同どう调

数学すうがく上うえ（特とく别是代数だいすう拓つぶせ扑和わ抽象ちゅうしょう代数だいすう），同どう调 （homology，在ざい希まれ腊语中なかhomos = 同どう）是ぜ一いち类将一いち个可か换群或ある者もの模も的てき序列じょれつ和わ特定とくてい数学すうがく对象（例れい如拓つぶせ扑空间或ある者もの群ぐん）联系起おこり来らい的てき过程。背景はいけい知ち识请参看さんかん同どう调论。

对于一个特定的拓扑空间，同どう调群通常つうじょう比ひ同どう伦群要よう容易ようい计算得とく多た，因いん此通常つうじょう来らい讲用同どう调来辅助空そら间分类要容易ようい处理一いち些。

同どう调群的てき构造

其过程ほど如下：给定对象$X$，首しゅ先さき定てい义链复形がた，它包含ほうがん了りょう$X$的てき信しん息いき。一个链复形是一个由群ぐん同どう态联系起おこり来らい的てき可か换群或ある者もの模も$A_{0},A_{1},A_{2},\dots$的てき序列じょれつ，群ぐん同どう态$d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}$满足任にん何なん两个相しょう连的同どう态的复合为0: $d_{n}\circ d_{n+1}=0$对于所有しょゆう$n$成立せいりつ。这意味いみ着ぎ第だい$n+1$个映射的しゃてき像ぞう包含ほうがん在ざい第だい$n$个映射的しゃてき核かく中なか，我わが们定义$X$的てき$n$阶同调群为商しょう群ぐん（商しょう模も）

$H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).$

链复形がた称しょう为正合あい的てき，如果（$n+1$）阶映射的しゃてき像ぞう总是等とう于$n$阶映射的しゃてき核かく。因よし此$X$的てき同どう调群是ぜ衡量$X$所ところ关联的てき链复形がた离正合あい有ゆう“多た远”的てき障碍しょうがい。

非ひ正式せいしき的てき例れい子こ

非ひ正式せいしき地ち，拓つぶせ扑空间X的てき同どう调是X的てき拓つぶせ扑不变量的てき集合しゅうごう，用よう其同どう调群来らい表示ひょうじ

$H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots$

其中第だい$k$个同调群$H_{k}(X)$描绘了りょう$X$中なか的てき$k$维圈 (cycle)，实现为$k+1$维圆盘边界かい (boundary) 的てき障碍しょうがい。0维同调群刻こく画が了りょう两个零れい维圈，也即点てん，实现成なり一いち维圆盘，也即线段的てき边界的てき障碍しょうがい，因いん此$H_{0}(X)$刻こく画が了りょう$X$中なか的てき道路どうろ连通分ぶん支ささえ。

圆，或ある称しょう为1维球面めん$S^{1}$

一いち维球面きゅうめん $S^{1}$是ぜ一いち个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但ただし没ぼっ有ゆう更さら高だか维圈。其对应的同どう调群由よし下か式しき给出

$H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\neq 0,1\end{cases}}$

其中$\mathbb {Z}$表示ひょうじ整数せいすう加か群ぐん，$0$表示ひょうじ平凡へいぼん群ぐん。$H_{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$表示ひょうじ$S^{1}$的てき一阶同调群为由一个元素生成的有限ゆうげん生成せいせい阿おもね贝尔群ぐん，其唯一いち的てき生成せいせい元もと表示ひょうじ圆中包含ほうがん的てき一いち维圈。

2维球面めん$S^{2}$即そく球たま的てき球たま壳，不ふ包括ほうかつ球だま的てき内部ないぶ。

二に维球面きゅうめん$S^{2}$有ゆう一いち个连通分つうぶん支ささえ，零れい个一维圈，一いち个二に维圈（即そく球面きゅうめん），无更高だか维的圈けん，其对应的同どう调群为

$H_{k}(S^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\0&k\neq 0,2\end{cases}}$

一般いっぱん地ち，对$n$维球面めん$S^{n}$，其同调群为

$H_{k}(S^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}$

实心圆盘，即そく2维球$B^{2}$

二に维实心こころ球たま$B^{2}$有ゆう一个道路连通分支，但ただし与あずか圆不同ふどう的てき是ぜ，$B^{2}$没ぼつ有ゆう一维或更高维的圈，其对应的同どう调群除じょ了りょう零れい阶同调群$H_{0}(B^{2})\cong \mathbb {Z}$以外いがい，其余阶的同どう调群均ひとし为平凡へいぼん群ぐん。

环面$T=S^{1}\times S^{1}$

环面被ひ定てい义为两个圆$T^{2}=S^{1}\times S^{1}$的てき笛ふえ卡尔积。环面有ゆう一个道路连通分支，两个独立どくりつ的てき一いち维圈（在ざい图中以红圈けん和わ蓝圈分ぶん别标出で），以及一いち个二に维圈（环面的てき内部ないぶ）。其对应的同どう调群为

$H_{k}(T^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 3\end{cases}}$

两个独立どくりつ的てき一维圈组成了一组有限ゆうげん生成せいせい阿おもね贝尔群ぐん的てき独立どくりつ生成せいせい元もと，表示ひょうじ为笛卡尔积群$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

例れい子こ

引入同どう调的概念がいねん可か以用单纯复形$X$的てき单纯同どう调：设$C_{n}$为$X$中なか的てき$n$维可定てい向こう单纯形がた生成せいせい的てき自由じゆう交换群ぐん或ある者もの模も，映うつ射い$\partial _{n}:C_{n}\rightarrow C_{n+1}$映うつ射い称しょう为边缘映射い (boundary map)，它将$n$维单纯形

$\sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X$

映うつ射い为如下か交错和わ

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |_{[e_{0},\ldots ,e_{i-1},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]}.$

，其中$\sigma |_{[e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}]}$表示ひょうじ$\sigma$限きり制せい在ざい$e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}$对应的てき面めん (face)上じょう。如果我わが们将模も取と在ざい一いち个域上じょう，则$X$的てき$n$阶同调的维数就是$X$中なか$n$维圈的てき个数。

仿照单纯同どう调群，可か以定义任何なに拓つぶせ扑空间$X$的てき奇き异同调群。我わが们定义$X$的てき上じょう同どう调的链复形がた中ちゅう的てき空そら间为$A_{n}$为自由じゆう交换群ぐん（或ある者もの自由じゆう模も），其生成せいせい元もと为所有しょゆう从$n$为单纯形がた到いた$X$的てき连续函数かんすう。同どう态$d_{n}$从单纯形的てき边缘映射い得え到いた。

同どう调代数すう中なか，同どう调用于定义导出函はこ子こ，例れい如，Tor函はこ子こ。这里，我わが们可以从某ぼう个可加か协变函はこ子こ$F$和かず某ぼう个模$X$开始。$X$的てき链复形がた定てい义如下か：首くび先さき找到一いち个自由じゆう模も$F_{1}$和わ一いち个满同どう态$p_{1}:F_{1}\rightarrow X$。然しか后きさき找到一いち个自由じゆう模も$F_{2}$和わ一いち个满同どう态$p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})$。以该方式ほうしき继续，得とく到いた一いち个自由じゆう模も$F_{n}$和かず同どう态$p_{n}$的てき序列じょれつ。将はた函はこ子こ$F$应用于这个序列じょれつ，得とく到いた一いち个链复形；这个复形的てき同どう调$H_{n}$仅依赖于$F$和わ$X$，并且按定义就是ぜ$F$作用さよう于$X$的てきn阶导出で函はこ子こ。

同どう调函子こ

链复形がた构成一いち个范畴：从链复形$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$到いた链复形がた$(e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})$的てき态射是ぜ一个同态的序列$(f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n})$，满足$f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}$对于所有しょゆう$n$成立せいりつ。$n$阶同调 $H_{n}$可か以视为一个从链复形的范畴到可换群（或ある者もの模も）的てき范畴的てき协变函はこ子こ。

若わか链复形がた以协变的方式ほうしき依よ赖于对象$X$（也就是ぜ任にん何なん态射$X\rightarrow Y$诱导出で一いち个从$X$的てき链复形がた到いた$Y$的てき链复形がた的てき态射），则$H_{n}$是ぜ从$X$所属しょぞく的てき范畴到いた可か换群（或ある模かたぎ）的てき范畴的てき函はこ子こ。

同どう调和上うえ同どう调的てき唯ただ一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于$X$，因いん此其同どう调群（在ざい这个情じょう况下称しょう为上同どう调群并记为$H^{n}$）构成从$X$所属しょぞく的てき范畴到いた可か换群或ある者もの模も的てき范畴的てき逆ぎゃく变函子こ。

性せい质

若わか$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$是ぜ链复形がた，满足出で有限ゆうげん个$A_{n}$外そと所有しょゆう项都是ぜ零れい，而非零れい的てき都と是ぜ有限ゆうげん生成せいせい可か换群（或ある者もの有限ゆうげん维向量りょう空そら间），则可以定义欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})$

（可か换群采さい用よう阶而向量りょう空そら间的情じょう况采用よう哈默尔维数すう）。事こと实上在ざい同どう调水平上たいらかみ也可以计算ざん欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう:

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})$

特とく别地，在ざい代数だいすう拓つぶせ扑中，欧おう拉ひしげ示しめせ性せい数すう$\chi$是ぜ拓つぶせ扑空间的重要じゅうよう不ふ变量。

此外，每まい个链复形的てき短たん正せい合ごう序列じょれつ

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$

诱导一いち个同调群的てき长正合あい序列じょれつ

$\cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,$

这个长正合あい序列じょれつ中ちゅう的てき所有しょゆう映うつ射い由よし链复形がた间的映うつ射い导出，除じょ了りょう映うつ射い$H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)$之これ外がい。后きさき者しゃ称しょう为连接せっ同どう态，由ゆかり蛇へび引理给出。

参看さんかん

• 奇き异同调
• 上うえ同どう调
• 同どう调论
• 同どう调代数すう

參考さんこう文獻ぶんけん

• Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始げんし内容ないよう存そん档于2018-05-15）.  有ゆう仔細しさい討論とうろん單複たんぷく形がた、流りゅう形がた的てき同調どうちょう論ろん、奇異きい同調どうちょう等とう。
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398. 
• Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.