二に體たい問題もんだい

在ざい這篇文章ぶんしょう內，向むかい量りょう與あずか标量分別ふんべつ用よう粗そ體からだ與あずか斜體しゃたい顯示けんじ。例れい如，位置いち向こう量りょう通どおり常用じょうよう $\mathbf {r} \,\!$ 表示ひょうじ；而其大小だいしょう則そく用よう $r\,\!$ 來らい表示ひょうじ。

兩個りゃんこ質量しつりょう相等そうとう的てき粒子りゅうし，依よ循各自かくじ橢圓だえん軌道きどう，繞にょう著ちょ質しつ心こころ公轉こうてん。

兩個りゃんこ質量しつりょう稍やや微ほろ不同ふどう的てき粒子りゅうし的てき運動うんどう，依よ循各自かくじ橢圓だえん軌道きどう，繞にょう著ちょ質しつ心こころ公轉こうてん。這種軌道きどう的てき尺寸しゃくすん與あずか形狀けいじょう類似るいじ冥王星めいおうせい-冥めい衛まもる一いち系統けいとう。

在ざい經典きょうてん力學りきがく裏うら，二に體たい問題もんだい（英語えいご：two-body problem）研究けんきゅう兩個りゃんこ粒子りゅうし因いん彼此ひし互相作用さよう而產生せい的てき運動うんどう。這是個こ很重要じゅうよう的てき天文學てんもんがく問題もんだい，常見つねみ的てき應用おうよう有ゆう衛星えいせい繞にょう著ちょ行くだり星ぼし公轉こうてん、行くだり星ぼし繞にょう著ちょ恆星こうせい公轉こうてん、雙そう星ほし系統けいとう、雙そう行くだり星ぼし、一いち個こ經典きょうてん電子でんし繞にょう著ちょ原子核げんしかく運動うんどう等とう等とう。

二體問題可以表述為兩個獨立的單體たんたい問題もんだい，其中一いち個こ是ぜ平凡へいぼん的てき單體たんたい問題もんだい，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由よし於很多た單體たんたい問題もんだい有ゆう精確せいかく解かい（exact solution），即そく不ふ需借助じょ近似きんじ方法ほうほう就可得え到いた問題もんだい的てき解答かいとう；其對應おう的てき二體問題連帶地也可解析。顯然けんぜん不ふ同地どうち，除じょ了りょう特別とくべつ案あん例れい以外いがい，三さん體たい問題もんだい（或ある者もの更さら複雜ふくざつ的てき多た體からだ問題もんだい）並なみ沒ぼつ有精ゆうせい確かく解かい。

約やく化か為ため兩個りゃんこ獨立どくりつ的てき單體たんたい問題もんだい

在ざい一いち個こ物理ぶつり系統けいとう裏うら，假設かせつ兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき質量しつりょう分別ふんべつ為ため$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，在ざい時間じかん$t=0\,\!$的てき初はつ始はじめ位置いち分別ふんべつ為ため$\mathbf {x} _{10}\,\!$、$\mathbf {x} _{20}\,\!$，初はつ始はじめ速度そくど分別ふんべつ為ため$\mathbf {v} _{10}\,\!$、$\mathbf {v} _{20}\,\!$，計算けいさん這兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき軌跡きせき函數かんすう$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$及$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$的てき問題もんだい，稱しょう為ため二に體たい問題もんだい。

根據こんきょ牛うし頓ひたぶる第だい二に定律ていりつ：

$\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\,\!$ —— (1)、

$\mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\,\!$ —— (2)；

其中，$\mathbf {F} _{AB}\,\!$表示ひょうじ粒子りゅうしB施ほどこせ加か於粒子こA的てき作用さよう力りょく。

二に體たい問題もんだい的てき雅みやび可か比ひ坐すわ標しるべ(Jacobi coordinates)為ため質しつ心こころ坐すわ標しるべ${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$和わ相しょう對坐たいざ標しるべ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$；其中，$M=m_{1}+m_{2}\$ 。

將はた方程式ほうていしき(1)與あずか方程式ほうていしき(2)相あい加か，可か以得到いた一いち個こ方程式ほうていしき，專門せんもん描述兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき質しつ心しん運動うんどう。將はた方程式ほうていしき(1)與あずか方程式ほうていしき(2)的てき相しょう減げん，則のり可か得え到いた描述兩個りゃんこ粒子りゅうし相對そうたい的てき位い移うつり向むこう量りょう$\mathbf {r} =\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\,\!$與あずか時間じかん之の間あいだ的てき關係かんけい。將はた這兩個りゃんこ獨立どくりつ的てき單體たんたい問題もんだい的てき解答かいとう結合けつごう起おこり來らい，就可以求得とく軌跡きせき函數かんすう$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$和わ$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$。

質しつ心しん運動うんどう（第だい一いち個こ單體たんたい問題もんだい）

質しつ心こころ的てき位置いち由よし兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき位置いち和わ質量しつりょう給きゅう出で：

$\mathbf {x} _{cm}\ {\stackrel {def}{=}}\ (m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2})/M\,\!$；

其中，$M=m_{1}+m_{2}\,\!$是ぜ系統けいとう的てき總そう質量しつりょう。

質しつ心しん的てき加速度かそくど為ため：

${\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2})/M\,\!$。

由よし於沒有ゆう外力がいりょく作用さよう，將はた方程式ほうていしき(1)與あずか(2)相あい加か，根據こんきょ牛うし頓ひたぶる第だい三さん定律ていりつ，可か以得到いた

$M{\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0\,\!$。

因いん此，質しつ心しん的てき加速度かそくど等とう於零，質しつ心しん的てき速度そくど$\mathbf {v} _{cm}\,\!$為ため常數じょうすう：

$\mathbf {v} _{cm}={\dot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20})/M\,\!$。

這物理ぶつり系統けいとう的てき動どう量りょう守恆もりつね：

$m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=M\mathbf {v} _{cm}=m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20}\,\!$。

從したがえ兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき初はつ始はじめ位置いち和わ初はつ始はじめ速度そくど，就可以決定けってい質しつ心こころ在ざい任意にんい時間じかん的てき位置いち：

$\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$。

位い移うつり向むこう量りょう運動うんどう（第だい二に個こ單體たんたい問題もんだい）

將はた方程式ほうていしき(1)、(2)分別ふんべつ除じょ以$m_{1}\,\!$、$m_{2}\,\!$，然しか後こう相しょう減げん，可か以得到いた

${\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)\,\!$。

其中，$\mathbf {r} \,\!$是これ個こ從したがえ粒子りゅうし2位置いち指ゆび到いた粒子りゅうし1位置いち的てき位い移うつり向むこう量りょう。

應用おうよう牛うし頓ひたぶる第だい三さん定律ていりつ，$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\,\!$。所以ゆえん，

${\ddot {\mathbf {r} }}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}\,\!$。

兩個りゃんこ粒子りゅうし之の間あいだ的てき作用さよう力りょく應おう該只是ぜ相對そうたい位置いち$\mathbf {r} \,\!$的てき函數かんすう，而不是ぜ絕對ぜったい位置いち$\mathbf {x} _{1}\,\!$、$\mathbf {x} _{2}\,\!$的てき函數かんすう；否ひ則そく，無法むほう滿足まんぞく物理ぶつり的てき平ひら移うつり對稱たいしょう，物理ぶつり定律ていりつ會かい因いん地ち而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換かわ句く話はなし說せつ，在ざい宇宙うちゅう中ちゅう，兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき絕對ぜったい位置いち無關むせき緊要きんよう，因いん為ため它們是ぜ宇宙うちゅう中ちゅう唯一ゆいいつ的てき兩個りゃんこ粒子りゅうし，是ぜ互相施ほどこせ加か於彼此ひし的てき作用さよう力りょく的てき源げん頭あたま。誠まこと然しか地ち，這是一いち個こ不ふ實際じっさい的てき問題もんだい，可か以被視し為ため一いち個こ思想しそう實驗じっけん。為ため了りょう滿足まんぞく這問題もんだい的てき要求ようきゅう，兩個りゃんこ粒子りゅうし之の間あいだ的てき作用さよう力りょく必須ひっす只ただ是ぜ相對そうたい位置いち$\mathbf {r} \,\!$的てき函數かんすう。這樣，相そう減げん得え到いた的てき方程式ほうていしき寫うつし為ため

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$；

其中，$\mu =m_{1}m_{2}/M\,\!$是これ約やく化か質量しつりょう。

一旦いったん求もとめ得え函數かんすう$\mathbf {x} _{cm}(t)\,\!$與あずか$\mathbf {r} (t)\,\!$，就可以計算出さんしゅつ兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき軌跡きせき方程式ほうていしき$\mathbf {x} _{1}(t)\,\!$與あずか$\mathbf {x} _{2}(t)\,\!$：

$\mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+m_{2}\mathbf {r} (t)/M\,\!$、

$\mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-m_{1}\mathbf {r} (t)/M\,\!$。

角すみ動どう量りょう

兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき總そう角すみ動どう量りょう$\mathbf {L} _{tot}\,\!$為ため

${\begin{aligned}\mathbf {L} _{tot}&=\mathbf {x} _{1}\times (m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1})+\mathbf {x} _{2}\times (m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2})=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}+\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\\&=\mathbf {L} _{cm}+\mathbf {L} _{rel}\\\end{aligned}}\,\!$

其中，$\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}\,\!$是ぜ質しつ心しん對たい於原點げんてん的まと角かく動どう量りょう，$\mathbf {L} _{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!$是ぜ兩個りゃんこ粒子りゅうし對たい於質心的しんてき角かく動どう量りょう。

回想かいそう前面ぜんめん質しつ心的しんてき軌跡きせき方程式ほうていしき，

$\mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!$。

為ため了簡りょうけん化か分析ぶんせき，設定せってい質しつ心的しんてき初はつ始はじめ位置いち為ため$0\,\!$。也就是ぜ說せつ，質しつ心しん的てき直線ちょくせん運動うんどう經過けいか原點げんてん。那な麼，

$\mathbf {L} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t\times M\mathbf {v} _{cm}=0\,\!$、

$\mathbf {L} _{tot}=\mathbf {L} _{rel}\,\!$。

二体问题常用的换元的技巧是通过 $u=1/r\!$ 和わ ${\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!$ 将はた原方はらかた程ほど中ちゅう对时间的求もとめ导转化か为对角度かくど $\theta \!$ 的まと求もとめ导，并得到いたSturm-Liouville型がた方かた程ほど

$(Lu')'+Lu=1/L\!$

角すみ動どう量りょう守恆もりつね與あずか連れん心力しんりょく

二に體たい問題もんだい的てき總そう力ちから矩のり${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$是これ

${\boldsymbol {\tau }}_{tot}=\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {F} _{12}+\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {F} _{21}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{12}\,\!$。

在ざい物理ぶつり學がく裏うら，時じ常會じょうかい遇ぐう到いた的てき萬有引力ばんゆういんりょく、靜せい電力でんりょく等ひとし等ひとし，都みやこ是ただし連れん心力しんりょく。假設かせつ，作用さよう力りょく$\mathbf {F} _{12}\,\!$是ぜ連れん心力しんりょく，則のり$\mathbf {F} _{12}\,\!$與あずか$\mathbf {r} \,\!$同どう直線ちょくせん，總力そうりょく矩のり${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$等とう於0。根據こんきょ角すみ動どう量りょう守恆もりつね定律ていりつ，

${\boldsymbol {\tau }}_{tot}={\frac {d\mathbf {L} _{tot}}{dt}}\,\!$。

因いん此，總角あげまき動どう量りょう$\mathbf {L} _{tot}\,\!$是これ個こ常數じょうすう，總角あげまき動どう量りょう守恆もりつね。

請注意ちゅうい，並なみ不ふ是ぜ每ごと一種力都是連心力。假設かせつ，兩個りゃんこ粒子りゅうし是ぜ帶電たいでん粒子りゅうし。由ゆかり必歐-沙すな伐き定律ていりつ與あずか勞ろう侖茲力りょく定律ていりつ所しょ算出さんしゅつ的てき作用さよう力りょく和わ反作用はんさよう力りょく並なみ不ふ是ぜ連れん心力しんりょく。總力そうりょく矩のり${\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!$不等ふとう於0。總角あげまき動どう量りょう不ふ守恆もりつね；這是因いん為ため還かえ有ゆう角かく動どう量りょう並なみ沒ぼつ有ゆう被ひ計算けいさん在ざい內。假かり若わか，將はた電磁場でんじば的まと角かく動どう量りょう計算けいさん在ざい內，則のり角かく動どう量りょう守恆もりつね定律ていりつ仍舊成立せいりつ。

在ざい很多物理ぶつり系統けいとう裏うら，作用さよう力りょく$\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!$是ぜ一いち種しゅ連れん心力しんりょく，以方程式ほうていしき表示ひょうじ為ため

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}$；

其中，$r\,\!$是ぜ徑みち向こう距離きょり，${\hat {\mathbf {r} }}\,\!$是ぜ徑みち向むこう單位たんい向むこう量りょう。

這物理ぶつり系統けいとう的てき運動うんどう方程式ほうていしき為ため

$\mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\,\!$。

更さら詳しょう盡つき細ぼそ節ふし，請參閱條目め經典きょうてん連れん心力しんりょく問題もんだい（classical central force problem）。

平面へいめん運動うんどう與あずか角かく動どう量りょう守恆もりつね

總角あげまき動どう量りょう與あずか$\mathbf {r} \,\!$的てき點てん積せき為ため

$\mathbf {r} \cdot \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (\mu {\dot {\mathbf {r} }}))=0\,\!$。

這兩個りゃんこ粒子りゅうし的てき運動うんどう軌道きどう必定ひつじょう包含ほうがん於垂直ちょく於$\mathbf {L} _{tot}\,\!$的てき平面へいめん。假設かせつ作用さよう力りょく為ため連れん心力しんりょく，則のり由よし於角動どう量りょう守恆もりつね，這兩個りゃんこ粒子りゅうし必定ひつじょう運動うんどう於某特定とくてい平面へいめん，而常數すう向むこう量りょう$\mathbf {L} _{tot}\,\!$垂直すいちょく於這平面へいめん。

參まいり閱

• 多た體からだ問題もんだい
• 克かつ卜ぼく勒定律ていりつ
• 克かつ卜ぼく勒問題もんだい
• 拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯-龍りゅう格かく-冷ひや次じ向むこう量りょう
• 伯はく特とく蘭らん定理ていり
• 牛うし頓ひたぶる旋轉せんてん軌道きどう定理ていり

參考さんこう文獻ぶんけん

来らい源みなもと

书籍

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).