左ひだり偏へん树

左ひだり偏へん树（英語えいご：Leftist tree），也可称しょう为左ひだり偏へん堆うずたか、左ひだり倾堆，是ぜ计算机つくえ科学かがく中なか的てき一いち种树，是ぜ一いち种优先队列实现方式ほうしき，属ぞく于可か并堆うずたか，在ざい信しん息いき学がく中ちゅう十分じゅうぶん常つね见，在ざい统计问题、最さい值问题、模かたぎ拟问题和贪心问题等ひとし等とう类型的てき题目中ちゅう，左ひだり偏へん树都有ゆう着ぎ广泛的てき应用。斜はす堆うずたか是ぜ比ひ左ひだり偏へん树更为一般的数据结构。

不同ふどう于斜はす堆うずたか合ごう并的平均へいきん情況じょうきょう複雜ふくざつ度ど,左ひだり偏へん堆うずたか的てき合ごう并操作そうさ的てき最さい壞情況きょう複雜ふくざつ度ど为 $O(logn)$，而完全ぜん二に叉また堆うずたか为 $O(n)$，所以ゆえん左ひだり偏へん堆うずたか适合基もと于合并操作そうさ的てき情じょう形がた。

由よし于左偏へん堆うずたか已やめ经不是ぜ完全かんぜん二に叉また树，因いん此不能ふのう用よう数すう组存储表示ひょうじ，需要じゅよう用よう链接结构。

定てい义

左ひだり偏へん树的节点的てき距离值

左ひだり偏へん树是一いち种可并堆うずたか的てき实现。左ひだり偏へん树是一いち棵二に叉また树，它的节点除じょ了りょう和わ二叉树的节点一样具有左右子树指ゆび针（left, right）外そと，还有两个属性ぞくせい： 键值和わ距离（英文えいぶん文献ぶんけん中称ちゅうしょう为s-value）。键值用よう于比较节点てん的てき大小だいしょう。距离的てき定てい义如下か：

当とう且仅当とう节点 i 的てき左ひだり子こ树或右子ゆうこ树为空そら时，节点被ひ称しょう作さく外そと节点（实际上保かみのほ存在そんざい二叉树中的节点都是内节点，外がい节点是ぜ逻辑上じょう存在そんざい而无需保存ほぞん。把わ一颗二叉树补上全部的外节点，则称为extended binary tree）。节点i的てき距离是ぜ节点 i 到いた它的后きさき代だい中ちゅう的てき最近さいきん的てき外そと节点所しょ经过的てき边数。特とく别的，如果节点 i 本身ほんみ是ぜ外がい节点，则它的てき距离为0;而空节点的てき距离规定为 -1。

性せい质

1. 节点的てき键值小しょう于或等とう于它的てき左右さゆう子こ节点的てき键值。
2. 节点的てき左ひだり子こ节点的てき距离不ふ小しょう于右子こ节点的てき距离。
3. 节点的てき距离等とう于它的てき右子ゆうこ节点的てき距离加か1。
4. 一いち棵N个节点てん的てき左ひだり偏へん树root节点的てき距离最多さいた为log(N+1)-1。

操作そうさ

初はつ始はじめ化か一个左偏树

初はつ始はじめ化か左ひだり偏へん树有两种方式ほうしき。

第だい一种是每次选择一个节点与树合并，直ちょく到いた所有しょゆう节点都合つごう并为一いち个树。这种方法ほうほう不ふ太ふと有效ゆうこう，时间复杂度ど为$O(nlogn)$。

第だい二に种方法ほう是ぜ使用しよう队列，将はた队列中前ちゅうぜん两个节点合あい并，将はた合ごう并后的てき新しん节点放ひ到いた队列的てき末尾まつび，直ちょく到いた队列中ちゅう只ただ有ゆう一いち个节点てん。这种方法ほうほう的てき时间复杂度ど为$O(n)$。

合ごう并两颗左偏へん树

假かり设堆是ぜ小しょう根ね堆うずたか，合ごう并时选择关键字じ较小的てき节点作さく为根节点，然しか后きさき将はた关键字じ大だい的てき节点与根よね节点的てき右みぎ子こ堆うずたか合ごう并。

在ざい合ごう并之后きさき，比ひ较子堆うずたか的てきs值。通つう过交换左右子ゆうこ堆うずたか来らい保ほ证左节点的てきs值始终大于等于右节点。然しか后きさき更新こうしん节点的てきs值。

Java代だい码实现合并两棵左偏へん的てき最小さいしょう树：

1. root键值最小さいしょう的てき树的右子ゆうこ树与其它树合并；
2. 上うえ步合ぶあい并结果はて作さく为与root键值最小さいしょう树的右子ゆうこ树。
3. 比ひ较root的てき左右さゆう子こ树的距离值（s-value），如果右子ゆうこ树大于左子こ树则交换两棵子こ树

public Node merge(Node x, Node y) {
  if(x == null)
    return y;
  if(y == null) 
    return x;

  // if this was a max height biased leftist tree, then the 
  // next line would be: if(x.element < y.element)
  if(x.element.compareTo(y.element) > 0) {  
    // x.element > y.element
    Node temp = x;
    x = y;
    y = temp;
  }

  x.rightChild = merge(x.rightChild, y);

  if(x.leftChild == null) {
    // left child doesn't exist, so move right child to the left side
    x.leftChild = x.rightChild;
    x.rightChild = null;

  } else {
    // left child does exist, so compare s-values
    if(x.leftChild.s < x.rightChild.s) {
      Node temp = x.leftChild;
      x.leftChild = x.rightChild;
      x.rightChild = temp;
    }
    // since we know the right child has the lower s-value, we can just
    // add one to its s-value
    x.s = x.rightChild.s + 1;
  }
  return x;
}

其他操作そうさ

增加ぞうか一いち个节点てん、删除根ね节点、初はつ始はじめ化か一いち批数据すえ，都みやこ是ただし基もと于合并操作そうさ。

延伸えんしん阅读

• Leftist Trees （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）, Sartaj Sahni
• 傅でん清祥せいしょう,王おう晓东 算法さんぽう与あずか数かず据すえ结构(第だい二に版はん) 电子工こう业出版しゅっぱん社しゃ
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein Introduction to Algorithms (Second Edition) The MIT Press
• Mark Allen Weiss Data Structures and Algorithm Analysis in C (Second Edition) Pearson Education