海うみ伦公式しき

海うみ伦公式しき（英語えいご：Heron's formula或あるHero's formula），又また譯わけ希まれ罗公式しき^[1]。由ゆかり古希こき臘數學すうがく家か亞あ歷れき山大やまだい港みなと的てき希まれ羅ら發現はつげん，並なみ在ざい其於公こう元もと60年ねん所しょ著ちょ的てき《Metrica》中ちゅう載の有ゆう數學すうがく證明しょうめい，原理げんり是ぜ利用りよう三角形さんかっけい的てき三條邊長求取三角形面積。亦また有ゆう認みとめ為ため更さら早はや的てき阿おもね基もと米まい德とく已やめ經けい了解りょうかい這條公式こうしき，因いん为《Metrica》是ぜ一部いちぶ古代こだい數學すうがく知識ちしき的てき結集けっしゅう，该公式しき的てき發現はつげん時間じかん很有可能かのう先さき於希羅ら的てき著作ちょさく。^[2]

假設かせつ有ゆう一いち個こ三角形さんかっけい，邊へん長ちょう分別ふんべつ為ため $a,b,c$ ，三角形さんかっけい的てき面積めんせき $A$ 可か由よし以下いか公式こうしき求もとめ得え：

A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}

，其中

s={\frac {a+b+c}{2}}

中国ちゅうごく南みなみ宋そう末すえ年數ねんすう學がく家か秦はた九きゅう韶发现或ある知道ともみち等價とうか的てき公式こうしき，其著作ちょさく《數かず書しょ九きゅう章しょう》卷まき五ご第だい二に题即三さん斜はす求もとめ积。“问沙田た一いち段だん，有ゆう三さん斜はす，其小斜はす一いち十じゅう三さん里り，中ちゅう斜はす一いち十じゅう四よん里り，大だい斜はす一いち十じゅう五ご里り，里さと法ほう三さん百ひゃく步ほ，欲よく知とも为田几何？”答こたえ曰：“三さん百ひゃく十じゅう五ご顷．”其术文ぶん是ぜ：“以小斜はす幂併大だい斜はす幂，減げん中ちゅう斜はす幂，餘よ半はん之の，自乘じじょう於上；以小斜はす幂乘大だい斜はす幂，減げん上じょう，餘よ四よん約やく之これ，爲ため實じつ，一いち為ため從したがえ隅すみ，開平かいへい方かた，得とく積せき。”若わか以大斜はす记为 $a$ ，中ちゅう斜はす记为 $b$ ，小しょう斜はす记为 $c$ ，秦はた九韶的方法相当于下面的一般公式：

A={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}

，其中

a\geq b\geq c

像ぞう其他中國ちゅうごく古代こだい的てき數學すうがく家か一いち样，他た的てき方法ほうほう沒ぼつ有ゆう證明しょうめい。根據こんきょ现代數學すうがく家か吴文俊しゅん的てき研究けんきゅう，秦はた九きゅう韶公式こうしき可か由ゆかり出入でいり相補そうほ原理げんり得とく出で。

由よし於任何なに $n$ 边的多邊形たへんけい都と可か以分割ぶんかつ成なり $n-2$ 个三角形さんかっけい，所以ゆえん海うみ伦公式こうしき可か以用作さく求もとめ多邊形たへんけい面積めんせき的てき公式こうしき。比ひ如说测量土地とち的てき面めん积的时候，不用ふよう测三角形さんかっけい的てき高だか，只ただ需测两点间的距离，就可以方便びん地ち导出答案とうあん。

证明

利用りよう三角公式和代数式变形来证明

与あずか希まれ羅ら在ざい他た的てき著作ちょさく《Metrica》中ちゅう的てき原始げんし证明不同ふどう，在ざい此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形さんかっけい的てき三さん边 $a,b,c$ 的てき对角分ぶん别为 $A,B,C$ ，则余弦よげん定理ていり为

\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

利用りよう和平わへい方かた、差さ平方へいほう、平方へいほう差さ等ひとし公式こうしき，从而有ゆう

{\begin{aligned}\sin C&={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left[{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}}\right]\left[{\frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}}\right]}}\\&={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}}\\&={\frac {\sqrt {(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}}\\&={\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-c)(s-b)(s-a)}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin C\\&={\frac {ab}{2}}\cdot {\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}

利用りよう勾股定理ていり和代かずよ数式すうしき变形来らい证明

b^{2}=h^{2}+d^{2}

a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}

a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}

用よう旁つくり心こころ來らい證明しょうめい

設しつらえ $\bigtriangleup ABC$ 中なか， ${\overline {AB}}=c,{\overline {BC}}=a,{\overline {CA}}=b$ 。

$I$ 為ため內心， $I_{a},I_{b},I_{c}$ 為ため三さん旁つくり切きり圓えん。

$\because \angle I_{a}BI=\angle I_{a}CI=90^{\mathsf {o}}$

$\therefore I_{a}CIB$ 四よん點てん共ども圓えん，並なみ設しつらえ此圓為ため圓えん $O$ 。

過か $I$ 做鉛直線えんちょくせん交 ${\overline {BC}}$ 於 $P$ ，再さい延長えんちょう ${\overleftrightarrow {IP}}$ ，使つかい之の與あずか圓えん $O$ 交於 $Q$ 點てん。再さい過か $I_{a}$ 做鉛直線えんちょくせん交 ${\overline {BC}}$ 於 $R$ 點てん。
先さき證明しょうめい $\Box I_{a}QPR$ 為ため矩形くけい： $\because \angle QPR=90^{\mathsf {o}},\angle I_{a}RP=90^{\mathsf {o}}$ ，又また $\angle I_{a}QI=\angle I_{a}BI=90^{\mathsf {o}}$ (圓周えんしゅう角かく相等そうとう)。 $\therefore \Box I_{a}QPR$ 為ため矩形くけい。因よし此， ${\overline {I_{a}R}}={\overline {QP}}$ 。
${\overline {PI}}=$ 內切圓えん半徑はんけい $={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}$ ， ${\overline {I_{a}R}}=$ 旁つくり切きり圓えん半徑はんけい $={\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}$ 。且易知ち ${\overline {BP}}={\frac {c+a-b}{2}},{\overline {PC}}={\frac {a+b-c}{2}}$ 。由よし圓えん冪べき性質せいしつ得え到いた： ${\overline {PC}}\times {\overline {PB}}={\overline {PQ}}\times {\overline {PI}}={\overline {I_{a}R}}\times {\overline {PI}}$ 。故こ ${\frac {a+b-c}{2}}\times {\frac {c+a-b}{2}}={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}\times {\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}$ $\Rightarrow \bigtriangleup ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\times {\frac {b+c-a}{2}}\times {\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}}}$