傅でん里さと叶かのう级数

方ほう波なみ的てき傅でん里さと叶かのう级数前まえ四项的部份总和。随ずい着ぎ增加ぞうか更さら多た的てき谐波，这个部ぶ份总和かず收おさむ敛成方かた波は。

在ざい数学すうがく中なか，傅でん里さと叶かのう级数（英語えいご：Fourier series，/ˈfʊrieɪ, -iər/）是これ把わ类似波なみ的てき函数かんすう表示ひょうじ成なり简单谐波的てき方式ほうしき。更正こうせい式しき地ち说，对于满足狄利克かつ雷かみなり定理ていり的てき周期しゅうき函数かんすう，其傅里さと叶かのう级数是ぜ由よし一いち组正弦せいげん与あずか余弦よげん函数かんすう的てき加か权和わ表示ひょうじ的てき方法ほうほう。傅でん里さと叶かのう级数与あずか用よう来らい找出无周期き函数かんすう的てき频率信しん息いき的てき傅でん里さと叶かのう变换有ゆう密みつ切きり的てき关系。

傅でん里さと叶かのう级数是ぜ傅でん里さと叶かのう分析ぶんせき的てき一いち个研究けんきゅう分ぶん支ささえ，也是采さい样定理ていり原始げんし证明的てき核心かくしん。傅でん里さと叶かのう级数在ざい数かず论、组合数学すうがく、信号しんごう处理、概がい率りつ论、统计学がく、密みつ码学、声こえ学がく、光学こうがく等とう领域都と有ゆう着ぎ广泛的てき应用。

歷史れきし

傅でん里さと叶かのう级数得とく名めい于法国こく数学すうがく家か约瑟夫おっと·傅でん里さと叶かのう（1768年ねん–1830年ねん），他た提出ていしゅつ任にん何なに函数かんすう都と可か以展てん开为三角さんかく级数。此前数学すうがく家か欧おう拉ひしげ、达朗贝尔和わ克かつ莱罗，已やめ发现在ざい认定一個函数有三角级数展开后，通つう过积分ぶん方法ほうほう计算其系数すう的てき公式こうしき，而拉ひしげ格かく朗ろう日び等とう人ひと已やめ经找到了りょう一些非周期函数的三角级数展开。将はた周期しゅうき函数かんすう分解ぶんかい为简单振ふ荡函数かんすう的てき总和的てき最早もはや想そう法ほう，可か以追溯さかのぼ至いたり公こう元もと前まえ3世紀せいき古代こだい天文學てんもんがく家か的てき均ひとし輪わ和本わほん輪わ學說がくせつ。

傅でん里さと叶かのう的てき工作こうさく得え到いた了りょう丹たん尼に尔·伯はく努つとむ利り的てき赞助，傅でん里さと叶かのう介入かいにゅう三角级数用來解热传导方程ほど，其最初はつ论文雖經西にし尔维斯特·拉ひしげ克かつ鲁瓦、加か斯帕尔·蒙こうむ日ひ同意どうい，但ただし在ざい1807年ねん经拉ひしげ格かく朗ろう日び、拉ひしげ普ひろし拉ひしげ斯和わ勒讓德とく评審后きさき被ひ拒こばめ绝出版しゅっぱん，他た的てき现在被ひ称しょう为傅でん里さと葉は逆轉ぎゃくてん定理ていり的てき理り论后来らい发表于1822年ねん出版しゅっぱん的てき《热的解析かいせき理り论》。

定義ていぎ

上うえ图展示てんじ了りょう蓝色无周期き函数かんすう$s(x)$，它只定てい义在红色区く间$[0,P]$之これ上じょう。可か以认为傅里さと叶かのう级数，是ぜ对下图中最初さいしょ函数かんすう的てき“周期しゅうき延のべ拓たく”的てき分析ぶんせき，傅でん里さと叶かのう级数总是周期しゅうき函数かんすう，即そく使つかい最初さいしょ函数かんすう$s(x)$不ふ是ぜ周期しゅうき函数かんすう。

傅でん里さと叶かのう级数可か以用不同ふどう的てき形式けいしき来き表おもて达，下面かめん将しょう周期しゅうき为$P$的てき一いち个周期しゅうき函數かんすう${\textstyle s(x),\ x\in \mathbb {R} }$表おもて达为不同ふどう形式けいしき的てき傅でん里さと叶かのう级数。

正弦せいげん-余弦よげん形式けいしき

人ひと们常用じょうよう$\sin(x)$與あずか$\cos(x)$的てき三角さんかく級數きゅうすう來らい表示ひょうじ${\textstyle s(x)}$，就是将しょう所有しょゆう$n$階かい諧波${\textstyle \sin({\frac {2\pi nx}{P}})}$與あずか${\textstyle \cos({\frac {2\pi nx}{P}})}$，乘じょう以其各かく自在じざい${\textstyle s(x)}$中なか的てき權けん重おも，求もとめ得とく它们的てき總和そうわ；这些$n$階かい諧波的てき權けん重じゅう稱しょう爲ため傅でん立葉たてば級數きゅうすう係數けいすう，它们可か以藉由よし如下積分せきぶん來らい獲得かくとく：

傅でん立葉たてば級數きゅうすう係數けいすう

${\begin{aligned}A_{0}&={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx\\A_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\qquad \\B_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\,dx\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$

Eq.1

符号ふごう${\textstyle \int _{P}}$表示ひょうじ在ざい选定区く间上うえ的てき积分，典型てんけい的てき选择为$[-P/2,P/2]$或ある者もの$[0,P]$。注意ちゅうい$A_{0}$是ぜ函数かんすう$s(x)$的てき平均へいきん值，这个性せい质扩展てん到いた了りょう类似的てき变换比ひ如傅でん里さと叶かのう变换。

通つう过这些系数すう定てい义傅里さと叶かのう级数为：

傅でん立葉たてば級數きゅうすう，正弦せいげん-余弦よげん形式けいしき

$s(x)\sim A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)+B_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{P}}\right)\right)$

Eq.2

这里使用しよう符号ふごう$\sim$，表示ひょうじ傅でん里さと叶かのう级数的てき求もとめ和わ不ふ一定总是等于$s(x)$。普遍ふへん來らい說せつ$n$是ぜ理論りろん上じょう趨近於無限げん大だい的てき，但ただし是ぜ就算趨近於無限げん大だい，對たい所有しょゆう的てき$x$（例れい如在某ぼう一いち點てん上じょう不連續ふれんぞく），傅でん立葉たてば級きゅう數也かずや不ふ一定いってい收斂しゅうれん到いた${\textstyle s(x)}$ 。尽つき管かん不ふ收斂しゅうれん的てき可能かのう性せい始はじめ终存在そんざい，在ざい科学かがく和わ工程こうてい领域中ちゅう经常将しょうEq. 2中なか的てき$\sim$直接ちょくせつ替がえ代だい为$=$。

在ざい傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう中ちゅう的てき整数せいすう索引さくいん$n$，是ぜ级数中ちゅう相しょう应的$\cos$或ある$\sin$，在ざい这个函数かんすう的てき周期しゅうき$P$中なか，形成けいせい的てき圆周（cycle）的てき数すう目もく。因よし此对应于$A_{n}$和わ$B_{n}$的てき项有着ぎ：

• 波なみ长等とう于${\tfrac {P}{n}}$，并且有ゆう着ぎ同どう于$x$的てき单位。
• 频率等とう于${\tfrac {n}{P}}$，并且有ゆう着ぎ$x$的てき倒たおせ数すう单位。

指数しすう形式けいしき

下面かめん藉由歐おう拉ひしげ公式こうしき$\ e^{ix}=\cos x+i\sin x\$，将はた傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう简化成かせい复数指數しすう形式けいしき。

根據こんきょ定義ていぎ，我わが們可以得到いた:

复数傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう

${\begin{aligned}c_{0}&=A_{0}&\\c_{n}&=(A_{n}-iB_{n})/2\qquad &{\text{for }}n>0\\c_{n}&=(A_{-n}+iB_{-n})/2\qquad &{\text{for }}n<0\end{aligned}}$

Eq. 3

通つう过将等式とうしきEq. 1代入だいにゅうEq. 3，可か以证实：

复数傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう

$c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)e^{-{\frac {2\pi inx}{P}}}\,dx\qquad {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z}$

给定复数傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう，可か以用公式こうしき复原出で$A_{n}$和わ$B_{n}$：

复数傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう

${\begin{aligned}A_{0}&=c_{0}&\\A_{n}&=c_{n}+c_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(c_{n}-c_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}$

通つう过这些定义，傅でん里さと叶かのう级数可か以写为：

傅でん立葉たてば級數きゅうすう，指數しすう形式けいしき

$s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot e^{\frac {2\pi inx}{P}}$

Eq. 4

这是可か推广到复数值域函数かんすう的てき惯用形式けいしき。$n$的てき负数值对应于负频率りつ。

複數ふくすう值函數すう

人ひと们習慣將${\textstyle s(x)}$的てき值域普遍ふへん化か到いた複數ふくすう上うえ，设${\textstyle s(x)}$是ぜ一いち個こ複數ふくすう值函數すう，它的實み部ぶ和わ虛きょ部ぶ，都みやこ是ただし實數じっすう值函數すう：

$s(x)=\operatorname {Re} (s(x))+i\cdot \operatorname {Im} (s(x)),\quad x\in \mathbb {R}$

定てい义$c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$则：

$c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx$

$c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx$

$c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} (s(x))\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}\ dx$

对于这个复数值函数すう，它的傅でん里さと叶かのう级数的てき实部，是ぜ它的实部的てき傅でん里さと叶かのう级数；它的傅でん里さと叶かのう级数的てき虚きょ部ぶ，是ぜ它的虚きょ部ぶ的てき傅でん里さと叶かのう级数：

$s(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}=\sum _{n=\infty }^{\infty }c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}+i\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{p}}nx}$

振幅しんぷく-相そう位い形式けいしき

還かえ可か以利用りよう三角さんかく恆等こうとう式しき$\ \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \,$，把わ正弦せいげん-余弦よげん形式けいしき中後なかご面めん的てき正弦せいげん函數かんすう跟餘弦よげん函數かんすう合併がっぺい起おこり來らい：

$A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)$

然しか後こう定義ていぎ振幅しんぷく${\textstyle A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$，相そう位い${\textstyle \varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})}$，这里的てき$a_{n}$和わ$b_{n}$对应正弦せいげん-余弦よげん形式けいしき中ちゅう$A_{n}$和わ$B_{n}$。${\tfrac {A_{0}}{2}}$是これ$s(x)$的てき平均へいきん值${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\,dx}$。

傅でん立葉たてば級數きゅうすう，振幅しんぷく-相そう位い形式けいしき

$s(x)\sim {\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)$

Eq. 5

部ぶ份求和算わさん子こ

在ざい描述傅でん里さと叶かのう级数すう行ぎょう为的时候，经常会かい为一个函数すう$f(x)$介入かいにゅう部ぶ份求和わ算さん子こ$S_{N}$：

$S_{N}(f)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\frac {2\pi inx}{P}}$

Eq. 6

这里的てき$c_{n}$是これ$f$的てき傅でん里さと叶かのう系けい数すう。不同ふどう于微积分中ちゅう的てき级数，傅でん里さと叶かのう级数的てき部ぶ份求和わ必须采さい用よう对称形式けいしき，否いや则收敛结果はて可能かのう不成立ふせいりつ。

假設かせつ$f(x)$與あずか$g(x)$是ぜ在ざい${\textstyle \mathbb {R} }$上うえ的てき可か積せき函數かんすう，$f(x)$與あずか$g(x)$在ざい$[-\pi ,\pi ]$的てき捲めく積せき$(f*g)(x)$為ため:

$(f*g)(x)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )g(x-\tau )d\tau$

周期しゅうき为$2\pi$的てき函數かんすう$f(x)$的てき傅でん立葉たてば級數きゅうすう的てき部ぶ份求和わ，可か以经由ゆかり$f(x)$与あずか狄利克かつ雷かみなり核かく${\textstyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}}$的てき摺すり積せき来らい表示ひょうじ：

${\begin{aligned}S_{N}(f)(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\\&=\sum _{n=-N}^{N}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )e^{-in\tau }d\tau \right)\cdot e^{inx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(\tau )\left(\sum _{n=-N}^{N}e^{in(x-\tau )}\right)d\tau \\&={\frac {1}{2\pi }}(f*D_{N})(x)\end{aligned}}$

收おさむ敛性概要がいよう

$s_{N}(x)$在ざい$[x_{0},\ x_{0}+P]$近似きんじ了りょう$s(x)$，该近似きんじ程度ていど会かい随ずい着ぎ$N\rightarrow \infty$逐渐改善かいぜん。这个无穷和わ$s_{\infty }(x)$叫さけべ做 $s$的てき傅でん里さと叶かのう级数表示ひょうじ。傅でん里さと叶かのう级数的てき收おさむ敛性取と决于函数かんすう有限ゆうげん数量すうりょう的てき极大值和极小值，这就是ぜ通常つうじょう称しょう为傅里さと叶かのう级数的てき狄利克かつ雷かみなり条件じょうけん。参まいり见傅でん里さと叶かのう级数的てき收おさむ敛性之これ一いち。对于广义函数かんすう或ある分布ぶんぷ也可以用范数或ある弱じゃく收おさむ敛定てい义傅里さと叶かのう系けい数すう。在ざい$s(x)$的てき不可ふか导点てん上じょう，如果我わが们只取と无穷级数中ちゅう的てき有限ゆうげん项求和わ，那な么在这些点てん上じょう会かい有ゆう幅はば度ど不随ふずい$N$增大ぞうだい而持续变小しょう的てき起伏きふく，这叫做吉よし布ぬの斯现象ぞう，一个简单的例子是方ほう波なみ信号しんごう。

在ざい工程こうてい应用中ちゅう，一般假定傅里叶级数除了在不连续点以外处处收敛，原因げんいん是ぜ工程こうてい上じょう遇ぐう到いた的てき函数かんすう比ひ数学すうがく家か提供ていきょう的てき这个假定かてい的てき反例はんれい表ひょう现更加か良好りょうこう。特とく别地，傅でん里さと叶かのう级数绝对收おさむ敛且一いち致收敛于$s(x)$，只ただ要よう在ざい$s(x)$的てき导数（或ある许不会かい处处存在そんざい）是ぜ平方へいほう可か积的。如果一个函数在区间$[x_{0},x_{0}+P]$上うえ是ただし平方へいほう可か积的てき，那な么此傅でん里さと叶かのう级数在ざい几乎处处的まと点てん都みやこ收おさむ敛于该函数すう。

• 
  一个相同幅度和频率的锯齿波的近似的可视化
• 
  另一个分别采用傅里叶级数的前 1, 2, 3, 4 项近似きんじ方かた波なみ的てき可か视化。（可か以在这里看み到いた一个交互式的动画）
• 
  收おさむ敛于某ぼう个任意にんい函数かんすう的てき例れい子こ。注意ちゅうい其中的てき吉よし布ぬの斯现象ぞう

其他常用じょうよう表示法ひょうじほう

符号ふごう$c_{n}$在ざい讨论多た个不同どう函数かんすう的てき傅でん里さと叶かのう系けい数すう时是不ふ够用的てき。因よし此习惯上将はた其替代だい为函数すう（这里是ぜ函数かんすう$s$）的てき某ぼう种修改あらため形式けいしき，即そく采さい用よう函数かんすう式しき符号ふごう比ひ如${\hat {s}}[n]$或ある$S[n]$，来らい替がえ代だい下か标式符号ふごう：

$s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{2\pi inx/P}\quad$常用じょうよう的てき数学すうがく符号ふごう

$s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\quad$常用じょうよう的てき工程こうてい符号ふごう

在ざい工程こうてい上じょう，特とく别是在ざい变量$x$表示ひょうじ时间的てき时候，系けい数すう序列じょれつ叫さけべ做频域表示ひょうじ。经常使用しよう方かた括くく号ごう来らい强きょう调这个函数すう的てき定てい义域是ぜ频率的てき离散集合しゅうごう。

另一个常用频域表示，使用しよう傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう，调制像ぞう梳くしけず子こ一いち样的狄拉克かつ采さい样函数すう：

$S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)$

这里的てき$f$表示ひょうじ连续频域。在ざい变量$x$以秒为单位い的てき时候，$f$以赫兹为单位い。采さい样的间隔为基本きほん频率${\tfrac {1}{P}}$的てき$n$倍ばい（即そく为谐波）。 $s_{\infty }(x)$可か以通过逆ぎゃく傅でん里さと叶かのう变换从这种表示ひょうじ恢复出来でき:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x)\end{aligned}}$

构造出で的てき函数かんすう$S(f)$，因いん而通常つうじょう称しょう为“傅でん里さと叶かのう变换”，即そく使つかい一个周期函数的傅里叶积分在这个谐波频率上不收敛。

常用じょうよう的てき傅でん里さと叶かのう级数

下表かひょう列れつ出で常用じょうよう的てき周期しゅうき函数かんすう及其傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう。

• $s(x)$指示しじ周期しゅうき$P$的てき周期しゅうき函数かんすう。
• $A_{0}$、$A_{n}$和わ$B_{n}$指示しじ周期しゅうき函数かんすう$s(x)$的てき傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう（正弦せいげん-余弦よげん形式けいしき）。

时域 $s(x)$	绘图	频域（正弦せいげん-余弦よげん形式けいしき） ${\begin{aligned}&A_{0}\\&A_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&B_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$	注ちゅう释	引用いんよう
$s(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}$	全波ぜんぱ整流せいりゅう正弦せいげん
$s(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{P}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<P/2\\0&\quad {\text{for }}P/2\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{\pi }}\\A_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\B_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}$	半はん波なみ整流せいりゅう正弦せいげん
$s(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot P\\0&\quad {\text{for }}D\cdot P\leq x<P\\\end{cases}}$		${\begin{aligned}A_{0}=&AD\\A_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\B_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}$	$0\leq D\leq 1$
$s(x)={\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$	锯齿函数かんすう
$s(x)=A-{\frac {Ax}{P}}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{2}}\\A_{n}=&0\\B_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$	反はん锯齿函数かんすう
$s(x)={\frac {4A}{P^{2}}}\left(x-{\frac {P}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<P$		${\begin{aligned}A_{0}=&{\frac {A}{3}}\\A_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\B_{n}=&0\\\end{aligned}}$	反はん全波ぜんぱ整流せいりゅう

基本きほん性質せいしつ

下表かひょう展示てんじ在ざい时域中ちゅう的てき一些数学运算及其对应的在傅里叶级数系数上的效果。

• 复数共ども轭指示しじ为上标星号ごう$\ ^{*}\$。
• $s(x)$和わ$r(x)$指示しじ周期しゅうき为$P$的てき函数かんすう或ある只ただ定てい义在$x\in [0,P]$中なか的てき函数かんすう。
• $S[n]$和わ$R[n]$指示しじ$s$和わ$r$的てき傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう（指数しすう形式けいしき）。

性せい质	时域	频域（指数しすう形式けいしき）	注ちゅう释	引用いんよう
线性	$a\cdot s(x)+b\cdot r(x)$	$a\cdot S[n]+b\cdot R[n]$	$a,b\in \mathbb {C}$
时间反はん转/频率反はん转	$s(-x)$	$S[-n]$
时间共ども轭	$s^{*}(x)$	$S^{*}[-n]$
时间反はん转且共ども轭	$s^{*}(-x)$	$S^{*}[n]$
时间实部	$\operatorname {Re} {(s(x))}$	${\frac {1}{2}}(S[n]+S^{*}[-n])$
时间虚きょ部ぶ	$\operatorname {Im} {(s(x))}$	${\frac {1}{2i}}(S[n]-S^{*}[-n])$
频率实部	${\frac {1}{2}}(s(x)+s^{*}(-x))$	$\operatorname {Re} {(S[n])}$
频率虚きょ部ぶ	${\frac {1}{2i}}(s(x)-s^{*}(-x))$	$\operatorname {Im} {(S[n])}$
时间移うつり位い/频率调制	$s(x-x_{0})$	$S[n]\cdot e^{-i{\frac {2\pi }{P}}nx_{0}}$	$x_{0}\in \mathbb {R}$
频率移うつり位い/时间调制	$s(x)\cdot e^{i{\frac {2\pi }{P}}n_{0}x}$	$S[n-n_{0}]\!$	$n_{0}\in \mathbb {Z}$

对称性せい质

所有しょゆう的てき函数かんすう都と可か以分解ぶんかい成なり唯一ゆいいつ性的せいてき偶部和わ奇き部ぶ：$f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x)$，这里的てき${\textstyle f_{\text{e}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}}$而${\textstyle f_{\text{o}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}$。实数参さん数すう的てき复数值函数すう$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$，对于所有しょゆう$x\in \mathbb {R}$，如果$f(x)={\overline {f(-x)}}$则称其为“偶对称しょう”，如果$f(x)=-{\overline {f(-x)}}$则称其为“奇き对称”，这里${\overline {z}}$的てき上じょう顶横线指示しじ复数共ども轭。

一个复数值函数的实部和虚部，分解ぶんかい成なり各自かくじ的てき偶部和わ奇き部ぶ，就有了りょう四よん个分量りょう，分ふん别用下か标标明あかり为RE、RO、IE和わIO。一个复数值时间参数函数的四个分量，与あずか它的复数频率变换的てき四个分量之间，有ゆう着ぎ一いち一いち映うつ射い：

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{时$域いき}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&i\ s_{_{\text{IE}}}&+&i\ s_{_{\text{IO}}}\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{频 域いき}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\,i\ S_{\text{IO}}\,&+&i\ S_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

由よし此可见，各かく种关系けい是ぜ显而易えき见的，例れい如：

• 实数值函数すうs_RE + s_RO的てき变换，是ぜ偶对称しょう函数かんすうS_RE + i S_IO。反はん过来说，偶对称しょう变换蕴含了りょう实数值时域いき。
• 虚数きょすう值函数すうi s_IE + i s_IO的てき变换，是ぜ奇き对称函数かんすうS_RO + i S_IE，反はん过来说也成立せいりつ。
• 偶对称しょう函数かんすうs_RE + i s_IO的てき变换，是ぜ实数值函数すうS_RE + S_RO，反はん过来说也成立せいりつ。
• 奇き对称函数かんすうs_RO + i s_IE的てき变换，是ぜ虚数きょすう值函数すうi S_IE + i S_IO，反はん过来说也成立せいりつ。

範はん例れい

一个简单的傅里叶级数

锯齿波は周期しゅうき函数かんすう的てき图

前ぜん五个部分傅里叶级数的动态图

我わが们现在ざい用よう上面うわつら的てき公式こうしき给出一个简单函数的傅里叶级数展开式。考こう虑一个锯齿波：

$s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi$

$s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty {\text{ and }}k\in \mathbb {Z}$

在ざい这种情じょう况下，傅でん里さと叶かのう级数为：

${\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1\end{aligned}}$

可か以证明あきら，当とう$s$可か微ほろ时，傅でん立たて叶かのう级数在ざい每まい个点$x$都みやこ收おさむ敛于$s(x)$，于是：

${\begin{aligned}s(x)&=A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos \left(nx\right)+B_{n}\sin \left(nx\right)\right)\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} \end{aligned}}$

Eq.1

当とう$x=\pi$时，傅でん里さと叶かのう级数收おさむ敛于$0$，为在$x=\pi$ 处$s$的てき左ひだり极限和わ右みぎ极限之の和わ的てき一半いっぱん。这是傅でん里さと叶かのう级数的てき狄利克かつ雷かみなり定理ていり的てき特例とくれい。

这个例れい子こ为我们引出で了りょう巴ともえ塞ふさが尔问题的てき一いち种解法ほう。

傅でん里さと叶かのう诱导

金属きんぞく板いた内ない的てき热分布ぶんぷ，使用しよう傅でん里さと叶かのう方法ほうほう求もとめ解かい

在ざい上うえ例れい中ちゅう我わが们的函数かんすう的てき傅でん里さと叶かのう级数展てん开式看み起おこり来き不ふ比ひ$s(x)={\tfrac {x}{\pi }}$简单，因いん此人们需要よう傅でん里さと叶かのう级数的てき原因げんいん也就不ふ会かい立りつ即そく显现出来でき。但ただし还有很多应用，我わが们举用よう傅でん里さと叶かのう诱导解かい热方程ほど的てき例れい子こ。考こう虑边长为$\pi$米べい的てき方形ほうけい金属きんぞく版ばん，坐すわ标为$(x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$。如果板いた内ない没ぼつ有ゆう热源，并且四个边中三个都保持在$0$摄氏度ど，而第四よん条じょう边$y=\pi$，对于$x\in (0,\pi )$，保持ほじ在ざい温度おんど梯はしご度ど$T(x,\pi )=x$摄氏度ど。在ざい这种情じょう况下，稳态（或ある者もの说很长时间过后きさき的てき）热分布ぶんぷ函数かんすう$T(x,y)$不能ふのう得とく出で解析かいせき解かい，但ただし却可以证明あきら：

$T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}$

这里的てき$\sinh$是これ双そう曲きょく正弦せいげん函数かんすう。热方程ほど的てき这个解かい是ぜ通どおり过将$\pi s(x)$的てき傅でん里さと叶かのう级数的てき每ごと一いち项乘以${\tfrac {\sinh(ny)}{\sinh(n\pi )}}$得え到いた的てき。尽つき管かん示しめせ例れい的てき函数かんすう$s(x)$的てき傅でん里さと叶かのう级数似に乎很复杂，用よう傅でん里さと叶かのう的てき方法ほうほう却可以求解かい这个热分布ぶんぷ问题。

其他例れい子こ

我わが們也可か以應用おうよう傅でん立葉たてば級數きゅうすう去さ證明しょうめい等とう周しゅう不等式ふとうしき，或ある是ぜ構造こうぞう處處しょしょ連續れんぞく處處しょしょ不可ふか微ほろ的てき函數かんすう。

收斂しゅうれん性せい

主しゅ条目じょうもく：傅でん里さと叶かのう级数的てき收おさむ敛性

至いたり今こん还没有ゆう判断はんだん傅でん里さと叶かのう级数的てき收おさむ敛性充分じゅうぶん必要ひつよう条件じょうけん，但ただし是ぜ对于实际问题中出なかいで现的函数かんすう，有ゆう很多种判别条件じょうけん可用かよう于判断はんだん收おさむ敛性。比ひ如$x(t)$的まと可か微ほろ性せい或ある级数的てき一いち致收敛性。在ざい闭区间上满足狄利克かつ雷かみなり条件じょうけん的てき函数かんすう表示ひょうじ成なり的てき傅でん里さと叶かのう级数都みやこ收おさむ敛。狄利克かつ雷かみなり条件じょうけん如下：

1. 在ざい定てい义区间上，$x(t)$须绝对可か积；
2. 在任ざいにん一いち有限ゆうげん区く间中，$x(t)$只ただ能取のとろ有限ゆうげん个极值点；
3. 在任ざいにん何なん有限ゆうげん区く间上，$x(t)$只ただ能のう有ゆう有限ゆうげん个第だい一いち类间断だん点てん。

满足以上いじょう条件じょうけん的てき$x(t)$傅でん里さと叶かのう级数都みやこ收おさむ敛，且：

1.当とう$t$是これ$x(t)$的てき连续点てん时，级数收おさむ敛于$x(t)$；

2.当とう$t$是これ$x(t)$的てき间断点てん时，级数收おさむ敛于${\frac {1}{2}}[x(t^{-})+x(t^{+})]$。

1966年ねん，里さと纳特·卡尔松まつ证明了りょう勒贝格かく二に次じ可か积函数かんすう的てき傅でん立たて叶かのう级数一定是几乎处处收敛的，即そく级数在ざい除じょ了りょう一个勒贝格零测集外均收敛。

傅でん立葉たてば級數きゅうすう收斂しゅうれん证明

假設かせつ一いち個こ函數かんすう在ざい$f(x)$在ざい$[0,2\pi ]$上うえ是ただし平方へいほう可か積せき，則のり會かい有ゆう:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(x)-S_{N}(f)(x)|^{2}dx\rightarrow 0$ 當とう$N\rightarrow \infty$

證明しょうめい的てき第一步だいいっぽ:

考慮こうりょ一いち系列けいれつ正せい交基底そこ，$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }$，其中$e_{n}(x)=e^{-inx}$，且有

$(e_{n},e_{m})={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=m\\0,&{\text{if }}n\neq m\end{cases}}$

然しか後こう有ゆう$(f,e_{n})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(x)e^{-inx}dx={\hat {f}}(n)$

特別とくべつ的てき有ゆう，$f(x)$的てき傅でん立葉たてば級數きゅうすう的てき部分ぶぶん和わ$S_{N}(f)(x)=\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$

然しか後こう根據こんきょ$f=f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}+\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}$ 以及畢氏定理ていり，可か以有:

$||f||^{2}=||f-\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}$ 替かえ換かわ一いち下か後ご有ゆう $||f||^{2}=||f-S_{N}(f)(x)||^{2}+||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}$

如果右邊うへん第だい一いち項こう收斂しゅうれん到いた0，再さい根據こんきょ正せい交的性質せいしつ，可か以看出で上述じょうじゅつ式しき子中こなか的てき右手みぎて邊べ第だい二に項こう:

$||\sum _{|n|\leq N}{\hat {f}}(n)e_{n}||^{2}=\sum _{|n|\leq N}|{\hat {f}}(n)|^{2}$，這就證明しょうめい了りょう帕塞瓦かわら尔定理ていり。

证明的てき第だい二に步ほ:

回かい到いた證明しょうめい右邊うへん第だい一いち項こう，因いん為ため函數かんすう$f(x)$可か積せき，找到一いち個こ連續れんぞく函數かんすう$g(x)$，然しか後こう根據こんきょ最さい佳けい逼近引理，可か以找到一いち個こ三さん角かく多項式たこうしきp(x)，使つかい得とく

$|f-S_{N}(f)(x)|\leq |f(x)-g(x)|+|g(x)-S_{N}(f)(x)|$

故こ當とう$N\rightarrow \infty$，函數かんすう$f(x)$跟$S_{N}(f)(x)$的まと差さ為ため0。

其他性せい质

傅でん立葉たてば級數きゅうすう的てき唯ただ一いち性せい

如果有ゆう一いち個こ定義ていぎ在ざい$[-\pi ,\pi ]$的てき函數かんすう$f(x)$和わ$g(x)$,其中函數かんすう$f(x)$和わ$g(x)$的てき傅でん立葉たてば係數けいすう${\hat {f}}(n)$還かえ有ゆう${\hat {g}}(n)$相あい同どう，且傅立葉たてば級數きゅうすう都と收斂しゅうれん到いた函數かんすう本身ほんみ，那な麼可以證明しょうめい此傅立葉たてば級數きゅうすう具有ぐゆう唯一ゆいいつ性せい，也就是ぜ$f(x)=g(x)$。換かわ句く話はなし說せつ，如果函數かんすう$f(x)$在ざい$[-\pi ,\pi ]$上うえ可か積せき，傅でん立葉たてば係數けいすう${\hat {f}}(n)$為ため0，對たい所有しょゆう的てき$n\in \mathbb {N}$，那な麼函數すう$f(x)=0$

卷まき积定理ていり

主しゅ条目じょうもく：卷まき积定理ていり

给定周期しゅうき为$P$的てき函数かんすう$s_{_{P}}$和わ$r_{_{P}}$，它们具有ぐゆう傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう$S[n]$和わ$R[n]$，这里的てき$n\in \mathbb {Z}$。

• 逐点乘じょう积$h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)$，也是周期しゅうき为$P$，并且它的傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう是ぜ序列じょれつ$S$和わ$R$的てき离散卷まき积：$H[n]=(S*R)[n]$。
• 周期しゅうき卷まき积${\textstyle h_{_{P}}(x)\triangleq (s_{_{P}}*r)(x)=(s*r_{_{P}})(x)=\int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$，也是周期しゅうき为$P$，它具有ぐゆう傅でん里さと叶かのう级数系けい数すう：$H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n]$。
• 在ざい$c_{0}(\mathbb {Z} )$中なか的てき双そう无限序列じょれつ$\left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}$，是ぜ在ざい$L^{1}([0,2\pi ])$中なか的てき傅でん里さと叶かのう系けい数すう的てき序列じょれつ，当とう且仅当とう它是在ざい$\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$中なか的てき两个序列じょれつ的てき卷まき积。

微分びぶん性質せいしつ

我わが們說$f(x)$屬ぞく於在$C^{k}(\mathbb {T} )$ $\Rightarrow$ 如果$f(x)$是ぜ一個在實數上以$2\pi$為ため週しゅう期き的てき函數かんすう，且$k$次つぎ可か微ほろ而且$k$階かい連續れんぞく。

• 如果$f(x)$屬ぞく於在$C^{1}(\mathbb {T} )$，那な麼$f'(x)$傅でん立葉たてば係數けいすう${\hat {f'}}(n)$可か以被用よう$f(x)$傅でん立葉たてば係數けいすう${\hat {f}}(n)$的てき表示ひょうじ，藉由公式こうしき${\hat {f'}}(n)=in{\hat {f}}(n)$

• 如果$f(x)$屬ぞく於在$C^{k}(\mathbb {T} )$，${\hat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\hat {f}}(n)$。特別とくべつ的てき，當とう固定こてい$k\geq 1$，我わが們有${\hat {f^{(k)}}}(n)$趨近於0當とう$n\rightarrow \infty$，且有${\hat {f^{(k)}}}(n)=O(1/n^{k})$。

黎はじむ曼-勒贝格かく定理ていり

主しゅ条目じょうもく：黎はじむ曼-勒贝格かく定理ていり

如果$S$是これ可か积函数すう，则${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$，${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$而${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0}$。

帕塞瓦かわら尔定理ていり

主しゅ条目じょうもく：帕塞瓦かわら尔定理ていり

如果函數かんすう$f(x)$屬ぞく於在$L^{2}([-\pi ,\pi ])$之これ中ちゅう，那な麼便有ゆう${\textstyle \sum _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}dx=||f||}$。

普ひろし朗ろう歇爾定理ていり

主しゅ条目じょうもく：普ひろし朗ろう歇爾定理ていり

如果$c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots$是ぜ系けい数すう，并且${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$，则有一いち个唯一いち的てき函数かんすう$s\in L^{2}(P)$使つかい得とく对于所有しょゆう$n$有ゆう着ぎ$S[n]=c_{n}$。

延伸えんしん

希まれ尔伯特とく空そら间的解かい读

主しゅ条目じょうもく：希まれ尔伯特とく空そら间

正弦せいげん和わ餘弦よげん形成けいせい了りょう正せい交集合しゅうごう。正弦せいげん、餘弦よげん及其乘じょう積せき的てき積分せきぶん，當とうm與あずかn不同ふどう或ある二に函數かんすう不同ふどう時じ是ぜ0(綠色みどりいろ和わ紅色こうしょく區域くいき相等そうとう抵消)，僅當m和わn相等そうとう並なみ且函數すう相そう同時どうじ為ためπぱい。

所ところ谓的两个不同ふどう向むかい量りょう正せい交是指ゆび它们的てき内うち积为0，这也就意味いみ着ぎ这两个向量りょう之の间没有ゆう任にん何なん相そう关性,例れい如，在ざい三维欧氏空间中，互相垂直すいちょく的てき向むこう量りょう之の间是正ぜせい交的。事こと实上，正せい交是垂直すいちょく在ざい数学すうがく上じょう的てき一种抽象化和一般化。一いち组n个互相しょう正せい交的向むこう量りょう必然ひつぜん是ぜ线性无关的てき，所以ゆえん必然ひつぜん可か以张成なり一いち个n维空间，也就是ぜ说，空そら间中的てき任にん何なん一个向量可以用它们来线性表出。

在ざい希まれ爾しか伯はく特とく空間くうかん釋義しゃくぎ下か，函數かんすう的てき集合しゅうごう{e_n = e^inx; n ∈ Z}是ぜ[−πぱい, πぱい]平方へいほう可か積せき函數かんすうL²([−πぱい, πぱい])的てき正せい交基。這個空間くうかん實際じっさい上じょう是ぜ一個希爾伯特空間，有ゆう著ちょ針はり對たい任にん何なん兩個りゃんこ的てき元素げんそf和わg的てき如下內積:

$\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.$

三角函数族的正交性用公式表示出来就是：

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,$

$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1$

(這裡的てきδでるた_mn是これ克かつ羅ら內克函數かんすう)，而

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx=0;\,$

参まいり阅

• 离散时间傅でん里さと叶かのう级数
• 傅でん里さと叶かのう变换
• 维尔斯特拉ひしげ斯逼近きん定理ていり

延伸えんしん阅读

• William E. Boyce; Richard C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. 2005. ISBN 0-471-43338-1. 
• Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman. The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. 2003. ISBN 0-486-49531-0.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Enrique A. Gonzalez-Velasco. Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series. American Mathematical Monthly. 1992, 99 (5): 427–441. JSTOR 2325087. doi:10.2307/2325087. 
• Fetter, Alexander L.; Walecka, John Dirk. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Courier. 2003. ISBN 978-0-486-43261-8. 
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Walter Rudin. Principles of mathematical analysis 3rd. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235-X.  含有がんゆう內容需登入にゅう查看的てき頁ぺーじ面めん (link)
• A. Zygmund. Trigonometric Series third. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0-521-89053-5.  The first edition was published in 1935.
• 電機でんき電子でんし類るい科か《工程こうてい數學すうがく》，ISBN 978-957-584-377-9，作者さくしゃ 陳ひね錫すず冠かんむり、曾致煌，高こう立たて出版しゅっぱん社しゃ。

外部がいぶ链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Fourier series, 数学すうがく百科ひゃっか全ぜん书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

Hobson, Ernest. Fourier's Series. Encyclopædia Britannica 10 (第だい11版はん). London: 753–758. 1911. 

• 埃ほこり里さと克かつ·韦斯坦ひろし因いん. Fourier Series. MathWorld. 

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