模糊もこ集しゅう

模糊もこ集しゅう是これ模糊もこ数学すうがく上うえ的てき一いち个基本きほん概念がいねん，是ぜ数学すうがく上うえ普通ふつう集合しゅうごう的てき扩展。

定てい义

给定一いち个论域いき$U$ ，那な么从$U$到いた单位区く间$[0,1]$的てき一いち个映射しゃ$\mu _{A}:U\mapsto [0,1]$称しょう为$U$上うえ的てき一いち个模糊もこ集しゅう，或ある$U$的てき一いち个模糊もこ子こ集しゅう。

表示ひょうじ

模糊もこ集しゅう可か以记为$A$。映うつ射い（函数かんすう）$\mu _{A}(\cdot )$或ある简记为$A(\cdot )$叫さけべ做模糊もこ集しゅう$A$的てき隶属函数かんすう。对于每ごと个$x\in U$， $\mu _{A}(x)$叫さけべ做元素げんそ$x$对模糊もこ集しゅう$A$的てき隶属度ど。

模糊もこ集しゅう的てき常用じょうよう表示法ひょうじほう有ゆう下か述じゅつ几种：

1. 解析かいせき法ほう，也即给出隶属函数かんすう的てき具体ぐたい表ひょう达式。
2. Zadeh记法，例れい如$A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}$。分母ぶんぼ是ぜ论域中ちゅう的てき元素げんそ，分子ぶんし是ぜ该元素げんそ对应的てき隶属度ど。有ゆう时候，若わか隶属度ど为0，该项可か以忽略りゃく不ふ写うつし。
3. 序じょ偶法，例れい如$A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}$，序じょ偶对的てき前者ぜんしゃ是ぜ论域中ちゅう的てき元素げんそ，后きさき者しゃ是ぜ该元素げんそ对应的てき隶属度ど。
4. 向こう量りょう法ほう，在ざい有限ゆうげん论域的てき场合，给论域いき中元ちゅうげん素もと规定一个表达的顺序，那な么可以将上述じょうじゅつ序じょ偶法简写为隶属ぞく度ど的てき向こう量りょう式しき，如$A=(1,0.5,0.72,0)$。

和かず传统集合しゅうごう的てき关系

和かず傳統でんとう的てき集合しゅうごう一樣いちよう，模糊もこ集しゅう也有やゆう它的元素げんそ，但ただし可か以談論ろん每ごと個こ元素げんそ屬ぞく於該模糊もこ集しゅう的てき程度ていど，其從低てい至高しこう一般いっぱん用よう 0 到いた 1 之これ間あいだ的てき數すう來らい表示ひょうじ。模糊もこ集しゅう理論りろん是ぜ由ゆかり盧の菲特·澤さわ德いさお（1965）所しょ引進的てき，是ぜ經典きょうてん集合しゅうごう論ろん的てき一いち種しゅ推廣。在ざい經典きょうてん的てき集合しゅうごう論ろん中ちゅう，所謂いわゆる的てき二分にぶん條件じょうけん規定きてい每ごと個こ元素げんそ只ただ能のう屬ぞく於或ある不ふ屬ぞく於某ぼう個こ集合しゅうごう（因いん此模糊もこ集しゅう不ふ是ぜ集合しゅうごう）；可か以說，每まい個こ元素げんそ對たい每まい個こ集合しゅうごう的てき歸屬きぞく性せい（membership）都と只ただ能のう是ぜ 0 或ある 1。而每模糊もこ集しゅう則のり擁よう有ゆう一いち個こ歸屬きぞく函數かんすう（membership function），其值允許いんきょ取と閉區間あいだ$[0,1]$（單位たんい區間くかん）中ちゅう的てき任にん何なん實數じっすう，用よう來らい表示ひょうじ元素げんそ對たい該集的てき歸屬きぞく程度ていど。比ひ如設某ぼう模糊もこ集しゅう$A$的てき歸屬きぞく函數かんすう為ため$M$ ，而$a$、$b$、$c$為ため三さん個こ元素げんそ；如果$M(a)=1$，$M(b)=0$，$M(c)={\frac {1}{2}}$，則のり可か以說 「$a$完全かんぜん屬ぞく於$A$」，「$b$完全かんぜん不ふ屬ぞく於$A$」，「$c$對たい$A$的てき歸屬きぞく度ど為ため${\frac {1}{2}}$」（注意ちゅうい没ぼつ有ゆう說せつ「$c$有ゆう一半いっぱん屬ぞく於$A$」，因いん為ため尚ひさし未み規定きてい${\frac {1}{2}}$的てき歸屬きぞく度ど具有ぐゆう甚麼いんも特殊とくしゅ含義）。作為さくい特例とくれい，當とう歸屬きぞく函數かんすう的てき值只能取のとろ 0 或ある 1 時じ，就得到いた了りょう傳統でんとう集合しゅうごう論ろん常用じょうよう的てき指示しじ函数かんすう（indicator function）。傳統でんとう集合しゅうごう在ざい模糊もこ集しゅう理論りろん中ちゅう通常つうじょう稱しょう作さく「明確めいかく集しゅう」（crisp set）。

截集与あずか截积

设 $A$为 $U$上うえ的てき模糊もこ集しゅう（记作 $A\in {\mathcal {F}}(U)$），任にん取と $\lambda \in [0,1]$，则

$A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}$，

称しょう$A_{\lambda }$为$A$的てき$\lambda$截集，而$\lambda$称しょう为阈值或置おけ信しんじ水平すいへい。将はた上うえ式しき中ちゅう的てき$\geq$替がえ换为$>$，记为$A_{S\lambda }$，称しょう为强つよ截集。

截集和わ强きょう截集都と是ぜ经典集合しゅうごう。此外，显然$A_{1}$为$A$的てき核かく，即そく$\ker A$；如果$\ker A\neq \varnothing$，则称$A$为正规模糊もこ集しゅう，否いや则称为非正せい规模糊もこ集しゅう。

截积是ぜ数すう与あずか模糊もこ集しゅう的てき积：

设$\lambda \in [0,1]$，$A\in F(U)$，则$\forall u\in U$，$\lambda$与あずか$A$的てき截积（或ある称しょう为$\lambda$截集的てき数すう乘じょう，记为$\lambda A$）定てい义为：

$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}$

根ね据すえ定てい义，截积仍是$U$上うえ的てき模糊もこ集合しゅうごう。

分解ぶんかい定理ていり与あずか表おもて现定理ていり

分解ぶんかい定理ていり：

设$A\in F(U)$，则

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }$

即そく任にん一いち模糊もこ集しゅう$A$都と可か以表达为一族いちぞく简单模糊もこ集しゅう$\left\{\lambda a_{\lambda }\right\}$的てき并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。

表おもて现定理ていり：

设$H$为$U$上うえ的てき任にん何なん一いち个集合しゅうごう套，则

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )$

是これ$U$上うえ的てき一いち个模糊もこ集しゅう，且$\forall \lambda \in [0,1]$，有ゆう

（1）$A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )$

（2）$A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )$

即そく任にん一集合套都能拼成一个模糊集。

模糊もこ度ど

一いち个模糊もこ集しゅう$A$的てき模糊もこ度ど衡量、反映はんえい了りょう A 的てき模糊もこ程度ていど，一个直观的定义是这样的：

设映射しゃ$D:F(U)\rightarrow [0,1]$满足下か述じゅつ5条じょう性せい质：

1. 清きよし晰性：$D(A)=0$当とう且仅当とう$A\in P(U)$。（经典集しゅう的てき模糊もこ度ど恒つね为0。）
2. 模糊もこ性せい：$D(A)=1$当とう且仅当とう$\forall u\in U$有ゆう$A(u)=0.5$。（隶属度ど都と为0.5的てき模糊もこ集しゅう最さい模糊もこ。）
3. 单调性せい：$\forall u\in U$，若わか$A(u)\leq B(u)\leq 0.5$，或ある者もの$A(u)\geq B(u)\geq 0.5$，则$D(A)\leq D(B)$。
4. 对称性せい：$\forall A\in F(U)$，有ゆう$D(A^{c})=D(A)$。（补集的てき模糊もこ度ど相等そうとう。）
5. 可か加か性せい：$D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)$。

则称$D$是ぜ定てい义在$F(U)$上うえ的てき模糊もこ度ど函数かんすう，而$D(A)$为模糊もこ集しゅう$A$的てき模糊もこ度ど。

可か以证明あかり符合ふごう上述じょうじゅつ定てい义的模糊もこ度ど是ぜ存在そんざい的てき，一いち个常用じょうよう的てき公式こうしき（分ぶん别针对有限げん和わ无限论域）就是
${\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}$
其中$p>0$是ぜ参さん数すう，称しょう为 Minkowski 模糊もこ度ど。特とく别地，当とう$p=1$的てき时候称しょう为 Hamming 模糊もこ度ど或ある Kaufmann 模糊もこ指ゆび标，当とう$p=2$的てき时候称しょう为 Euclid 模糊もこ度ど。

模糊もこ測度そくど(Fuzzy measures)

${\mathfrak {B}}$是ぜ輿こし集しゅう$\mathrm {X}$的てき一いち種しゅ。

用よう$g$函數かんすう定義ていぎ${\mathfrak {B}}$，包含ほうがん下か列れつ3項こう特性とくせい稱しょう為ため模糊もこ測度そくど:

①$g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1$

---$g$函數かんすう代だい0值，表示ひょうじ沒ぼつ有ゆう值為空そら值，用よう數學すうがく0來らい表示ひょうじ。$g$函數かんすう代だい$X$表示ひょうじ輿こし集しゅう全部ぜんぶ帶たい進しん去さ了りょう塞ふさが滿了まんりょう，用もちい1表示ひょうじ塞ふさが滿まん。

②若わか$A,B\in {\mathfrak {B}}$和わ$A\subseteq B$, 則のり$g(A)\leq g(B)$.

---$A,B$是ぜ屬ぞく於${\mathfrak {B}}$的てき一いち部分ぶぶん，$A$在ざい$B$裡うら面めん也可能かのう跟$B$一樣いちよう大だい，則のり$g(A)\leq g(B)$

③If $A_{n}$∈${\mathfrak {B}}$, $A_{1}$⊆$A_{2}$⊆…,then $\lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})$

---當とう$A_{n}$屬ぞく於${\mathfrak {B}}$同時どうじ$A_{1}$包含ほうがん於$A_{2}\subseteq \ldots$，則のり將しょう$A_{n}$代入だいにゅう$g$函數かんすう趨小所得しょとく的てき值等同どう於先趨小$A_{n}$再さい代入だいにゅう$g$函數かんすう所しょ求もとめ得とく的てき值。

模糊もこ集しゅう的てき运算

各かく种算子こ

• Zadeh 算さん子こ，$\max$即そく为并，$\min$即そく为交

${\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}$

• 代数だいすう算さん子こ（概がい率りつ和わ、代数だいすう积）

${\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}$

• 有界ゆうかい算さん子こ

${\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}$

• Einstein 算さん子こ

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}$

• Hamacher 算さん子こ，其中$\nu \in [0,+\infty )$是ぜ参さん数すう，等とう于1时转化か为代数すう算さん子こ，等とう于2时转化か为 Einstein 算さん子こ

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}$

• Yager 算さん子こ，其中$p$是ぜ参さん数すう，等とう于1时转化か为有界かい算さん子こ，趋于无穷时转化か为 Zadeh 算さん子こ

${\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}$

• $\lambda -\gamma$算さん子こ，其中$\lambda ,\gamma \in [0,1]$是ぜ参さん数すう

${\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}$

• Dobois-Prade 算さん子こ，其中$\lambda \in [0,1]$是ぜ参さん数すう

${\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}$

算さん子こ的てき性せい质

参まいり见集合しゅうごう代数だいすう和わ布ぬの尔代数すう。

主要しゅよう算さん子こ的まと性せい质对比ひ表ひょう如下（.表示ひょうじ不ふ满足，-表示ひょうじ未み验证）：

算さん子こ	结合律りつ	交换律りつ	分配ぶんぱい律りつ	互补律りつ	同どう一律いちりつ	幂等律りつ	支配しはい律りつ	吸收きゅうしゅう律りつ	双そう重じゅう否定ひてい律りつ	德とく·摩ま根ね律りつ
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代数だいすう	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界ゆうかい	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

线性补偿是ぜ指ゆび：$(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算さん子こ的てき并运算さん	幂等律りつ	排中律はいちゅうりつ	分配ぶんぱい律りつ	结合律りつ	线性补偿
Zadeh	√	.	√	√	.
代数だいすう	.	.	.	√	.
有界ゆうかい	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊もこ集しゅう之の间的距离

使用しよう度量どりょう理り论

可か以使用しよう一般いっぱん的てき度量どりょう理り论来描述模糊もこ集しゅう之の间的距离。在ざい这个意い义上，我わが们需要じゅよう在ざい模糊もこ幂集$F(U)$上うえ建立こんりゅう一いち个度量りょう，此外，我わが们还可能かのう需要じゅよう将はた此度量りょう标准化か，也即映うつ射い到いた$[0,1]$区く间上。例れい如可以这样来标准化か Minkowski 距离：

${\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}$

贴近度ど

主しゅ条目じょうもく：贴近度ど

另一种是使用贴近度概念。在ざい某ぼう种意义上，贴近度ど就是 1 - 距离（这里的てき距离是ぜ上述じょうじゅつ标准化か意い义上的てき距离）。而之所以ゆえん应用这个变换，是ぜ考こう虑到“度ど”的てき概念的がいねんてき直ちょく觉反映はんえい——距离越こし近きん，贴近的てき程度ていど显然越こし“高こう”，因いん此它恰为距离的てき反はん数かず。

除じょ了りょう距离外がい，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。

• 最大さいだい最小さいしょう贴近度ど

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}$

• 算さん术平均へいきん最小さいしょう贴近度ど

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}$

• 几何平均へいきん最小さいしょう贴近度ど

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}$

• 指数しすう贴近度ど

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}$

參まいり見み

• 粗そ集合しゅうごう
• 解かい模糊もこ