泊とまり松まつ回かい归

在ざい统计学がく上うえ，泊とまり松まつ回かい归（英語えいご：Poisson regression）是ぜ用よう来らい为计数资料和わ列れつ联表建けん模も的てき一いち种回かい归分析ぶんせき。泊とまり松まつ回かい归假设因いん变量（英えい语：response variable）Y是ぜ泊とまり松まつ分布ぶんぷ，并假设它期き望もち值的てき对数可か由よし一いち组未知みち参さん数すう进行线性表ひょう达。当とう其用于列联表分ぶん析时，泊はく松まつ回かい归模型がた也被称しょう作さく对数-线性模型もけい。

泊とまり松まつ回かい归模型がた是ぜ广义线性模型もけい（GLM）的てき一いち种，以对数すう变化作さく为连接函数かんすう（link function），该模型がた的てき假かり设之一是其被解释变量服从泊松分布。

泊とまり松まつ回かい归模型がた

$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ 代表だいひょう由よし一组相互独立的变量组成的向量，其泊松まつ回かい归的模型もけい形式けいしき为:

$\log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))=\alpha +\mathbf {\beta } '\mathbf {x} ,$ $\alpha \in \mathbb {R}$， $\mathbf {\beta } \in \mathbb {R} ^{n}$.

亦また可か简洁表示ひょうじ为：$\log(\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} ,\,$

此处，$\mathbf {x}$ 是ぜ n+1维的向むこう量りょう，由ゆかりn个独立どくりつ变量（自じ变量向むこう量りょう）一いち个常向むこう量りょう（元素げんそ取と值全为1）构成，用よう一いち个θしーた 代表だいひょう第だい一个表达式当中的 αあるふぁ 和わ βべーた。

因いん此，当とう已やめ知ち泊はく松まつ回かい归模型がた当とう中なか的てき θしーた和解わかい释变量りょう $\mathbf {x}$, 其满足あし泊はく松まつ分布ぶんぷ的てき被ひ解かい释变量的りょうてき期き望もち值可以由下か式しき来らい预测：

$\operatorname {E} (Y\mid \mathbf {x} )=e^{{\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} }.\,$

Y_i 是ぜ被ひ解かい释变量的りょうてき观测值，相そう应的解かい释变量りょう为 x_i ，可か由ゆかり极大似に然しか估计（MLE）的てき方法ほうほう来らい估计参さん数すうθしーた。 极大似に然しか估计不能ふのう通どおり过解析かいせき表ひょう达式获得解析かいせき解かい，是ぜ由よし其对数すう似に然しか函数かんすう为凸函数かんすう的てき特性とくせい，可か通どおり过Newton–Raphson或ある其他基もと于梯度ど下降かこう的てき思想しそう方法ほうほう来らい进行参さん数すう估计。

极大似に然しか估计

如上じょじょう所しょ述じゅつ，已やめ知ち泊はく松まつ回かい归模型がた当とう中なか的てき θしーた和解わかい释变量りょう $\mathbf {x}$, 其回归表达式为：

$\operatorname {E} (Y\mid x)=e^{\theta 'x}\,$,

泊とまり松まつ分布ぶんぷ的てき概がい率りつ密度みつど函数かんすう为：

$p(y\mid x;\theta )={\frac {[\operatorname {E} (Y\mid x)]^{y}\times e^{-\operatorname {E} (Y\mid x)}}{y!}}={\frac {e^{y\theta 'x}e^{-e^{\theta 'x}}}{y!}}$

现已知ち解かい释变量的りょうてき观测值为由ゆかり m个向量りょう组成 $x_{i}\in \mathbb {R} ^{n+1},\,i=1,\ldots ,m$, 对应 m 个被解かい释变量的りょうてき观测值，$y_{1},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {R}$. 若わか同どう时已知ちθしーた, 则该组观测值所しょ对应的てき联合概がい率りつ可か由よし下か式しき表ひょう达：

$p(y_{1},\ldots ,y_{m}\mid x_{1},\ldots ,x_{m};\theta )=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.$

极大似に然しか方法ほうほう估计 θしーた的てき核心かくしん思想しそう是ぜ，去さ找到能のう使し得とく基もと于当前ぜん观测值的联合概がい率りつ尽つき可能かのう达到最大さいだい的てきθしーた。（可か理解りかい为：变量的てき取と值当前ぜん观测值，与あずか取ど值为其他任にん何なん数すう值相比ひ，是ぜ发生概がい率りつ最高さいこう的てき事件じけん）。 既すんで然しか目め标是寻找到いた最さい优的θしーた，可か以先将はた上うえ式しき的てき等号とうごう左ひだり边简单表达为关于θしーた 的まと表ひょう达式：

$L(\theta \mid X,Y)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}$.

注意ちゅうい等号とうごう右みぎ边的表ひょう达式并未改あらため写うつし，但ただし通常つうじょう难于付づけ诸计算さん，因いん而采用よう其对数すう变化后きさき的てき表ひょう达式（ log-likelihood）即そく：

$\ell (\theta \mid X,Y)=\log L(\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}-\log(y_{i}!)\right)$.

由よし于 θしーた 仅出现在似に然しか函数かんすう的てき前ぜん两项，因いん而在极大化か似に然しか函数かんすう的てき运算过程中ちゅう，可か以只考こう虑前两项。可か以删去さ第だい三さん项y_i!，待まち优化的てき似に然しか函数かんすう可か以简洁表达为：

$\ell (\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}\right)$.

为了找到极大值，需要じゅよう求もとめ解方ときかた程ほど：

${\frac {\partial \ell (\theta \mid X,Y)}{\partial \theta }}=0$

可か以通过对其似然しか函数かんすう取と负值 （negative log-likelihood）, $-\ell (\theta \mid X,Y)$是ぜ一いち个凸とつ函数かんすう, 标准的てき凸とつ优化方法ほうほう可か以考虑来求もとめ解かい θしーた的てき最さい优值。统一的てき方法ほうほう是ぜNewton-Raphson 与あずかIterative Weighted Least Square（IWLS）算法さんぽう。 给θしーた一组初始值，IWLS 是ぜ通どおり过多次じ迭代更新こうしん直ちょく到いたθしーた 收おさむ敛。

泊とまり松まつ回かい归的应用

泊とまり松まつ回かい归常用じょうよう于被解かい释变量りょう为计数すう（Count）形式けいしき时，包括ほうかつ事件じけん发生的てき次数じすう，比ひ如：客きゃく服ふく中心ちゅうしん接せっ到いた的てき电话次数じすう。其满足あし相互そうご独立どくりつ的てき假かり设。在ざい此例子中こなか，即そく为：拨打客きゃく服ふく电话的てき人じん们之间不存在そんざい相互そうご关联。不ふ会かい因いん为甲拨打了りょう客きゃく服ふく，而影响乙拨打的てき可能かのう性せい。但ただし在ざい建けん模も时，需要じゅよう考こう虑统计该事件じけん发生的てき时期，比ひ如目标变量りょう统计的てき是ぜ一天接到的电话次数，还是一いち个星期き，或ある者もの一いち个月。这个时期的てき数すう据すえ作さく为回归模型がた中ちゅう的てき抵消值，在ざい下面かめん解かい释。

"曝光量りょう"（Exposure） 与あずか 偏へん移うつり量りょう (trade off)

泊とまり松まつ分布ぶんぷ也可以适用よう于比率ひりつ数すう据すえ，即そく事件じけん发生次数じすう与あずか其测量りょう时间或ある测量范围的てき比ひ值。比ひ如生物せいぶつ学がく家か测量某ぼう森林しんりん中ちゅう树木种类的てき数すう目もく， 比率ひりつ变量即そく为每平方へいほう千米的树木种类数。人口じんこう学がく家か关注的てき是ぜ每ごと个人口じんこう年ねん（person-year）的てき人口じんこう死亡しぼう数すう。通常つうじょう来らい说，比率ひりつ变量表ひょう达的是ぜ单位时间内ない该事件じけん发生的てき次数じすう。这些例れい子中こなか，平方へいほう米まい”，“人口じんこう年ねん”这些变量就是所しょ谓的"曝光量りょう"（Exposure）。泊とまり松まつ回かい归中将ちゅうじょう其视为偏移うつり量りょう放ひ在ざい等式とうしき右みぎ边。

$\log {((\operatorname {E} (Y\mid x)/({\text{exposure}}))}=\theta 'x$

which implies

$\log {(\operatorname {E} (Y\mid x))}-\log {({\text{exposure}})}=\log {\left({\frac {\operatorname {E} (Y\mid x)}{\text{exposure}}}\right)}=\theta 'x$

在ざいR中ちゅう运行广义线性模型もけい时，可用かようoffset()来らい指定してい表示ひょうじ“曝光量りょう”的てき变量:

glm(y ~ offset(log(exposure)) + x, family=poisson(link=log) )

过度离势和わ零れい膨胀

服ふく从泊松まつ分布ぶんぷ的てき变量,具有ぐゆう期き望もち与あずか方かた差さ相等そうとう的てき特とく征せい。若わか观测样本的てき方かた差さ远大于期望もち值的时，则认为存在そんざい过度离势，当とう前まえ的てき模型もけい不合理ふごうり。其常见的原因げんいん是ぜ缺かけ失しつ重要じゅうよう的てき解かい释变量りょう。解かい决该问题的てき方法ほうほう，通常つうじょう采さい用よう准じゅん似に然しか估计（quasi-likelihood） 或ある者もの负二に项分布ぶんぷ来らい估计。

泊とまり松まつ回かい归的另一个常见的问题是零膨胀zero-inflated model。标准的てき泊はく松まつ分布ぶんぷ其定义域为非负整数すう，被ひ解かい释变量りょうy取と值为0的てき概がい率りつ为：

$p(y=0\mid x;\theta )=e^{-e^{\theta 'x}}$

但ただし如果观测样本中ちゅう添加てんか大量たいりょう的てき0，则取值为0的てき频率远大于理论概率りつ，此时不ふ适宜直接ちょくせつ采さい用よう泊はく松まつ回かい归。比ひ如观测一组人在一小时内的吸烟情况，目もく标变量りょう是ぜ每ごと人じん吸了多少たしょう根ね烟けむり。但ただし当とう观测人じん群ぐん中有ちゅうう大量たいりょう的てき非ひ吸烟者しゃ，就会有ゆう过多的てき目め标变量りょう为0， 这就是ぜ零れい膨胀。可か以采用よう其他的てき广义线性模型もけい，比ひ如负二に项分布ぶんぷ负二に项分布ぶんぷ来らい建けん模も，或ある者もの零れい膨胀模型もけいzero-inflated model 来らい解かい决。