嘉よしみ当とう联络

在ざい数学すうがく上うえ，微分びぶん几何的てき结构嘉よしみ当とう联络（Cartan connection）是これ联络概念的がいねんてき一いち个推广，由ゆかりÉlie Cartan提出ていしゅつ。该方法的ほうてき一些应用请参见活かつ动标架か法ほう，嘉よしみ当とう联络的てき应用和わ爱因斯坦-嘉よしみ当とう理り论。

理り论的概念がいねん方面ほうめん

它由埃ほこり里さと·嘉よしみ当とう提出ていしゅつ，作さく为他的てき活かつ动标架か法ほう的てき一いち部分ぶぶん（和わ一いち种表述じゅつ方法ほうほう）。它可作用さよう于微分びぶん形式けいしき，所以ゆえん带有计算的てき特とく征せい，但ただし也有やゆう两个其它重要じゅうよう的てき方面ほうめん，两个都と更さら偏へん几何。嘉よしみ当とう重じゅう新しん表ひょう述じゅつ了りょう伪黎はじむ曼几何なに的てき微分びぶん几何；并不仅仅是ぜ（度量どりょう）流りゅう形がた，还有任意にんい流ながれ形がた的てき理り论，包括ほうかつ李り群ぐん。这是用よう活かつ动标架か（repère mobile）的てき术语来き表おもて述じゅつ的てき，特とく别是作さく为广义相しょう对论的てき另一种表述じゅつ。

主要しゅよう的てき想そう法ほう是ぜ用よう正せい交标架か建立こんりゅう联络形式けいしき和わ曲きょく率りつ的まと表ひょう达式。

嘉よしみ当とう形式けいしき化か是これ协变导数和わ曲きょく率りつ的てき一种可选表示法，它采用よう微分びぶん形式けいしき和わ标架。虽然它最基本きほん的てき形式けいしき是ぜ坐すわ标相关的，它非常ひじょう适合计算。它也可か以用标架丛的てき术语来らい理解りかい，并且有ゆう像ぞう旋量丛（spinor bundle）这样的てき推广。

标架的てき一般いっぱん理り论

理り论的第だい一いち个方面ほうめん指向しこう主しゅ丛的てき理り论（也可以成为标架的てき一般いっぱん理り论）。对于李り群ぐんG的てき主しゅ丛上的てき联络的てき想そう法ほう比ひ较容易ようい表ひょう述じゅつ，因いん为在“竖直方向ほうこう”，可か以看到いた所ところ需的数すう据すえ可か以通过把所有しょゆう切きり向むかい量平りょうへい移うつり回かい单位元もと（回かい到いた李り代数だいすう）给出，而联络的定てい义只是ぜ简单的てき加か上じょう一いち个相容よう的てき'水平すいへい'分量ぶんりょう。若わかG是ぜ对于另一个李群ぐんH的てき一いち种仿射しゃ群ぐん-也就是ぜG是これH和わ一いち个H作用さよう在ざい其上的てき向むかい量平りょうへい移うつり群ぐんT的てき半はん直ちょく积，则一个H丛可以通过关联丛（associated bundle）构造变成一いち个G丛。也有やゆう一いち个关联的T丛：一いち个向むかい量りょう丛，H以自同どう胚はい作用さよう于其上じょう，该自同どう胚はい在ざいG上成うえなし为内うち自じ同どう胚はい。

这种设置下か的てき第だい一いち类定义是H的てき一いち个嘉よしみ当とう联络是ぜ一个特定类型的主G-联络。

认同切きり丛

第だい二种定义直接检视以光ひかり滑すべり流りゅう形がたM为基空そら间的切きり丛TM。这里，数すう据すえ是これTM的てき一种特定的认同，作さく为一个丛，作さく为上面めん提ひっさげ到いた的てきT丛中的てき竖直切きり向むこう量りょう（其中，M自然しぜん的てき认同为0截面）。这称为焊接（soldering,有ゆう时写作さくwelding）:我わが们现在ざい把わTM放ひ在ざい了りょう更さら丰富的てき设置中ちゅう，它由H值的变换数すう据すえ表ひょう达。这里的てき一いち个要点てん是ぜ，和かず前面ぜんめん的てき讨论一いち样，它不ふ假かり设H忠ちゅう实地作用さよう在ざいT上うえ。这直接ちょくせつ使つかい得とく旋量丛可以在理り论中取と代だい它们的てき位置いち，只ただ要よう把わH变成一个旋量群而不只是一个正せい交群。

使用しよう形式けいしき化か属ぞく于的一般いっぱん理り论

在ざい根源こんげん上じょう，几何由よし空そら间的不同ふどう物体ぶったい间的"相似そうじ性せい"的てき概念がいねん组成。在ざい19世せい纪晚期き，相似そうじ性せい的てき概念がいねん通常つうじょう由ゆかり李り群ぐん在ざい空そら间上的てき作用さよう给出。李り群ぐん的てき作用さよう通常つうじょう是非ぜひ常つね刚性的てき，所以ゆえん嘉よしみ当とう几何是ぜ这种相似そうじ概念的がいねんてき一个推广使得曲きょく率りつ得とく以出现。当然とうぜん，一いち个平坦へいたん的てき嘉よしみ当とう几何是ぜ没ぼつ有ゆう曲きょく率りつ的てき几何。从平坦へいたん的てき情じょう况开始はじめ，我わが们用一般性的形式化数学术语描述嘉よしみ当とう几何是ぜ什么意思いし。

平坦へいたん的てき情じょう况

问题的てき引入

爱尔兰根纲领主要しゅよう处理拓つぶせ扑群的てき齐性空そら间的てき研究けんきゅう，特とく别的，多数たすう有用ゆうよう的てき几何（至いたり少しょう在ざい19世せい纪和20世せい纪初）刚好就是同どう胚はい于李り群ぐん的てき李り子こ群ぐん的てき商しょう空そら间的てき齐次微ほろ分流ぶんりゅう形がた。正せい是ぜ继承自じ李り群ぐん的てき微分びぶん结构给了这些齐次空そら间比一般的齐次空间更多的（微分びぶん类型的てき）结构。

数学すうがく细节

嘉よしみ当とう的てき一般方法是从一个李群G和わ一いち个李子こ群ぐんH开始，它们的てき李り代数だいすう分ぶん别为 ${\mathfrak {g}}$ 和わ ${\mathfrak {h}}$ 。有ゆう一いち个H的てき右みぎ作用さよう在ざい标准同どう态

\pi :G\rightarrow G/H

的てき纤维上じょう，由ゆかり $R_{h}g=gh$ 给出。一个向量场是竖直的てき若わか $\pi _{*}X=0$ . 任にん何なに $X\in {\mathfrak {h}}$ 可か以通过右作用さよう的てき微分びぶん给出一个标准的竖直向量场 $X^{+}$ 。所以ゆえん，譬たとえ如若h(t)是ぜ若わかh(t)是ぜ一个单参数子群，其在幺元的てき切きり向むこう量りょう为h'(e)=X,则其垂直すいちょく向むこう量りょう场为

X^{+}={\frac {d}{dt}}|_{t=e}R_{h(t)}.

G的てきMaurer-Cartan form w可か以用齐次空そら间上うえ的てき主しゅ丛的术语公理こうり化か的てき解かい释为：

w是ぜ一いち个G上うえ的てきg值1-形式けいしき，它是G的てき切きり空そら间的线性同どう构。
$(R_{h})_{*}w=Ad(h^{-1})w$ 对所有しょゆうH中なか的てきh.
$w(X^{+})=X$ 对所有しょゆう ${\mathfrak {h}}$ 中なか的てきX.
$dw+{\frac {1}{2}}[w,w]=0$ （结构方かた程ほど）

反はん过来讲，可か以表明ひょうめい，给定一个流形和一个M上うえ的てき主ぬしH丛，若わか丛上给出一いち个形式しきw满足这些条件じょうけん，则该主ぬし丛局域いき同どう构于一个主齐次丛 $G\rightarrow G/H$ 的てきH丛.Maurer-Cartan形式けいしき的てき第だい四个属性等价于建立这种同构的可か积性条件じょうけん。一个嘉当几何是这个意义下的可积性条件的一种破坏，使つかい得とく曲きょく率りつ得とく以出现。

弯曲的てき情じょう况

从上述じょうじゅつ的てき齐次空そら间 $(G,H,{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},w)$ 的てき基本きほん数すう据すえ开始，我わが们现在ざい准じゅん备定义一个嘉当几何为这个结构的一个特定变形，使つかい得とく曲きょく率りつ能のう够出现。

引例いんれい

黎はじむ曼几何なに可か以看作さく是ぜ欧おう氏し几何的てき"变形",伪黎曼流形がた是これ闵可夫おっと斯基空そら间的てき变形，配置はいち了りょう共きょう形かたち结构的てき微ほろ分流ぶんりゅう形がた（Weyl流りゅう形がた）可か以视为共きょう形かたち几何的てき变形，一いち个配置はいち了りょう仿射联络的てき微分びぶん流りゅう形がた（但ただし没ぼっ有ゆう黎はじむ曼度量りょう）可か以视为仿射几何的てき变形，等とう等とう。

还有很多其它例れい子こ。特とく别的有ゆう，G可か以不是ぜH上うえ的てき仿射群ぐん。物理ぶつり中ちゅう的てき例れい子こ有ゆう，若わかM为一四よん维流形がた而H为旋子こ洛らく伦兹群ぐんSpin(3,1)，则G可か以是

R⁴

\rtimes

Spin(3,1）,

或あるSpin(4,1)或あるSpin(3,2)。这分别对应于选择闵可夫おっと斯基空そら间，de Sitter空そら间和わ反はんde Sitter空そら间。这些结构的てき弯曲对应物ぶつ在ざい广义相しょう对论中ちゅう很重要じゅうよう。（选择哪个群ぐん取と决于宇宙うちゅう常数じょうすう的てき符号ふごう）

另一个例子こ，G可か以是SO(n+1,1)，作用さよう于n+2维闵可か夫おっと斯基空そら间，而H可か以是通どおり过原点てん的てき射しゃ线的等とう距群。这样得え到いた的てき几何结构和わn球たま的てき共とも形がた运动群ぐん同どう构。这些数すう据すえ的てき弯曲对应和わ流りゅう形がた的てき共とも形がた结构的てき表ひょう述じゅつ相しょう关。

数学すうがく细节

嘉よしみ当とう几何有ゆう下か列れつ部分ぶぶん组成。一いち个光滑すべりn维流形がたM，一いち个r维李群ぐんH,其李代数だいすう为 ${\mathfrak {h}}$ ，一いち个M上うえ的てき主ぬしH丛P，一いち个n+r维李群ぐんG，其李代数だいすう为 ${\mathfrak {g}}$ ，H为G子こ群ぐん。嘉よしみ当とう联络是ぜP上うえ的てき ${\mathfrak {g}}$ -值的1-形式けいしき满足

w是ぜP的てき切きり空そら间的线性同どう构
$(R_{h})_{*}w=Ad(h^{-1})w$ 对所有しょゆうH中なか的てきh
$w(X^{+})=X$ 对所有しょゆう ${\mathfrak {h}}$ 中なか的てきX

嘉よしみ当とう联络的てき曲きょく率りつ为 ${\mathfrak {g}}$ -值的2-形式けいしき

\Omega =dw+{\frac {1}{2}}[w,w]

若わかM配はい备了一いち个嘉当とう几何，其切空そら间有一いち个标准じゅん的てきH表示ひょうじ。实际上じょう，投影とうえい $\pi :P\rightarrow M$ 有ゆう微分びぶん $\pi _{*}:TP\rightarrow TM$ . $\pi _{*}$ 的てき核かく（kernel）由ゆかり垂直すいちょく向こう量的りょうてき子こ丛组成なり，嘉よしみ当とう联络平凡へいぼん化か为 ${\mathfrak {h}}$ . 这样M的てき切きり丛同构于纤维积

TM\cong P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}

这里 ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ 被ひH的てき伴とも随ずい表示ひょうじ作用さよう于其上じょう。

嘉よしみ当とう联络的てき规范

进行嘉よしみ当とう联络的てき实际计算时，传统上じょう要よう在ざい一个特定的规范中进行。M上うえ的てき一いち个规范就是ぜM的てき（一个开子集上的） ${\mathfrak {g}}$ -值1-形式けいしき $\theta$ ，使つかい得とく商しょう映うつ射い $\theta :T_{p}M\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ 是ぜ向むこう量りょう空そら间的同どう构。

用よう联络w的てき术语来らい讲，一个规范可以通过选择一个截面 $s:M\rightarrow P$ ，并置 $\theta =s^{*}w$ 来らい决定。这样一个丛的截面称为一个活かつ动标架か。若わか一いち对截面めんs和わt给定，则他们通过H-作用さよう相しょう联，所以ゆえん $s=kt$ ，其中k一いち个M上うえ的てきH-值函数すう。所ところ导出的てき规范 $s^{*}w$ 和わ $t^{*}w$ 有ゆう下か列れつ方かた程ほど关联

s^{*}w=Ad(k^{-1})t^{*}w+k^{*}\omega _{H}

其中 $\omega _{H}$ 是ぜH的てきMaurer-Cartan形式けいしき。

基本きほんD算さん子こ

令れいV为H的てき实或复表示ひょうじ，H的てき作用さよう记作 $\rho$ 。令れい $A^{0}(P,V)$ 为P上うえ的てき等とう变V值函数すう，使つかい得とく

R_{h}^{*}f=\rho (h^{-1})f

对所有しょゆう

f\in A^{0}(P,V)

.

或ある者もの说

A^{0}(P,V)=P\times _{H}V

.

令れい $A^{q}(P,V)$ 为P上うえ的てき等とう变V值q-形式けいしき的てき空そら间。在ざい有ゆう嘉よしみ当とう联络的てき情じょう况，有ゆう一个标准的同构

\phi :A^{q}(P,V)\cong A^{0}(P,\bigwedge ^{q}{\mathfrak {g}}^{*})

由よし下か式しき给出 $\alpha (X_{1},X_{2},\dots ,X_{q})=\phi (\alpha )(w^{-1}X_{1},\dots ,w^{-1}X_{q})$

de Rham算さん子こ保持ほじ等とう变性，所以ゆえん退化たいか为一阶微分ぶん算さん子こ

d:A^{q}(P,V)\rightarrow A^{q+1}(P,V)

.

基本きほんD算さん子こ就是如下复合算がっさん子こ

D=\phi ^{-1}\circ d:A^{0}(P,V)\rightarrow A^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*})

.

作用さよう于 $A^{0}(P,V)$ 中なか的てき函数かんすう，得とく到いた

D_{X}f=w^{-1}(X)f.

共きょう变微分ぶん

共きょう变微分ぶん是ぜ一种一阶微分算子，可か以定义在一大类嘉当几何上。同上どうじょう节一样，令れい数すう据すえ $(P,H,{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}},w)$ 给定一いち个嘉当とう几何，并令 $(V,\rho )$ 为H的てき一いち个表示ひょうじ，并在M上うえ形成けいせい向こう量りょう丛 $\mathbb {V} =A^{0}(P,V)$ 。共きょう变导数すう是ぜ一いち个一阶微分びぶん算さん子こ

\nabla _{X}:\Gamma (\mathbb {V} )\rightarrow \Gamma (\mathbb {V} )

对每个 $X\in TM$ 满足通常つうじょう的てき公理こうり：若わかv和わw是ぜ $\mathbb {V}$ 的てき截面，k是ぜM上うえ的てき函数かんすう，而X和わY是ぜTM的てき截面，则

$\nabla _{X}(v+w)=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w$

$\nabla _{X+Y}v=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v$

$\nabla _{kX}v=k\nabla _{X}v$

$\nabla _{X}(kv)=X(k)v+k\nabla _{X}v.$

要よう构造共ども变微分ぶん，令れいv为 $\mathbb {V}$ 任にん一いち截面。注意ちゅういv可か以看作さくH-等とう变映射しゃ $P\rightarrow V$ 。这是我わが们要采さい用よう的てき观点。令れいX为M的てき切きり丛的一いち个截面めん。取と任意にんい到いたP的てき切きり丛上的てき右みぎ不ふ变提升ます ${\bar {X}}$ 。定てい义

\nabla _{X}v={\bar {X}}(v)+\rho (\omega ({\bar {X}}))(v)

.

要よう证明 $\nabla _{X}$ 有ゆう所しょ需属性せい，它必须：（1）和わ所しょ选的提ひさげ升ます ${\bar {X}}$ 无关，（2）等とう变，所しょ以它下降かこう为 $\mathbb {V}$ 的てき一いち个截面めん。

对于（1），选择X的てき一个右不变的提升的模糊性是 $X\mapsto X+\zeta ^{+}$ 形式けいしき的てき变换，其中 $\zeta ^{+}$ 是ぜ一いち个从 $\zeta \in {\mathfrak {h}}$ 导出的てき右みぎ不ふ变竖直ちょく向むこう量りょう场。所以ゆえん，在ざい新しん的てき提ひさげ升ます ${\bar {X}}+\zeta ^{+}$ 下しも计算共ども变导数すう，就得到いた