的 てき 幾何 きか 的 てき 連続 れんぞく 性 せい 確保 かくほ
NURBSの特徴 とくちょう 活 い 高度 こうど 幾何 きか 的 てき 連続 れんぞく 性 せい 様々 さまざま 実現 じつげん 可能 かのう
位置 いち 連続 れんぞく 曲線 きょくせん 曲面 きょくめん 当該 とうがい 部分 ぶぶん 接続 せつぞく 保証 ほしょう 接続 せつぞく 尖 とが 生 しょう 可能 かのう 性 せい 接続 せつぞく ハイライト は繋 つな 製造 せいぞう 過程 かてい 問題 もんだい 起 お
接線 せっせん 連続 れんぞく 当該 とうがい 部分 ぶぶん 平行 へいこう 同 おな 方向 ほうこう 向 む 保証 ほしょう 接続 せつぞく 繋 つな 滑 なめ 内部 ないぶ 審美 しんび 的 てき 要素 ようそ 低 ひく 一般 いっぱん 的 てき 工業 こうぎょう 製品 せいひん 十分 じゅうぶん 滑 なめ 滑 なめ 持 も 呼 よ 単純 たんじゅん 角 かく 丸 まる 場合 ばあい 接線 せっせん 連続 れんぞく
曲 きょく 率 りつ 連続 れんぞく 接線 せっせん 連続 れんぞく 厳 きび 当該 とうがい 部分 ぶぶん 同 おな 長 なが 保証 ほしょう 曲 きょく 率 りつ 連続 れんぞく 落 お 滑 なめ 見 み 人目 ひとめ 触 ふ 外面 がいめん 表面 ひょうめん 表現 ひょうげん 望 のぞ 滑 なめ 持 も 呼 よ 製品 せいひん 一般 いっぱん 的 てき 自動車 じどうしゃ 曲 きょく 率 りつ 連続 れんぞく
NURBS曲線 きょくせん はその次数 じすう 指定 してい 複数 ふくすう 制御 せいぎょ 点 てん ノットベクトル で構成 こうせい [1] 前述 ぜんじゅつ 曲線 きょくせん 一般 いっぱん 化 か 表現 ひょうげん 最大 さいだい 違 ちが 制御 せいぎょ 点 てん 持 も 持 も 表 あらわ 有理 ゆうり 有理 ゆうり 特別 とくべつ
ベジエやNURBS曲線 きょくせん 含 ふく 媒介 ばいかい 変数 へんすう 様々 さまざま 値 ね 変化 へんか 曲線 きょくせん 次元 じげん 直交 ちょっこう 座標 ざひょう 系 けい 上 うえ 表 あらわ 同様 どうよう 曲面 きょくめん 含 ふく 媒介 ばいかい 変数 へんすう 様々 さまざま 値 ね 変化 へんか 曲面 きょくめん 直交 ちょっこう 座標 ざひょう 系 けい 上 じょう 表 あらわ 曲線 きょくせん 曲面 きょくめん 以下 いか 点 てん 有用 ゆうよう
アフィン変換 へんかん を行 おこな 不変 ふへん [2] 回転 かいてん 移動 いどう 代表 だいひょう 的 てき アフィン写像 しゃぞう ）といった変換 へんかん 各 かく 制御 せいぎょ 点 てん 行 おこな 曲線 きょくせん 曲面 きょくめん 変換 へんかん 自由 じゆう 曲面 きょくめん 円錐 えんすい 円柱 えんちゅう 幾何 きか 的 てき 標準 ひょうじゅん 的 てき 形状 けいじょう 両方 りょうほう 表 あらわ 例 たと 曲面 きょくめん 正確 せいかく 円 えん 表 あらわ 致命 ちめい 的 てき 欠陥 けっかん 可能 かのう あらゆる性質 せいしつ 表面 ひょうめん 表現 ひょうげん 柔軟 じゅうなん 性 せい 生物 せいぶつ 的 てき 形状 けいじょう 比 くら 難 むずかし 度 たび 高 たか 可能 かのう 難 むずか 曲 きょく 率 りつ 連続 れんぞく 曲面 きょくめん 作 つく
ポリゴンメッシュ などのより単純 たんじゅん 方法 ほうほう 比 くら 少 すく 消費 しょうひ 形状 けいじょう 表現 ひょうげん 数値 すうち 的 てき 安定 あんてい 正確 せいかく 用 もち 速 はや 形状 けいじょう 評価 ひょうか 以下 いか 節 ふし 次元 じげん 上 じょう 曲線 きょくせん 限定 げんてい 記述 きじゅつ 全 すべ 記述 きじゅつ 次元 じげん 上 じょう 以上 いじょう 次元 じげん 適用 てきよう 可能 かのう 留意 りゅうい
制御 せいぎょ 点 てん 一般 いっぱん 曲線 きょくせん 上 じょう 点 てん 曲線 きょくせん 形状 けいじょう 決定 けってい 用 もち 曲線 きょくせん 上 じょう 点 てん 位置 いち 前後 ぜんご 配置 はいち 制御 せいぎょ 点 てん 位置 いち 重 おも 付 つ 線形 せんけい 和 わ 表現 ひょうげん 制御 せいぎょ 点 てん 曲線 きょくせん 上 じょう 各 かく 点 てん 与 あた 影響 えいきょう 点 てん 制御 せいぎょ 点 てん 間 あいだ 距離 きょり 定義 ていぎ 一般 いっぱん 距離 きょり 短 みじか 影響 えいきょう 大 おお 次数 じすう
d
{\displaystyle d}
曲線 きょくせん 各 かく 制御 せいぎょ 点 てん 重 おも
t
{\displaystyle t}
d
{\displaystyle d}
次 じ 多項式 たこうしき 定 さだ 基底 きてい 関数 かんすう 表現 ひょうげん 場合 ばあい 考 かんが 空間 くうかん 各 かく 制御 せいぎょ 点 てん
d
+
1
{\displaystyle d+1}
個 こ 分割 ぶんかつ 区間 くかん 内 ない 曲線 きょくせん 上 じょう 点 てん 影響 えいきょう 与 あた 区間 くかん 両 りょう 端 はし 基底 きてい 関数 かんすう 値 ね 滑 なめ 近 ちか 時 とき 曲線 きょくせん 滑 なめ 曲線 きょくせん 次数 じすう
d
{\displaystyle d}
決定 けってい
基底 きてい 関数 かんすう 一 いち 例 れい 次数 じすう 考 かんが 三角形 さんかっけい 関数 かんすう 関数 かんすう 値 ね 向 む 線形 せんけい 上昇 じょうしょう 後 ご 向 む 線形 せんけい 降下 こうか 場合 ばあい 次数 じすう 曲線 きょくせん 区間 くかん 上 じょう 点 てん 制御 せいぎょ 点 てん 影響 えいきょう 受 う 基底 きてい 関数 かんすう 上昇 じょうしょう 間 あいだ 制御 せいぎょ 点 てん 手前 てまえ 制御 せいぎょ 点 てん 影響 えいきょう 低下 ていか 結果 けっか 得 え 曲線 きょくせん 曲面 きょくめん 基底 きてい 関数 かんすう 連続 れんぞく 性 せい 連続 れんぞく 性 せい 持 も 制御 せいぎょ 点 てん 影響 えいきょう 与 あた 区間 くかん 端点 たんてん 微分 びぶん 不可能 ふかのう 区間 くかん 内部 ないぶ 点 てん 基底 きてい 関数 かんすう 多項式 たこうしき 基底 きてい 関数 かんすう 定 さだ 重 おも 制御 せいぎょ 点 てん 位置 いち 線形 せんけい 和 わ 曲線 きょくせん 定義 ていぎ 以上 いじょう 曲線 きょくせん 十分 じゅうぶん 滑 なめ 無限 むげん 階 かい 微分 びぶん 可能 かのう
多 おお 上記 じょうき 制御 せいぎょ 点 てん 特定 とくてい 区間 くかん 内 ない 曲線 きょくせん 影響 えいきょう 与 あた 基底 きてい 関数 かんすう 台 だい 局所 きょくしょ 的 てき 有利 ゆうり 働 はたら 三 さん 次元 じげん 形状 けいじょう 一 ひと 制御 せいぎょ 点 てん 移動 いどう 形 かたち 整 ととの 際 さい 一部 いちぶ 形状 けいじょう 変化 へんか 以外 いがい 領域 りょういき 影響 えいきょう 与 あた
とある曲線 きょくせん 例 たと 紙 かみ 制御 せいぎょ 点 てん 定義 ていぎ 多項式 たこうしき 曲線 きょくせん 近似 きんじ 場合 ばあい 理論 りろん 上 じょう 制御 せいぎょ 点 てん 多 おお 多 おお 近 ちか 形状 けいじょう 得 え 一方 いっぽう 有限 ゆうげん 個数 こすう 制御 せいぎょ 点 てん 表 あらわ 曲線 きょくせん 限界 げんかい 曲線 きょくせん 個々 ここ 制御 せいぎょ 点 てん ウェイト というスカラー量 りょう 設定 せってい 制御 せいぎょ 点 てん 数 かず 増 ふ 自由 じゆう 度 ど 高 たか 曲線 きょくせん 表現 ひょうげん 可能 かのう 曲線 きょくせん 一種 いっしゅ 考 かんが B-スプライン曲線 きょくせん 等 ひとし 各 かく 制御 せいぎょ 点 てん 重 おも 一様 いちよう 一部 いちぶ 制御 せいぎょ 点 てん 影響 えいきょう 力 りょく 倍 ばい 影響 えいきょう 力 りょく 重 おも 非 ひ 一様 いちよう 性 せい 結果 けっか 各 かく 制御 せいぎょ 点 てん 重 おも 付 つ 線形 せんけい 和 わ 係数 けいすう 有理 ゆうり 関数 かんすう 表 あらわ 名前 なまえ 由来 ゆらい 結果 けっか 曲線 きょくせん 主 おも 円 えん 楕円 だえん 円錐 えんすい 曲線 きょくせん 数学 すうがく 的 てき 厳密 げんみつ 表現 ひょうげん 加 くわ 通常 つうじょう 三 さん 次元 じげん 他 ほか スプライン曲線 きょくせん と同様 どうよう 重 おも 意識 いしき 利用 りよう
また、曲線 きょくせん 曲面 きょくめん 形状 けいじょう 処理 しょり 以外 いがい 応用 おうよう 目 め 向 む 制御 せいぎょ 点 てん 一般 いっぱん 的 てき 次元 じげん 概念 がいねん 見 み 通常 つうじょう 曲線 きょくせん 定義 ていぎ 場合 ばあい 二 に 次元 じげん 座標 ざひょう 上 じょう 点 てん 曲面 きょくめん 定義 ていぎ 場合 ばあい 三 さん 次元 じげん 座標 ざひょう 上 じょう 点 てん 制御 せいぎょ 点 てん 用 もち 制御 せいぎょ 点 てん 次元 じげん 二 に 次元 じげん 三 さん 次元 じげん 必要 ひつよう 例 たと 一 いち 次元 じげん 制御 せいぎょ 点 てん 画像 がぞう 処理 しょり 曲線 きょくせん 定義 ていぎ 目的 もくてき 用 もち ロボットアーム の制御 せいぎょ 制御 せいぎょ 空間 くうかん 次元 じげん 動 うご 自由 じゆう 度 ど 等 ひと 一般 いっぱん 大 おお 値 ね 制御 せいぎょ 滑 なめ 動 うご 実現 じつげん 目的 もくてき 高 こう 次元 じげん 制御 せいぎょ 点 てん 定義 ていぎ 高次 こうじ 元 もと 空間 くうかん 上 じょう 曲線 きょくせん 用 もち 制御 せいぎょ 点 てん 曲線 きょくせん 同一 どういつ 次元 じげん 持 も 空間 くうかん 上 じょう 定義 ていぎ 一 いち 次元 じげん 曲線 きょくせん 曲線 きょくせん 定義 ていぎ 複数 ふくすう 間 あいだ 制御 せいぎょ 点 てん 補間 ほかん 曲面 きょくめん 高 こう 次元 じげん 超 ちょう 曲面 きょくめん 定義 ていぎ 可能 かのう
NURBS曲線 きょくせん 階数 かいすう 曲線 きょくせん 上 じょう 任意 にんい 点 てん 影響 えいきょう 制御 せいぎょ 点 てん 数 かず 次数 じすう 曲線 きょくせん 項 こう 数 かず 階数 かいすう 次数 じすう 曲線 きょくせん 次数 じすう 階数 かいすう 個 こ 項 こう 多項式 たこうしき 階数 かいすう 曲線 きょくせん 次数 じすう 直線 ちょくせん 次数 じすう 曲線 きょくせん 階数 かいすう 項 こう 構成 こうせい 線形 せんけい 多項式 たこうしき 表現 ひょうげん 二 に 次 じ 曲線 きょくせん 呼 よ 同様 どうよう 階数 かいすう 次数 じすう 3次 じ 関数 かんすう を表 あらわ 制御 せいぎょ 点 てん 数 かず 階数 かいすう 以上 いじょう 必要 ひつよう 大抵 たいてい CAD きゃど 以下 いか 制御 せいぎょ 点 てん 曲線 きょくせん 描画 びょうが 終 お 最高 さいこう 階数 かいすう 置 お 換 か 例 たと Rhinoceros 3D で次数 じすう 指定 してい 曲線 きょくせん 描 えが 場合 ばあい 次数 じすう 曲線 きょくせん 初 はつ 点 てん 終点 しゅうてん 含 ふく 点 てん 以上 いじょう 制御 せいぎょ 点 てん 点 てん 打 う 場合 ばあい 次数 じすう 点 てん 指定 してい 場合 ばあい 次数 じすう 曲線 きょくせん
定義 ていぎ 上 じょう 階数 かいすう 階数 かいすう 問題 もんだい 実際 じっさい CAD きゃど 次数 じすう 特 とく 用途 ようと 階数 かいすう 次数 じすう 曲線 きょくせん 多 おお 用 もち 高 たか 階数 かいすう 滑 なめ 高 たか 階数 かいすう 内部 ないぶ 的 てき 数値 すうち 的 てき 問題 もんだい 引 ひ 起 お 計算 けいさん 無意味 むいみ 遅 おそ 実用 じつよう 上 じょう 意味 いみ
NURBSの基底 きてい 関数 かんすう 基底 きてい 関数 かんすう 同 おな 使 つか 一族 いちぞく 属 ぞく
N
i
,
n
(
u
)
{\displaystyle N_{i,n}(u)}
表 あらわ
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
番 ばん 目 め 制御 せいぎょ 点 てん 対応 たいおう
n
{\displaystyle n}
基底 きてい 関数 かんすう 次数 じすう [4] 媒介 ばいかい 変数 へんすう 依存 いぞん 性 せい
u
{\displaystyle u}
問題 もんだい
N
i
,
n
{\displaystyle N_{i,n}}
表 あらわ 多 おお
次数 じすう
n
=
0
{\displaystyle n=0}
関数 かんすう
N
i
,
0
{\displaystyle N_{i,0}}
定数 ていすう 関数 かんすう 対応 たいおう 範囲 はんい 以外 いがい 同様 どうよう 考 かんが
N
i
,
n
{\displaystyle N_{i,n}}
N
i
,
n
−
1
{\displaystyle N_{i,n-1}}
N
i
+
1
,
n
−
1
{\displaystyle N_{i+1,n-1}}
線形 せんけい 近似 きんじ
前節 ぜんせつ 説明 せつめい 基底 きてい 関数 かんすう
N
i
,
n
{\displaystyle N_{i,n}}
用 もち 曲線 きょくせん 一般 いっぱん 次 つぎ 式 しき 表 あらわ [5]
C
(
u
)
=
∑
i
=
1
k
N
i
,
n
w
i
∑
j
=
1
k
N
j
,
n
w
j
P
i
=
∑
i
=
1
k
N
i
,
n
w
i
P
i
∑
i
=
1
k
N
i
,
n
w
i
{\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {N_{i,n}w_{i}}{\sum _{j=1}^{k}N_{j,n}w_{j}}}{\mathbf {P}}_{i}={\frac {\sum _{i=1}^{k}{N_{i,n}w_{i}{\mathbf {P}}_{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{N_{i,n}w_{i}}}}}
ここで、
k
{\displaystyle k}
制御 せいぎょ 点 てん 個数 こすう 制御 せいぎょ 点 てん
P
i
{\displaystyle {\mathbf {P}}_{i}}
w
i
{\displaystyle w_{i}}
持 も 分母 ぶんぼ 正規 せいき 化 か 係数 けいすう 全 すべ 場合 ばあい 式 しき 通例 つうれい 次 じ 記述 きじゅつ
C
(
u
)
=
∑
i
=
1
k
R
i
,
n
(
u
)
P
i
{\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}R_{i,n}(u){\mathbf {P}}_{i}}
ここで関数 かんすう
R
i
,
n
(
u
)
{\displaystyle R_{i,n}(u)}
R
i
,
n
(
u
)
=
N
i
,
n
(
u
)
w
i
∑
j
=
1
k
N
j
,
n
(
u
)
w
j
{\displaystyle R_{i,n}(u)={N_{i,n}(u)w_{i} \over \sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}
は有理 ゆうり 基底 きてい 関数 かんすう 呼 よ
NURBS曲面 きょくめん 曲線 きょくせん テンソル積 せき で得 え 独立 どくりつ 媒介 ばいかい 変数 へんすう
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
表 あらわ
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
対応 たいおう [6]
S
(
u
,
v
)
=
∑
i
=
1
k
∑
j
=
1
l
R
i
,
j
(
u
,
v
)
P
i
,
j
{\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{l}R_{i,j}(u,v){\mathbf {P}}_{i,j}}
またこの場合 ばあい 有理 ゆうり 基底 きてい 関数 かんすう
R
i
,
j
(
u
,
v
)
=
N
i
,
n
(
u
)
N
j
,
m
(
v
)
w
i
,
j
∑
p
=
1
k
∑
q
=
1
l
N
p
,
n
(
u
)
N
q
,
m
(
v
)
w
p
,
q
{\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)w_{i,j}}{\sum _{p=1}^{k}\sum _{q=1}^{l}N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)w_{p,q}}}}
となる。
NURBSオブジェクトには様々 さまざま 変形 へんけい 例 たと 曲線 きょくせん 次数 じすう
d
{\displaystyle d}
n
{\displaystyle n}
個 こ 制御 せいぎょ 点 てん 表 あらわ 全 まった 同 おな 曲線 きょくせん 次数 じすう
d
{\displaystyle d}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
個 こ 制御 せいぎょ 点 てん 表 あらわ 複数 ふくすう 制御 せいぎょ 点 てん 位置 いち 変更 へんこう 追加 ついか
こういった変形 へんけい 過程 かてい 様々 さまざま 方法 ほうほう 用 もち 以下 いか 変形 へんけい 例 れい 示 しめ [7] [8]
ノットの追加 ついか は文字通 もじどお 追加 ついか 変形 へんけい 曲線 きょくせん 次数 じすう
d
{\displaystyle d}
d
−
1
{\displaystyle d-1}
個 こ 制御 せいぎょ 点 てん 新 あたら
d
{\displaystyle d}
個 こ 制御 せいぎょ 点 てん 置 お 換 か 追加 ついか 曲線 きょくせん 形状 けいじょう 自体 じたい 変更 へんこう 制御 せいぎょ 点 てん 移動 いどう 複 ふく 数 すう 回 かい 追加 ついか
微分 びぶん 幾何 きか 学 がく 最 もっと 重要 じゅうよう 曲 きょく 率 りつ
κ かっぱ
{\displaystyle \kappa }
曲 きょく 率 りつ 曲線 きょくせん 局部 きょくぶ 的 てき 様子 ようす 示 しめ 最適 さいてき 次 じ 次 じ 導 しるべ 関数 かんすう 関係 かんけい 性 せい 示 しめ 曲線 きょくせん 形状 けいじょう 正確 せいかく 知 し 有用 ゆうよう 一度 いちど 導 しるべ 関数 かんすう 簡単 かんたん 計算 けいさん 曲線 きょくせん 全体 ぜんたい 曲 きょく 率 りつ
κ かっぱ =
|
r
′
(
t
)
×
r
″
(
t
)
|
|
r
′
(
t
)
|
3
{\displaystyle \kappa ={\frac {|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^{3}}}}
近似 きんじ 式 しき 次 じ 導 しるべ 関数 かんすう 弧 こ 長 ちょう 計算 けいさん
κ かっぱ =
|
r
″
(
s
o
)
|
{\displaystyle \kappa =|r''(s_{o})|}
曲 きょく 率 りつ 直接的 ちょくせつてき 計算 けいさん ポリゴンによる表現 ひょうげん に対 たい 媒介 ばいかい 変数 へんすう 曲線 きょくせん 大 おお 強 つよ
^ Meng, Yan, Jin, Yaochu, ed. Bio-Inspired Self-Organizing Robotic Systems . Springer. p. 9. doi :10.1007/978-3-642-20760-0 . ISBN 978-3-642-20759-4 ^ David F. Rogers (2001). An Introduction to NURBS with Historical Perspective . OCLC 319637975 ^ Les Piegl & Wayne Tiller: The NURBS Book , chapter 2, sec. 2
^ Les Piegl & Wayne Tiller: The NURBS Book , chapter 4, sec. 2
^ Les Piegl & Wayne Tiller: The NURBS Book , chapter 4, sec. 4
^ Les Piegl & Wayne Tiller: The NURBS Book , chapter 5
^ L. Piegl (October 1989). “Modifying the shape of rational B-splines. Part 1: curves”. Computer-Aided Design 21 (8): 509-518. doi :10.1016/0010-4485(89)90059-6 . ISSN 0010-4485 .
Piegl, Les; Tiller, Wayne (1995–1997). “The main reference for Bézier, B-Spline and NURBS; chapters on mathematical representation and construction of curves and surfaces, interpolation, shape modification, programming concepts.”. The NURBS Book (2nd ed.). Springer-Verlag. OCLC 319637975 Thomas Sederberg (Semester 2011) NURBS , Chapter 6: B-splines (PDF ) , BYU, Syllabus Builder.
Ramshaw, Lyle (June 1987). “Blossoming: A connect-the-dots approach to splines” (PDF). Research Report 19, (Palo Alto, CA: Compaq Systems Research Center). http://www.hpl.hp.com/techreports/Compaq-DEC/SRC-RR-19.pdf . Rogers, David F. (2001). An Introduction to NURBS with Historical Perspective . Morgan Kaufmann Publishers. OCLC 319637975 Gershenfeld, Neil A. (1999). The nature of mathematical modeling . Cambridge university press. ISBN 0521570956
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