二に元げん搜さがせ尋ひろ樹じゅ

Binary search tree
类型	樹き
发明时间	1960年ねん
发明者しゃ	P·F·溫ぬる德利とっくり、安德あんとく鲁·唐から纳德·布ぬの思おもえ、安德あんとく鲁·科か林りん、托たく馬ば斯·N·希まれ巴ともえ德いさお
用よう大だいO符号ふごう表示ひょうじ的てき时间复杂度ど
算法さんぽう 平均へいきん 最さい差さ 空そら间 $O(n)$ $O(n)$ 搜索そうさく $O(\log n)$ $O(n)$ 插入そうにゅう $O(\log n)$ $O(n)$ 删除 $O(\log n)$ $O(n)$

3层二叉查找树

二叉查找树（英語えいご：Binary Search Tree），也称为二に叉また搜索そうさく树、有ゆう序じょ二に叉また树（ordered binary tree）或ある排はい序じょ二に叉また树（sorted binary tree），是ぜ指ゆび一棵空树或者具有下列性质的二に叉また树：

1. 若わか任意にんい节点的てき左ひだり子こ树不空そら，则左子こ树上所有しょゆう节点的てき值均小しょう于它的てき根ね节点的てき值；
2. 若わか任意にんい节点的てき右子ゆうこ树不空そら，则右子こ树上所有しょゆう节点的てき值均大だい于它的てき根ね节点的てき值；
3. 任意にんい节点的てき左ひだり、右子ゆうこ树也分ぶん别为二叉查找树；

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入そうにゅう的てき时间复杂度ど较低。为$O(\log n)$。二叉查找树是基础性数据结构，用よう于构建けん更さら为抽象ちゅうしょう的てき数すう据すえ结构，如集合しゅうごう、多重たじゅう集しゅう、关联数すう组等ひとし。

二叉查找树的查找过程和次じ优二に叉また树类似，通常つうじょう采さい取と二に叉また链表作さく为二叉查找树的存そん储结构。中ちゅう序じょ遍へん历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列，一いち个无序じょ序列じょれつ可か以透過とうか建けん構一棵二叉查找树变成一个有序序列，建けん構树的てき过程即そく为对无序序列じょれつ进行查找的てき过程。每次まいじ插入そうにゅう的てき新しん的てき结点都と是ぜ二叉查找树上新的叶子结点，在ざい进行插入そうにゅう操作そうさ时，不ふ必移动其它结点てん，只ただ需改动某个结点てん的てき指ゆび针，由ゆかり空そら变为非ひ空そら即そく可か。搜索そうさく、插入そうにゅう、删除的てき复杂度ど等とう于树高だか，期き望もち$O(\log n)$，最さい坏退化か為ため偏へん斜はす二に元げん樹じゅ$O(n)$。對たい於可能かのう形成けいせい偏へん斜はす二元樹的問題可以經由樹高改良後的平衡へいこう樹じゅ將はた搜さがせ尋ひろ、插入そうにゅう、刪除的てき時間じかん複雜ふくざつ度ど都と維持いじ在ざい$O(\log n)$，如AVL树、红黑树等ひとし。

二叉查找树的查找算法

在ざい二に叉また查找树b中ちゅう查找x的てき過程かてい為ため：

1. 若わかb是ぜ空そら樹じゅ，則のり搜索そうさく失敗しっぱい，否いや則のり：
2. 若わかx等とう於b的てき根ね節點せってん的てき數すう據よりどころ域いき之の值，則のり查找成功せいこう；否ひ則そく：
3. 若わかx小しょう於b的てき根ね節點せってん的てき數すう據よりどころ域いき之の值，則のり搜索そうさく左ひだり子こ樹じゅ；否ひ則そく：
4. 查找右子ゆうこ树。

Status SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p) {
    // 在ざい根ね指ゆび针T所しょ指ゆび二叉查找树中递归地查找其關键字等於key的てき數すう據よりどころ元素げんそ，若わか查找成功せいこう，
    // 則すなわち指ゆび针p指向しこう該數據よりどころ元素げんそ節點せってん，并返回かいTRUE，否いや則のり指ゆび针指向しこう查找路ろ徑みち上じょう訪問ほうもん的てき最後さいご
    // 一いち個こ節點せってん并返回かいFALSE，指ゆび针f指向しこうT的てき雙そう親おや，其初始はじめ调用值為NULL
    if (!T) { // 查找不ふ成功せいこう
        p = f;
        return false;
    } else if (key == T->data.key) { // 查找成功せいこう
        p = T;
        return true;
    } else if (key < T->data.key) // 在ざい左ひだり子こ樹じゅ中ちゅう繼續けいぞく查找
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
    else // 在ざい右子ゆうこ樹じゅ中ちゅう繼續けいぞく查找
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
}

在ざい二叉查找树插入節点的算法

向こう一个二元搜尋樹b中ちゅう插入そうにゅう一いち个節点てんs的てき算法さんぽう，过程为：

1. 若わかb是ぜ空そら树，则将s所しょ指ゆび節点せってん作さく为根節点せってん插入そうにゅう，否いや则：
2. 若わかs->data等とう于b的てき根ね節点せってん的てき数すう据すえ域いき之の值，则返回かい，否いや则：
3. 若わかs->data小しょう于b的てき根ね節点せってん的てき数すう据すえ域いき之の值，则把s所しょ指ゆび節点せってん插入そうにゅう到いた左ひだり子こ树中，否いや则：
4. 把わs所しょ指ゆび節点せってん插入そうにゅう到いた右子ゆうこ树中。（新しん插入そうにゅう節點せってん總そう是ぜ葉子ようこ節點せってん）

/* 当とう二に元げん搜さがせ尋ひろ樹じゅT中ちゅう不ふ存在そんざい关键字じ等とう于e.key的てき数すう据すえ元素げんそ时，插入そうにゅうe并返回かいTRUE，否いや则返回かい FALSE */
Status InsertBST(BiTree *&T, ElemType e) {
    if (!T) {
        s = new BiTNode;
        s->data = e;
        s->lchild = s->rchild = NULL;
        T = s; // 被ひ插節点てん*s为新的てき根ね结点
    } else if (e.key == T->data.key)
        return false;// 关键字じ等とう于e.key的てき数すう据すえ元素げんそ，返かえし回かい錯誤さくご
    if (e.key < T->data.key)
        InsertBST(T->lchild, e);  // 將はた e 插入そうにゅう左ひだり子こ樹じゅ
    else if (e.key > T->data.key)
        InsertBST(T->rchild, e);  // 將はた e 插入そうにゅう右みぎ子こ樹じゅ
    return true;
}

在ざい二叉查找树删除结点的算法

删除一いち个有左ひだり、右子ゆうこ树的节点

在ざい二叉查找树删去一个结点，分ふん三种情况讨论：

1. 若わか*p结点为叶子こ结点，即そくPL（左ひだり子こ树）和わPR（右子ゆうこ树）均ひとし为空树。由よし于删去叶かのう子こ结点不破ふわ坏整棵树的てき结构，则只需修改あらため其双亲结点てん的てき指ゆび针即可か。
2. 若わか*p结点只ただ有ゆう左ひだり子こ树PL或ある右子ゆうこ树PR，此时只ただ要よう令れいPL或あるPR直接ちょくせつ成なり为其双そう亲结点てん*f的てき左ひだり子こ树（当とう*p是ぜ左ひだり子こ树）或ある右子ゆうこ树（当とう*p是ぜ右子ゆうこ树）即そく可か，作さく此修改あらため也不破ふわ坏二叉查找树的特性。
3. 若わか*p结点的てき左ひだり子こ树和右子ゆうこ树均不空ふくう。在ざい删去*p之の后きさき，为保持ほじ其它元素げんそ之の间的相しょう对位置いち不ふ变，可か按中序じょ遍へん历保持ほじ有ゆう序じょ进行调整，可か以有两种做法：其一是ぜ令れい*p的てき左ひだり子こ树为*f的てき左ひだり/右みぎ（依よ*p是ぜ*f的てき左ひだり子こ树还是ぜ右子ゆうこ树而定じょう）子こ树，*s为*p左ひだり子こ树的最さい右みぎ下か的てき结点，而*p的てき右子ゆうこ树为*s的てき右子ゆうこ树；其二そのじ是ぜ令れい*p的てき直接ちょくせつ前ぜん驱（in-order predecessor）或ある直接ちょくせつ后きさき继（in-order successor）替がえ代だい*p，然しか后きさき再さい从二叉查找树中删去它的直接前驱（或ある直接ちょくせつ后きさき继）。

在ざい二叉查找树上删除一个结点的算法如下：

Status DeleteBST(BiTree *T, KeyType key) {
    // 若わか二に叉また查找树T中ちゅう存在そんざい关键字じ等とう于key的てき数すう据すえ元素げんそ时，则删除じょ该数据すえ元素げんそ，并返回かい
    // TRUE；否いや则返回かいFALSE
    if (!T)
        return false; //不ふ存在そんざい关键字じ等とう于key的てき数すう据すえ元素げんそ
    else {
        if (key == T->data.key)   //   找到关键字じ等とう于key的てき数すう据すえ元素げんそ
            return Delete(T);
        else if (key < T->data.key)
            return DeleteBST(T->lchild, key);
        else
            return DeleteBST(T->rchild, key);
    }
}

Status Delete(BiTree *&p) {
    // 该节点てん为叶子こ节点，直接ちょくせつ删除
    BiTree *q, *s;
    if (!p->rchild && !p->lchild) {
        delete p;
        p = NULL;  // Status Delete(BiTree *&p) 要よう加か&才能さいのう使しP指向しこうNULL
    } else if (!p->rchild) { // 右子ゆうこ树空则只需重接せっ它的左ひだり子こ树
        q = p->lchild;
        /*
        p->data = p->lchild->data;
        p->lchild=p->lchild->lchild;
        p->rchild=p->lchild->rchild;
        */
        p->data = q->data;
        p->lchild = q->lchild;
        p->rchild = q->rchild;
        delete q;
    } else if (!p->lchild) { // 左ひだり子こ树空只ただ需重接せっ它的右子ゆうこ树
        q = p->rchild;
        /*
        p->data = p->rchild->data;
        p->lchild=p->rchild->lchild;
        p->rchild=p->rchild->rchild;
        */
        p->data = q->data;
        p->lchild = q->lchild;
        p->rchild = q->rchild;
        delete q;
    } else { // 左右さゆう子こ树均不空ふくう
        q = p;
        s = p->lchild;
        while (s->rchild) {
            q = s;
            s = s->rchild;
        } // 转左，然しか后きさき向こう右みぎ到いた尽つき头
        p->data = s->data;  // s指向しこう被ひ删结点てん的てき“前ぜん驱”
        if (q != p)
            q->rchild = s->lchild;  // 重じゅう接せっ*q的てき右子ゆうこ树
        else
            q->lchild = s->lchild;  // 重じゅう接せっ*q的てき左ひだり子こ树
        delete s;
    }
    return true;
}

在ざいC语言中有ちゅうう些编译器不ふ支持しじ为struct Node 节点分配ぶんぱい空そら间，声こえ称しょう这是一个不完全的结构，可か使用しよう一いち个指向しこう该Node的てき指ゆび针为之分配ぶんぱい空そら间。

• 如：sizeof( Probe )，Probe作さく为二に叉また树节点在てんざいtypedef中ちゅう定てい义的指ゆび针。

Python实现：

def find_min(self):   # Gets minimum node (leftmost leaf) in a subtree
    current_node = self
    while current_node.left_child:
        current_node = current_node.left_child
    return current_node

def replace_node_in_parent(self, new_value=None):
    if self.parent:
        if self == self.parent.left_child:
            self.parent.left_child = new_value
        else:
            self.parent.right_child = new_value
    if new_value:
        new_value.parent = self.parent

def binary_tree_delete(self, key):
    if key < self.key:
        self.left_child.binary_tree_delete(key)
    elif key > self.key:
        self.right_child.binary_tree_delete(key)
    else: # delete the key here
        if self.left_child and self.right_child: # if both children are present
            successor = self.right_child.find_min()
            self.key = successor.key
            successor.binary_tree_delete(successor.key)
        elif self.left_child:   # if the node has only a *left* child
            self.replace_node_in_parent(self.left_child)
        elif self.right_child:  # if the node has only a *right* child
            self.replace_node_in_parent(self.right_child)
        else: # this node has no children
            self.replace_node_in_parent(None)

二叉查找树的遍历

中ちゅう序じょ遍へん历（in-order traversal）二叉查找树的Python代だい码：

def traverse_binary_tree(node, callback):
    if node is None:
        return
    traverse_binary_tree(node.leftChild, callback)
    callback(node.value)
    traverse_binary_tree(node.rightChild, callback)

排はい序じょ（或ある称しょう构造）一棵二叉查找树

用もちい一组数值建造一棵二叉查找树的同时，也把这组数すう值进行ぎょう了りょう排はい序じょ。其最差さ时间复杂度ど为$O(n^{2})$。例れい如，若わか该组数すう值已经是有ゆう序じょ的てき（从小到いた大だい），则建造けんぞう出来でき的てき二叉查找树的所有节点，都と没ぼつ有ゆう左ひだり子こ树。自じ平衡へいこう二叉查找树可以克服上述缺点，其时间复杂度为O(nlog n)。一方いっぽう面めん，树排序じょ的てき问题使し得とくCPU Cache性能せいのう较差，特とく别是当とう节点是ぜ动态内ない存そん分配ぶんぱい时。而堆排はい序じょ的てきCPU Cache性能せいのう较好。另一方面ほうめん，树排序じょ是ぜ最さい优的增量ぞうりょう排はい序じょ（incremental sorting）算法さんぽう，保持ほじ一个数值序列的有序性。

def build_binary_tree(values):
    tree = None
    for v in values:
        tree = binary_tree_insert(tree, v)
    return tree

def get_inorder_traversal(root):
    '''
    Returns a list containing all the values in the tree, starting at *root*.
    Traverses the tree in-order(leftChild, root, rightChild).
    '''
    result = []
    traverse_binary_tree(root, lambda element: result.append(element))
    return result

二叉查找树性能分析

每まい个结点てん的てき$C_{i}$为该结点的てき层次数すう。最さい坏情况下，当とう先さき后きさき插入そうにゅう的てき关键字じ有ゆう序じょ时，构成的てき二叉查找树蜕变为单支树，树的深度しんど为$n$，其平均へいきん查找长度为${\frac {n+1}{2}}$（和わ顺序查找相しょう同どう），最さい好このみ的てき情じょう况是二叉查找树的形态和折半查找的判定树相同，其平均へいきん查找长度和わ$\log _{2}(n)$成なり正せい比ひ（$O(\log _{2}(n))$）。

二叉查找树的优化

一般いっぱん的てき二叉查找树的查询复杂度取决于目标结点到树根的距离（即そく深度しんど），因いん此当结点的てき深度しんど普遍ふへん较大时，查询的てき均ひとし摊复杂度会かい上じょう升ます。为了实现更さら高だか效こう的てき查询，产生了りょう平衡へいこう树。在ざい这里，平衡へいこう指ゆび所有しょゆう叶かのう子こ的てき深度しんど趋于平衡へいこう，更さら广义的てき是ぜ指ゆび在ざい树上所有しょゆう可能かのう查找的てき均ひとし摊复杂度偏へん低ひく。请参见主条目じょうもく平衡へいこう树。

参まいり见

• 平衡へいこう二に叉また搜索そうさく树
• 跳躍ちょうやく列れつ表ひょう

外部がいぶ链接

• Literate implementations of binary search trees in various languages（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） on LiteratePrograms
• Binary Tree Visualizer（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） (JavaScript animation of various BT-based data structures)
• Kovac, Kubo. Binary Search Trees. Korešponden?ný seminár z programovania. [2018-04-29]. （原始げんし内容ないよう (Java applet)存そん档于2018-04-30）.  （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• Madru, Justin. Binary Search Tree. JDServer. 18 August 2009 [2018-04-29]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2010-03-28）.  （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） C++ implementation.
• Binary Search Tree Example in Python（页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）
• References to Pointers (C++). 微ほろ软开发者网络. 微ほろ软. 2005 [2018-04-29]. （原始げんし内容ないよう存そん档于2017-03-29）.  （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆） Gives an example binary tree implementation.