閔考斯基時空じくう

  提示ていじ：此条目め页的主ぬし题不是ぜ四よん维空间。

赫尔曼·闵可夫おっと斯基（1864－1909）发现狭せま义相对论在ざい利用りよう闵可夫おっと斯基时空这一四维空间时更容易理解。

闵可夫おっと斯基时空（Minkowski spacetime）又また称しょう闵可夫おっと斯基空そら间（Minkowski space），在ざい数学すうがく物理ぶつり学がく中ちゅう是ぜ指ゆび由よし三さん维欧おう几里德とく空そら间与あずか时间组成的てき四よん维流ながれ形がた，其中任意にんい两个事件じけん之の间的时空间隔与あずか所ところ依よ照あきら的てき惯性系けい无关。尽つき管かん赫尔曼·闵可夫おっと斯基一开始是为了电磁理论的麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组而发展てん这一理いちり论，但ただし闵可夫おっと斯基时空的てき结构却可以从狭せま义相对论的てき公おおやけ设直接ちょくせつ推出。

闵可夫おっと斯基空そら间与阿おもね尔伯特とく·爱因斯坦的てき狭せま义相对论紧密相しょう关，并且是ぜ狭せま义相对论最さい为常用じょうよう的てき数学すうがく表ひょう述じゅつ结构。欧おう几里德とく空そら间的单个分量ぶんりょう以及时间可能かのう会かい因いん为长度收おさむ缩以及时间膨胀等とう效こう应而发生变化，在ざい闵可夫おっと斯基空そら间中，不同ふどう参考さんこう系けい中ちゅう两个事件じけん间的时空总距离则都と是ぜ一致いっち的てき。不ふ过由于时间维度ど与あずか三个空间维度的处理方式仍存在不同之处，闵可夫おっと斯基空そら间与四维欧几里德空间仍是不同的。

在ざい三维欧几里德空间（比ひ如伽利り略りゃく相あい对性原理げんり中なか的てき空そら间）中ちゅう，欧おう几里德とく群ぐん是ぜ其中的てき等とう距群（即そく可か以保证正则欧おう几里德とく距离不ふ变的映うつ射い）。它是由ゆかり旋转、反射はんしゃ以及平ひら移うつり生成せいせい的てき。当とう将しょう时间作さく为第四个维度考虑在内时，时间的てき平たいら移うつり以及伽とぎ利り略りゃく递升就需要よう考こう虑在内ない。由よし上述じょうじゅつ提ひさげ及的变换所しょ构成的てき群ぐん称しょう作さく伽とぎ利り略りゃく群ぐん。所有しょゆう的てき伽とぎ利り略りゃく变换保ほ证三维欧几里德距离不变。这个距离只ただ是ぜ空そら间上的てき距离。时间则独立どくりつ于空间，同どう时保持ほじ不ふ变。在ざい狭せま义相对论中ちゅう，空そら间和时间则会互相影かげ响。

闵可夫おっと斯基空そら间对于时空そら的てき表ひょう述じゅつ是ぜ借か助じょ不定ふてい非ひ退化たいか双そう线性形式けいしき完成かんせい的てき。这一形式在下文中会依据语境不同被叫作“闵可夫おっと斯基度ど规”、“闵可夫おっと斯基范数平方へいほう”或ある是ぜ“闵可夫おっと斯基内ない积”闵可夫おっと斯基内ない积是在ざい两个事件じけん的てき坐すわ标差矢や量りょう作さく为自变量时对时空间隔定てい义的。在ざい引入这种内ない积后，时空的てき数学すうがく模型もけい就被叫さけべ作さく闵可夫おっと斯基空そら间。对应于伽利り略りゃく群ぐん，闵可夫おっと斯基时空中保なかほ证时空そら间隔不ふ变的变换群ぐん叫さけべ作さく“庞加莱群”。

总体而言，伽とぎ利り略りゃく时空与あずか闵可夫おっと斯基时空在ざい被ひ看み作さく流りゅう形がた时是完全かんぜん相しょう同どう的てき。他た们之所以ゆえん不同ふどう是ぜ因いん为定义于其上的てき结构是ぜ不同ふどう的てき。前者ぜんしゃ有ゆう的てき是ぜ欧おう几里德とく距离，独立どくりつ于空间的时间以及由よし伽とぎ利り略りゃく变换相互そうご关联的てき惯性系けい，而后者しゃ有ゆう的てき是ぜ闵可夫おっと斯基度ど规和由よし洛らく伦兹变换相互そうご关联的てき惯性系けい。

历史

四维欧几里德时空

参まいり见：四よん维空间

亨とおる利り·庞加莱在ざい1905年ねん至いたり1906年ねん间发现当将はた时间作さく为一个虚坐标ict（其中c为光速こうそく，i是これ虚数きょすう单位）并与三个表示空间的实坐标共同组成四维时空时，洛らく伦兹变换就可以看作さく是ぜ这一时空中的坐标旋转。狭せま义相对论可か以保证这个量：

$-t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

在ざい两个惯性系けい间的坐すわ标变换，也就是ぜ洛らく伦兹变换，前ぜん后きさき保持ほじ不ふ变。

注ちゅう：此处及以下か公式こうしき使用しよう了りょう几何单位制せい，即そく令れいc=1的てき单位制せい，所以ゆえん在ざい这种单位制せい下かt和わx,y,z量りょう纲相同どう。

这里对于光速こうそくc依よ照あきら庞加莱的做法做了归一处理。在ざい由ゆかり他た提出ていしゅつ的てき空そら间中，坐すわ标空间是通どおり过(t, x, y, z) ↦ (x, y, z, it)构造的てき。洛らく伦兹变换在ざい坐すわ标空间中作さく为普通どおり的てき旋转变换保ほ证

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}$

不ふ变。后きさき一种表述可以让前面的表述更为容易理解，但ただし两式中ちゅうt所ところ表示ひょうじ的てき意い义不同ふどう（前者ぜんしゃ表示ひょうじ的てき惯性系けい中ちゅう测得的てき固有こゆう时间本身ほんみ，后きさき者しゃ表示ひょうじ的てき时间坐标）也可能会のうかい造成ぞうせい混淆こんこう。

无论是ぜ在ざい坐すわ标空间还是ぜ在ざい实际的てき时空中ちゅう，在ざい由よし两个空そら间单位い矢や量りょう确定的てき平面へいめん中ちゅう的てき旋转就是通常つうじょう意い义上的てき旋转。不ふ过当那な个平面めん是ぜ由よし一个时间单位矢量以及一个空间单位矢量确定的时候，其中的てき“旋转”称しょう作さく洛らく伦兹递升，与あずか欧おう几里德とく旋转就不那な么相似そうじ了りょう。

赫尔曼·闵可夫おっと斯基基もと于这一构想在四维空间中重新阐释了麦むぎ克かつ斯韦方かた程ほど组，并展示てんじ了りょう其在洛らく伦兹变换前ぜん后きさき的てき不ふ变性。他た又また进一步在四维空间中重新表述了爱因斯坦的狭义相对论，由よし此总结出时间与空そら间应该做相しょう同どう的てき处理，并提出ていしゅつ了りょう事件じけん是ぜ在ざい一个统一的四维时空连续统中ちゅう发生的てき概念がいねん。

闵可夫おっと斯基空そら间

1908年ねん，在ざい有ゆう关“空そら间与时间”的てき讲座中ちゅう，闵可夫おっと斯基又また利用りよう另一种方式来阐释这种四维时空。他た将しょう虚きょ的てき时间坐标替换为实的时间坐标，并利用りよう一いち个四维实矢や量りょう空そら间来らい表ひょう述じゅつ时空的てき四よん个自变量(x, y, z, t)。这个空そら间中的てき点てん与あずか时空中ちゅう的てき事件じけん一いち一いち对应。在ざい这个时空中ちゅう还有一いち个特别的光ひかり锥。空そら间中不在ふざい光こう锥上的てき点てん可か以依据すえ它们与光こう锥的关系划分为“类空”或ある“类时”。这与现今对时空そら的てき认知基本きほん一致いっち。不ふ过那种将时间作さく为虚坐すわ标的做法由よし于某些原因げんいん仍在狭せま义相对论以及量子りょうし场论有ゆう所しょ应用。将はた时间作さく为实坐标的闵可夫おっと斯基空そら间与将はた时间作さく为虚坐すわ标的四维欧几里德空间之间的转换叫作威い克かつ转动。

在ざい闵可夫おっと斯基的てき论文中ちゅう，下面かめん定てい义的闵可夫おっと斯基度ど规叫作さく“线元素げんそ”，涉わたる及特定とくてい矢や量りょう正せい交性（他た本人ほんにん叫さけべ作さく“正せい规性”）的てき闵可夫おっと斯基内ない积没有ゆう被ひ命名めいめい，而闵可か夫おっと斯基范数平方へいほう则叫作さく“和わ”。

闵可夫おっと斯基图是ぜ闵可夫おっと斯基使用しよう的てき一いち项重要じゅうよう的てき工具こうぐ。他た利用りよう这一工具来定义概念并展示了洛伦兹变换的一些性质（比ひ如固有こゆう时间和わ长度收おさむ缩），并提供ていきょう了りょう牛うし顿力学がく推广到相しょう对论力学りきがく的てき几何解かい释。有ゆう关这些话题请参看さんかん相しょう关条目め。下面かめん主要しゅよう展示てんじ的てき主要しゅよう是ぜ利用りよう由よし时空流りゅう形がた上じょう的てき时空间隔不ふ变性得え到いた的てき闵可夫おっと斯基空そら间的数学すうがく结构（闵可夫おっと斯基度ど规、由ゆかり它推导出的てき量りょう以及作さく为时空そら对称群ぐん的てき庞加莱群），不ふ包括ほうかつ其具体ぐたい应用以及时空间隔不ふ变性的てき推导。这个数学すうがく结构提供ていきょう了りょう目前もくぜん广义相しょう对论以外いがい所有しょゆう相しょう对论理り论的背景はいけい。对于广义相しょう对论，闵可夫おっと斯基时空仍可作さく为局部ぶ平坦へいたん的てき弯曲时空的てき出で发点。

闵可夫おっと斯基本人ほんにん对于他た的てき这种重おも新しん阐释方法ほうほう有ゆう着ぎ这样的てき评价：

我わが想そう要よう在ざい从实验物理学りがく土壤どじょう中ちゅう勃发出で的てき（理り论）下した埋うめ置おけ的てき时空观在那な里さと拥有它自身じしん的てき力量りきりょう。它是激げき进的。自じ此，单是空そら间或是ぜ时间将はた隐没入ぼつにゅう阴影之の中なか，只ただ有ゆう它们的てき联合体がったい才ざい会かい维系着ぎ一いち个独立どくりつ的てき现实。

——赫尔曼·闵可夫おっと斯基，1908－1909

更さら进一步的历史方面的信息，请参阅Galison (1979), Corry (1997) and Walter (1999)。

数学すうがく结构

本ほん图展示てんじ了りょう球面きゅうめん上じょう的てき点てんx的てき切きり空そら间。这个矢や量りょう空そら间可以看作さくℝ³的てき子こ空そら间。其中的矢まとや量りょう则叫作さく“几何切きり矢や量りょう”。同どう理り，平坦へいたん时空中ちゅう任にん一点的切空间可以视为时空的子空间。

下しも文中ぶんちゅう，时空将はた被ひ赋以对应某ぼう个惯性系けい的てき坐すわ标系。这样就可以得到いた一いち个的原点げんてん。这个原げん点在てんざい把わ时空构造为矢量りょう空そら间的过程中ちゅう很重要じゅうよう。尽つき管かん从物理ぶつり意い义来说这样的一いち个正则原点てん（时空的てき“中心ちゅうしん”事件じけん）并不需要じゅよう存在そんざい。人ひと们可以构造づくり具有ぐゆう更さら简单结构的てき时空，比ひ如仿射空そら间，但ただし这会添加てんか不ふ必要ひつよう的てき讨论，并且不能ふのう反映はんえい平坦へいたん空そら间目前ぜん是ぜ如何いか从数学がく上じょう处理的てき。

总体而言，闵可夫おっと斯基空そら间是一个四维实矢量空间。时空中ちゅう每まい个点的てき切きり空そら间上具有ぐゆう非ひ退化たいか对称双そう线性形式けいしき，这里称しょう作さく“闵可夫おっと斯基内ない积”，度ど规符号ごう差さ为(+ − − −)或ある(− + + +)。每まい个事件じけん的てき切きり空そら间是一个具有与时空相同维度的四维矢量空间。

切きり矢や量りょう

切きり空そら间在实际应用中ちゅう可能かのう并不会かい涉わたる及。闵可夫おっと斯基空そら间的切きり空そら间的性せい质可以让人じん们拥有ゆう利用りよう闵可夫おっと斯基空そら间本体ほんたい里さと的矢まとや量りょう标示切きり空そら间中矢や量的りょうてき规范方法ほうほう。例れい子こ请参见Lee (2003，Proposition 3.8.)。标识的てき过程通常つうじょう是ぜ利用りよう数学すうがく方法ほうほう完成かんせい的てき。它们可か以在直角ちょっかく坐すわ标系中ちゅう表示ひょうじ为：

$(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{p}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{p}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{p}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{p}\leftrightarrow x^{0}\mathbf {e} _{0}|_{q}+x^{1}\mathbf {e} _{1}|_{q}+x^{2}\mathbf {e} _{2}|_{q}+x^{3}\mathbf {e} _{3}|_{q},$

其中切きり空そら间的基もと矢や定てい义为：

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{$或ある }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{等ひとし}}.}

这里的てきp和わq是ぜ任意にんい的てき两个事件じけん，后きさき一种标示叫作平行へいこう移うつり动。第だい一いち种标示しめせ是ぜ利用りよう空そら间本体たい中ちゅう的矢まとや量りょう来らい表示ひょうじ切きり空そら间中矢や量的りょうてき规范方法ほうほう。切きり空そら间的基もと矢や会かい出で现一阶微分符号就是因为这种标示方式。这种标示方式ほうしき得とく益えき于几何なん切きり矢や量りょう可か以与一いち组平滑へいかつ函数かんすう的てき方向ほうこう导数一いち一いち对应。这使得とく流りゅう形がた中ちゅう的てき切きり矢や量的りょうてき定てい义不必基于ℝⁿ。这种定てい义切矢や量りょう方式ほうしき并不是ぜ唯一ゆいいつ的てき。通つう过普通どおり的てきn元もと矢や量りょう也可以定义切矢や量りょう。

将はた切きり矢や量定りょうてい义为普通ふつう矢や量的りょうてき方法ほうほう

在ざい直角ちょっかく坐すわ标系（对应于惯性せい系けい），点てんp处的切きり矢や量りょう可か以定义为4 × 1的てき列れつ矢や量りょうv。它通过洛伦兹变换Λらむだ依よ照あきらv → Λらむだv在ざい惯性系けい间变换，与あずか坐すわ标x^μみゅー的てき变换方式ほうしき相しょう同どう。具体ぐたい来らい说，就是：

${\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}$

这种定てい义在标准同どう构下与あずか上うわ文ぶん给出的てき定てい义等价。

p点てん处的切きり矢や量りょう有ゆう时还会かい以p点てん处的“位い移うつり矢や量りょう”表示ひょうじ，与あずか上面うわつら规范标示方法ほうほう基本きほん相しょう通どおり。上述じょうじゅつ基もと于数学がく背景はいけい介かい绍的矢や量りょう表示ひょうじ方法ほうほう可か以在Misner，Thorne & Wheeler (1970)找到它们物理ぶつり的てき或ある是ぜ更さら为具体ぐたい的てき几何背景はいけい。

標準ひょうじゅん基底きてい

閔可夫おっと斯基時空じくう的てき一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合(e₀, e₁, e₂, e₃) 使つかい得とく

$-\left(e_{0}\right)^{2}=(e_{1})^{2}=(e_{2})^{2}=(e_{3})^{2}=1$

這些條件じょうけん可か以更簡要地ち寫うつし成なり如下形式けいしき：

$\langle e_{\mu },e_{\nu }\rangle =\eta _{\mu \nu }$

其中μみゅー與あずかνにゅー涵蓋的てき數すう值有{0, 1, 2, 3}，矩のり陣じんηいーた稱たたえ為ため閔可夫おっと斯基度ど規ぶんまわし，數かず值為

$\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

相對そうたい於一いち組くみ標準ひょうじゅん基底きてい，一向いっこう量りょう$V$ 的てき分量ぶんりょう可か以寫作さく$(V^{0},V^{1},V^{2},V^{3})$，並なみ且我們使用しよう愛あい因いん斯坦標記ひょうき來らい寫うつし$V=V^{\mu }e_{\mu }\,$。分量ぶんりょう$V^{0}$稱しょう作さく$V$ 的てき「類るい時じ分量ぶんりょう」(timelike component)，而其他た三さん個こ分量ぶんりょう則そく稱しょう作さく「類るい空そら分量ぶんりょう」(spatial components)。

以分量りょう來らい寫うつし，兩個りゃんこ向むこう量りょう$V$與あずか$W$間あいだ的てき內積可か寫うつし成なり

$\langle V,W\rangle =\eta _{\mu \nu }V^{\mu }W^{\nu }=-V^{0}W^{0}+V^{1}W^{1}+V^{2}W^{2}+V^{3}W^{3}$，

而一向むこう量りょう$V$的てき範はん數すう(norm)平方へいほう值為

$V^{2}=\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }=-(V^{0})^{2}+(V^{1})^{2}+(V^{2})^{2}+(V^{3})^{2}\,$。

因果いんが結構けっこう

四よん維矢量りょう依據いきょ它們（閔可夫おっと斯基）內積的てき正負せいふ號ごう來らい區分くぶん。四よん維矢量りょう$U$、$V$與あずか$W$可か分類ぶんるい如下：

• $V$是これ類るい時じ(timelike)，若わか且唯若わか$\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }\,=V^{\mu }V_{\mu }<0$
• $U$是これ類るい空むなし(spacelike)，若わか且唯若わか$\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }\,=U^{\mu }U_{\mu }>0$
• $W$是これ零れい(null)或ある稱しょう類るい光こう(lightlike)，若わか且唯若わか$\eta _{\mu \nu }W^{\mu }W^{\nu }\,=W^{\mu }W_{\mu }=0$

這樣的てき術語じゅつご源げん自じ於相對そうたい論ろん中ちゅう對たい於閔可か夫おっと斯基時空じくう的てき使用しよう。閔可夫おっと斯基時じ空中くうちゅう一事件所有零向量的集合構成了該事件的光ひかり錐きり(light cone)。注意ちゅうい到いた這些標記ひょうき的てき使用しよう與あずか參考さんこう系けい無關むせき。

向こう量りょう場じょう被ひ稱しょう作さく是ぜ類るい時じ、類るい空むなし或ある零れい，是ぜ看み場じょう定義ていぎ所在しょざい的てき各かく點てん，其所對應たいおう的てき向むこう量りょう是ぜ類るい時じ、類るい空むなし或ある零れい。

關せき於零向むこう量りょう一いち個こ有用ゆうよう的てき結果けっか：「若わか兩個りゃんこ零れい向こう量りょう$A\,$、$B\,$正せい交（即そく：零れい內積值$A\cdot B=A^{\mu }B_{\mu }=0$），則のり它們必定ひつじょう是ぜ呈てい比例ひれい關係かんけい$A=kB\,$（$k\,$為ため常數じょうすう）。」

一旦いったん時間じかん方向ほうこう選定せんてい了りょう，類るい時じ向むこう量りょう與あずか零れい向こう量りょう可か以再分ぶん為ため各種かくしゅ類別るいべつ。以類時じ向むこう量りょう(timelike vector)來らい說せつ，我わが們有

1. 未來みらい方向ほうこう(future directed)類るい時じ向むこう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため正ただし。
2. 過去かこ方向ほうこう(past directed)類るい時じ向むこう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため負まけ。

以零向むこう量りょう(null vector)來らい說せつ，可分かぶん為ため三さん種類しゅるい別べつ：

1. 純じゅん零れい向こう量りょう(zero vector)，其在任ざいにん何なん基底きてい下か，所有しょゆう分量ぶんりょう皆みな為ため(0,0,0,0)。
2. 未來みらい方向ほうこう零れい向こう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため正ただし，而其余あまり分量ぶんりょう为0。
3. 過去かこ方向ほうこう零れい向こう量りょう，其第一いち個こ分量ぶんりょう為ため負まけ，而其余あまり分量ぶんりょう为0。

加か上うえ類るい空そら向むこう量りょう，全部ぜんぶ共有きょうゆう六ろく種類しゅるい別べつ。

閔可夫おっと斯基時じ空中くうちゅう的てき正せい交歸一いち基底きてい(orthonormal basis)必然ひつぜん包含ほうがん一個類時與三個類空的單位向量。若わか希望きぼう以非正せい交歸一基底來做運算，則のり可か有ゆう其他的てき向むこう量りょう組合くみあい。例れい如：可か以輕鬆す建けん構一いち種しゅ（非ひ正せい交歸一いち）基底きてい，整せい個こ是ぜ由よし零れい向こう量りょう所しょ組成そせい，稱しょう之の為ため「零れい基底きてい」(null basis)。

几何意い义

{{闵可夫おっと斯基空そら间是狭せま义相对论中ちゅう的てき一いち个概念がいねん，它由一个时间维和三个空间维组成。在ざい这个四よん维时空中くうちゅう，不同ふどう的てき惯性参考さんこう系けい之の间的坐すわ标变换可以通过洛伦兹变换来らい描述。闵可夫おっと斯基空そら间的几何意い义在于，它提供ていきょう了りょう一种度量时空间隔的方法，这种度量どりょう是ぜ通どおり过闵可か夫おっと斯基度ど规来定てい义的⁴。

在ざい闵可夫おっと斯基空そら间中，时空间隔（也称为线元もと）保持ほじ不ふ变，即そく使つかい在ざい不同ふどう的てき惯性参考さんこう系けい中ちゅう观察。这个不ふ变性是ぜ狭せま义相对论中ちゅう相しょう对性原理げんり和光わこう速そく不ふ变原理げんり的てき数学すうがく表ひょう述じゅつ。具体ぐたい来らい说，如果在ざい一いち个惯性せい参考さんこう系けい中ちゅう，两个事件じけん的てき时空间隔是ぜ \( ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \)，那な么在另一个惯性せい参考さんこう系けい中ちゅう，这个间隔 \( ds^2 \) 也是相しょう同どう的てき。这表明ひょうめい了りょう时间和わ空そら间是相互そうご联系的てき，不能ふのう单独考こう虑¹²。

闵可夫おっと斯基空そら间对我わが们理解りかい四维或多维空间有重要意义，它不仅简化か了りょう对狭义相对论的てき理解りかい，而且在ざい物理ぶつり学がく中ちゅう引入了りょう高だか维时空そら的てき概念がいねん，对物理学りがく的てき发展产生了りょう深ふか远影响⁵。在ざい现代物理ぶつり理り论中，如弦论，闵可夫おっと斯基空そら间的概念がいねん也被扩展到いた更さら高だか维的时空中ちゅう。总的来らい说，闵可夫おっと斯基空そら间是现代物理ぶつり学がく中ちゅう一个基础且强大的工具。

參考さんこう文獻ぶんけん

• Galison P L: Minkowski's Space-Time: from visual thinking to the absolute world, Historical Studies in the Physical Sciences (R McCormach et al. eds) Johns Hopkins Univ.Press, vol.10 1979 85-121
• Corry L: Hermann Minkowski and the postulate of relativity, Arch. Hist. Exact Sci. 51 1997 273-314
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematics of Minkowski Space, Birkhäuser Verlag, Basel.
• Naber, Gregory L. The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. 1992. ISBN 0-387-97848-8. 
• Roger Penrose (2005) Road to Reality : A Complete Guide to the Laws of the Universe, chapter 18 "Minkowskian geometry", Alfred A. Knopf ISBN 978-0-679-45443-4 .
• Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, § 6.6 "Minkowski space", § 6.7,8 "Canonical forms", pp 221–42, Academic Press ISBN 978-0-12-639201-2 .
• Walter, Scott. Minkowski, Mathematicians, and the Mathematical Theory of Relativity. Goenner, Hubert et al. (ed.) (编). The Expanding Worlds of General Relativity. Boston: Birkhäuser. 1999: 45–86. ISBN 0-8176-4060-6. （原始げんし内容ないよう存そん档于2015-04-02）. 

參まいり閲

• 歐おう幾里いくさと得とく空間くうかん
• 時空じくう
• 光速こうそく
• 光ひかり錐きり
• 世界せかい線せん
• 狭せま义相对论
• 勞ろう侖茲流りゅう形がた
• 雙そう曲きょく空間くうかん
• 雙そう曲きょく四よん元げん數すう

外部がいぶ連結れんけつ

维基共ども享とおる资源上うえ的てき相關そうかん多た媒體ばいたい資源しげん：閔考斯基時空じくう

• YouTube上じょう的てきAnimation clip visualizing Minkowski space in the context of special relativity.
• The Geometry of Special Relativity: The Minkowski Space - Time Light Cone